2023年9月高二年级入学考数学试卷
参考答案
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线．
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可．
【解答】解：由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确．
故选：C．
【点评】本题考查零向量的定义及性质，属基础题．
2．已知向量＝（1，2），＝（3，1），则﹣＝（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3）
【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可．
【解答】解：∵向量＝（1，2），＝（3，1），
∴﹣＝（2，﹣1）
故选：B．
【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．
3．若复数z＝（2﹣i）（4﹣i），则z的共轭复数为（ ）
A．﹣7﹣6i B．﹣7+6i C．7﹣6i D．7+6i
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
【解答】解：∵z＝（2﹣i）（4﹣i）＝7﹣6i，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70）的汽车大约有（ ）
A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆
【分析】先求出时速在[60，70）的频率值，再乘以中数；即可得到时速在[60，70）的汽车大约有多少辆．
【解答】解：由图得：时速在[60，70）的频率为0.04×10＝0.4．
所以时速在[60，70）的汽车大约有：0.4×200＝80辆．
故选：D．
【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1
5．从编号为1、2、3、4的4球中，任取2个球则这2个球的编号之和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】所有的取法共有＝6种，而2和球的编号为偶数的情况有2种，故这2个球的编号之和为偶数的概率．
【解答】解：所有的取法共有＝6种，而2和球的编号为偶数的情况有2种，故这2个球的编号之和为偶数的概率是＝，
故选：A．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．
6．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，写出三个人各有一次合格的概率的积，再求和．
【解答】解：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的
∴三人中恰有两人合格的概率+＝
故选：B．
【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看出事件发生包括的所有的情况，这里的数字比较多，容易出错．
7．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若a∥b，b α，则a∥α B．若a α，b β，a∥b，则α∥β
C．若α∥β，a α，b β，则a∥b D．若α∥β，a α，则a∥β
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一判断四个选项得答案．
【解答】解：若a∥b，b α，则a∥α或a α，故A错误；
若a α，b β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B错误；
若α∥β，则α与β无公共点，又a α，则a与β无公共点，即a∥β，故D正确；
若α∥β，a α，b β，则a∥b或a与b异面，故C错误．
故选：D．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
8．如图所示，已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，＝，＝，则＝（ ）
A．+ B．+ C．﹣ D．﹣+
【分析】＝+＝+＝+（+）＝++，以此可求得．
【解答】解：根据图形得＝+＝+＝+（+）＝++，所以＝+．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
9．若a，b∈R，且（a+i）i＝b+i，则（ ）
A．a＝1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝1，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝﹣1
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：a，b∈R，且（a+i）i＝b+i，
则﹣1+ai＝b+i，∴b＝﹣1，a＝1，
故选：AD．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．棱台具备的特点有（ ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
【分析】根据棱台的定义、结构特征直接求解．
【解答】解：根据棱台的定义知：
棱台的两底面相似，故A正确；
棱台的侧面都是梯形，故B正确；
棱台的侧棱长不一定相等，故C错误；
棱台的侧棱延长后都交于一点，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查棱台的特点，考查棱台的定义、结构特征等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．
11．如图，在四面体PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中成立的是（ ）
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDF⊥平面ABC
【分析】由DF∥BC，能证明BC∥平面PDF，可判断A；由已知推导出AE⊥BC，PE⊥BC，从而BC⊥平面PAE，进而DF⊥平面PAE，可判断B；由DF⊥平面PAE，推导出平面PDF⊥平面PAE，可判断C；由已知得平面PAE⊥平面ABC，从而平面PDE与平面ABC不垂直，可判断D．
【解答】解：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，
D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DF∥BC，∵DF 平面PDF，BC 平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确；
选项B：∵正四面体PABC，∴△ABC和△PBC均为等边三角形，
又E为BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，
∵AE∩PE＝E，AE、PE 平面PAE，∴BC⊥平面PAE，即选项B正确；
对于C：∵DF⊥平面PAE，且DF 平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，故C正确；
