安徽省阜阳市阜南县2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷（含解析）

阜南县2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷
一、单选题（每题5分）
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线与平行，则间的距离是（ ）
A． B． C．4 D．2
3．圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，若直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A． B．9
C．或9 D．7或
6．已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
二、多选题（每题5分）
9．若两直线与互相平行，则（ ）
A．
B．
C．与之间的距离为
D．与、距离相等的点的轨迹方程为
10．下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．直线必过定点
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
11．已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．圆的圆心坐标为
C．存在实数，使得直线与圆相切
D．若，直线被圆截得的弦长为4
12．已知过点的直线l与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．的最大值为6
B．的最小值为
C．点O到直线l的距离的最大值为
D．的面积为3
三、填空题（每题5分）
13．与圆同圆心且过点的圆的方程为
14．若直线与垂直，则 .
15．点是圆的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为 ．
16．若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ．
四、解答题
17．（10分）已知的三个顶点分别为，，.
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程.
18．（12分）已知直线和直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
19．（12分已知圆方程：，圆相交点A、B．
(1)求经过点A、B的直线方程.
(2)求的面积.
20．（12分已知圆和直线.
(1)求圆关于直线对称的圆的标准方程；
(2)圆C有一动点P，直线l上有一动点Q，求的最小值.
21．（12分已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程.
22．（12分在平面内，，，C为动点，若，
(1)求点C的轨迹方程；
(2)已知直线l过点（1，2），求曲线C截直线l所得的弦长的最小值.
参考答案：
1．A
【分析】把直线化成斜截式方程，根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】由，所以该直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，因此有，而，
所以
故选：A
2．C
【分析】根据直线平行的判定列方程求得，再应用平行线的距离公式求距离即可.
【详解】由题设，则，可得或，
时，，，满足题设；
时，，，显然重合，不满足；
所以，此时，，它们距离为.
故选：C
3．D
【分析】求出圆心坐标，利用切线的性质求出切线的斜率作答.
【详解】圆的圆心，显然点在此圆上，直线的斜率为，

所以所求切线斜率为，切线方程为，即.
故选：D
4．A
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】解析 设直线的倾斜角分别为，
则由图知，
所以，
即．
故选：A
5．D
【分析】根据两圆半径大小关系结合圆与圆位置关系判断，即可列方程求解实数a的值.
【详解】圆整理得：
圆心，半径，
圆的圆心，半径
由于两圆半径相同，故若圆与圆有且仅有一个公共点，则两圆外切
所以，整理得，解得或.
故选：D.
6．C
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果.
【详解】圆：的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线：被圆截得的弦长为，
故选：C.
7．C
【分析】作出图形，图形结合斜率公式可得.
【详解】如图，由题意可知.
要使与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是.
故选：C

8．D
【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再求出点P到直线距离的最大值作答.
【详解】圆的圆心，半径，直线的方程为：，
于是点到直线：的距离，而点在圆上，
因此点到直线距离的最大值为，又，
所以面积的最大值为.
故选：D

9．ACD
【分析】利用两条直线平行的充要条件判断A，B；利用两平行直线间的距离公式判断C；直接法求轨迹方程判断D.
【详解】因为两直线与互相平行，
所以，解得或，
当时，，，
此时两直线与互相平行满足题意；
当时，，，
此时两直线与重合，不合题意.
综上有两直线与互相平行时，.故A正确，B错误；
与的距离为，故C正确；
设与、距离相等的点为，则，
整理得，所以与、距离相等的点的轨迹方程为，故D正确.
故选：ACD
10．CD
【分析】利用截距的定义可判断A选项；取点且垂直于轴的直线，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用两直线平行求出的值，结合平行线间的距离公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，直线在轴上的截距为，A错；
对于B选项，过点且垂直于轴的直线方程为，不能用方程表示，B错；
对于C选项，将直线方程变形为，
由可得，故直线过定点，C对；
对于D选项，若直线与直线平行，则，解得，
直线方程可化为，
故两平行直线间的距离为，D对.
故选：CD.
11．ABD
【分析】A选项，将直线方程变形后得到，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；D选项，当时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D正确.
【详解】变形为，故恒过定点正确；
变形为，圆心坐标为，B正确；
令圆心到直线的距离，
整理得：，由可得，方程无解，
故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误；
若，直线方程为，圆心在直线上，
故直线被圆截得的弦长为直径4，D正确．
故选：ABD．
12．AD
【分析】求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可分别求解．
【详解】
由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
又，点在圆内部，
因为过点的直线与圆交于，两点，
所以的最大值为，所以A正确；
因为，
当直线与垂直时，此时弦取得最小值，
最小值为，所以B错误；
当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值，
且最大值为，所以C错误；
由，可得，即，
所以的面积为，所以D正确．
故选：AD．
13．
【分析】先求出圆的圆心，再利用两点间的距离公式可求出圆的半径，从而可求出圆的方程.
【详解】因为圆的圆心为，
所以所求圆的圆心为，
所以所求圆的半径为，
所以所求圆的方程为，
故答案为：
14．1
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【详解】直线与直线互相垂直，
，解得．
故答案为：．
15．
【分析】先求出圆的圆心，半径，设这条弦所在直线为，则，求出直线的斜率，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程.
【详解】圆的方程可化为，圆心坐标为，半径长.
设这条弦所在直线为，则，
因为，所以直线的斜率，
所以所求直线为，即.
故答案为：
16．或1
【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可.
【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点，
若与垂直，则；
若与垂直，则．所以或1．
故答案为：或1
17．(1)
(2)
【分析】（1）由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解；
（2）求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解.
【详解】（1）由题意得，且，所以.
则边上的高所在直线的方程为，化简得.
（2）由题知的中点，所以，
则边上的中线所在直线的方程为，化简得.
18．(1)0或2
(2)
【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；
（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.
【详解】（1）若，则
，解得或2；
（2）若，则
，解得或1.
时，，满足，
时，，此时与重合，
所以.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）判断两圆相交，再将两圆方程相减即可作答.
（2）由（1）的结论，求出点到直线的距离，进而求出弦长，求出三角形面积作答.
【详解】（1）圆：的圆心，半径，圆的圆心，半径，
显然，且有，则圆与圆相交，

由消去二次项得，
所以直线的方程为.
（2）由（1）知，点到直线：的距离，
于是，
所以的面积.
20．(1)
(2)
【分析】（1）设圆心关于直线对称点为，根据对称求解，即可得对称圆心，从而求得圆的标准方程；
（2）利用圆的几何性质即可判断的最小值.
【详解】（1）圆整理得：，圆心，半径
设圆心关于直线对称点为
所以，解得
则圆关于直线对称的圆的标准方程为；
（2）
圆心到直线的距离
P在圆上，直线l上有一动点Q，根据圆的性质可得.
21．(1)
(2)4；
【分析】（1）根据题意可得，由此求得k的范围．
（2）由题意可得，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方程.
【详解】（1）直线可化为，
要使直线不经过第四象限，则,
解得，
∴k的取值范围为；
（2）由题意可得中取得,
取得,
故，
当且仅当时，即时取“=”，
此时S的最小值为4，直线l的方程为﹒
22．(1)
(2)
【分析】(1)代入法即可求得轨迹方程为圆.
(2)由直线l过点(1,2)在圆内即可得到弦长最小值.
【详解】（1）设，，，
，
得.
（2），点（1，2）在圆内，当直线l为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆心连线垂直时，截得弦长CD最短，即，.
故最短弦长为.