选项D：过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，则O为△ABC的中心，
∴O在AE上，且AO＝AE，
设AE与DF的交点为M，连接PM，则AM＝AE，
∴O，M不重合，
∴平面PDF与平面ABC不垂直，即选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
12．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取了20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（ ）
A．2000名运动员是总体
B．所抽取的20名运动员是一个样本
C．样本容量为20
D．每个运动员被抽到的机会相等
【分析】根据抽样方法、总体、样本和样本容量的定义，判断即可．
【解答】解：由题意知，2000名运动员的年龄是总体，所以A错误；
所抽取的20名运动员的年龄是一个样本，所以A错误；
样本容量是20，所以C正确；
每个运动员被抽到的机会相等，所以D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了抽样方法、总体、样本和样本容量的定义与应用问题，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．﹣4+5i+（i﹣2）2＝ ﹣1+i ．
【考点】复数的运算．版权所有
【解答】解：﹣4+5i+（i﹣2）2＝﹣4+5i+i2﹣4i+4＝﹣4+5i﹣1﹣4i+4＝﹣1+i．
故答案为：﹣1+i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，是基础题．
14．已知、是两个不共线的向量，＝k2+（1﹣k）和＝2+3是两个共线向量，则实数k＝ ﹣2或 ．
【分析】由向量共线可得k2+（1﹣k）＝λ（2+3），进而可得（k2﹣2λ）+（1﹣k﹣3λ）＝，故k2﹣2λ＝0，且1﹣k﹣3λ＝0，联立消掉λ可解k值．
【解答】解：由题意可得：k2+（1﹣k）＝λ（2+3），
整理可得（k2﹣2λ）+（1﹣k﹣3λ）＝，
因为，是两个不共线的向量，
所以k2﹣2λ＝0，且1﹣k﹣3λ＝0，
解得k＝﹣2或k＝
故答案为：﹣2或
【点评】本题考查平行向量和共线向量，涉及方程组的解法，属基础题．
15．某钢木家具厂为某游泳比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂生产的2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，则该厂生产的2500套座椅中大约有 125 套次品．
【分析】根据n次独立重复实验中恰好发生k次的概率定义可解．
【解答】解：根据题意，该厂生产的2500套座椅中大约有2500×＝125套次品，
故答案为：125．
【点评】本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，属于基础题．
16．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2，，求sin∠ABD的值．
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，求出A，再结合BD为∠ABC的平分线，即可求解．
【解答】解：∵AB＝3，BC＝2，，
∴由余弦定理可得，cos∠ABC＝＝，
∵A∈（0，π），
∴，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查余弦定理，考查转化能力，属于基础题．
二．解答题（共6小题）
17．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E、F分别是PA、BD上的点且E、F分别是PA、BD的中点．求证：EF∥平面PBC．
【考点】直线与平面平行．版权所有
【解答】证明：∵点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，
E、F分别是PA、BD上的点且E、F分别是PA、BD的中点，
∴AC∩BD＝F，∴EF∥PC，
∵EF 平面PBC，PC 平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
【点评】本题考查线面平行的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
18．设A，B，C，D为平面内四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，﹣1）．
（1）若，求D点坐标；
（2）设向量，若与平行，求实数k的值．
【考点】向量相等与共线；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．版权所有
【解答】解：（1）设D（x，y）．∵，
∴（2，﹣2）﹣（1，3）＝（x，y）﹣（4，﹣1），
化为（1，﹣5）＝（x﹣4，y+1），
∴，解得，
∴D（5，﹣6）．
（2）∵＝＝（1，﹣5），＝＝（4，﹣1）﹣（2，﹣2）＝（2，1）．
∴k ＝k（1，﹣5）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣5k﹣1），+3＝（1，﹣5）+3（2，1）＝（7，﹣2）．
∵与平行，
∴7（﹣5k﹣1）﹣2（k﹣2）＝0，解得k＝ ．
∴k＝ ．
【点评】本题考查了向量相等、向量共线定理，属于基础题．
19．某数学兴趣小组共有5名学生，其中有3名男生A1、A2、A3，2名女生B1、B2，现从中随机抽取2名学生参加比赛．
（1）问共有多少个基本事件（列举说明）？
（2）抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．版权所有
【解答】解：（1）（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，A3）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B1）、（A3，B2）、（B1，B2）共10个；
（2）记事件“抽取的学生恰有一男生一女生”为A，则A包含基本事件（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B1）、）（A3，B2）共6个，因此．
【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
20．已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BDF．
【考点】平面与平面垂直；直线与平面垂直．版权所有
【解答】解：（Ⅰ）∵PC⊥底面ABC，BD 底面ABC，
∴PC⊥BD；
又AB＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，PC∩AC＝C，
∴BD⊥平面PAC，PA 平面PAC，
∴PA⊥BD，又DE⊥AP，BD∩DE＝D，
∴AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）由AP⊥平面BDE知，AP⊥DE；又D、F分别为AC、PC的中点，
∴DF是△PAC的中位线，∴DF∥AP，∴DF⊥DE，即∠EDF＝90°，
由BD⊥平面PAC可知，DE⊥BD，DF⊥BD，∠EDF为平面BDE与平面BDF的二面角，又∠EDF＝90°，
∴平面BDE⊥平面BDF．
【点评】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理的应用，考查面面垂直的定义的应用，考查推理与证明的能力，属于中档题．
21．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c2＝（2a﹣b）a+（2b﹣a）b．
（1）求角C的大小；
（2）求2cosA+2cosB的最大值．
【考点】余弦定理．版权所有
【解答】解：（1）由2c2＝（2a﹣b）a+（2b﹣a）b，
化简得，a2+b2﹣c2＝ab，
则cosC＝＝，
由于0＜C＜π，则C＝；
（2）由C＝，则A+B＝，
可令A＝，B＝（﹣＜α＜），
则2cosA+2cosB＝2[cos（）+cos（）]
＝2（cosα+sinα+cosα﹣sinα）
＝2cosα，
由﹣＜α＜，则＜cosα≤1，
当α＝0，即A＝B＝C＝，2cosA+2cosB取得最大值2．
【点评】本题考查余弦定理及运用，考查三角函数的化简，注意运用两角和差的余弦公式，考查余弦函数的性质，属于中档题．
22．某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，乙班为实验班，甲班为对比班，甲、乙两班均有50人，一年后对两班进行测试，成绩分别如表1和表2所示 （总分：150分）．
表1
成绩 [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130）
频数 4 20 15 10 1
表2
成绩 [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130）
频数 1 11 23 13 2
（1）现从甲班成绩位于[90，120）内的试卷中抽取9份进行试卷分析，用什么抽样方法更合理？并写出最后的抽样结果．
（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是101.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分．
【解答】解：（1）因为[90，120）内共有3段数据，且3段成绩有明显的差异，所以用分层抽样方法更合理；
在[90，100），[100，110），[110，120），共有20+15+10＝45（人），
从中抽取9人，抽样比为＝，
在[90，100）中应抽取20×＝4（人），
在[100，110）中应抽取15×＝3（人），
在[110，120）中应抽取10×＝2（人），
（2）估计乙班的平均分数为＝×（85×1+95×11+105×23+115×13+125×2）＝105.8（分），
所以两班的平均分相差约为105.8﹣101.8＝4（分）．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了数据分析与运算求解能力，是中档题．海口嘉勋高级中学 8．如图所示，已知 AD，BE 分别为△ABC 的边 BC，AC 上的中线， ＝ ， ＝ ，则 ＝（ ）
2023 年 9 月高二年级开学考数学试卷
一、单选题(本题共 8小题，每题 5分，共 40分)
1．下列说法：
①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线．
其中，正确说法的个数是（ ）
A． + B． + C． ﹣ D．﹣ +
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知向量 ＝（1，2）， ＝（3，1），则 ﹣ ＝（ ）
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3） 全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分）
9．若 a，b∈R，且（a+i）i＝b+i，则（ ）
3．若复数 z＝（2﹣i）（4﹣i），则 z 的共轭复数为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C． b＝1 D． b＝﹣1
A．﹣7﹣6i B．﹣7+6i C．7﹣6i D．7+6i
10．棱台具备的特点有（ ）
4．200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70）的汽车大约有（ ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
11．如图，在四面体 PABC 中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F 分别是棱 AB，BC，CA 的中点，则下列结论中成立
的是（ ）
A．30 辆 B．40 辆 C．60 辆 D．80 辆
5．从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球则这 2 个球的编号之和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
A．BC∥平面 PDF B．DF⊥平面 PAE
6．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为 ， ， ，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ） C．平面 PDF⊥平面 PAE D．平面 PDF⊥平面 ABC
12．为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况，从中抽取了 20 名运动员的年龄进行统计分析．就这个问
A． B． C． D．
题，下列说法中正确的有（ ）
7．已知 a，b 为两条不同的直线，α，β 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．2000 名运动员是总体
A．若 a∥b，b α，则 a∥α B．若 a α，b β，a∥b，则 α∥β
B．所抽取的 20 名运动员是一个样本
C．若 α∥β，a α，b β，则 a∥b D．若 α∥β，a α，则 a∥β
C．样本容量为 20
D．每个运动员被抽到的机会相等
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三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分)
2 20（12 分）．已知三棱锥 P﹣ABC 中，PC⊥底面 ABC，AB＝BC，D、F 分别为 AC、PC 的中点，DE⊥AP 于 E． 13. ﹣4+5i+（i﹣2） ＝ ．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面 BDE；
14．已知 、 是两个不共线的向量， ＝k2 +（1﹣ k） 和 ＝2 +3 是两个共线向量，则实数 k
（Ⅱ）求证：平面 BDE⊥平面 BDF．
＝ ．
15．某钢木家具厂为某游泳比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂生产的 2500 套座椅进行抽检，共抽检了 100
套，发现有 5 套次品，则该厂生产的 2500 套座椅中大约有 套次品．
16．在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB＝3，BC＝2， ，求 sin∠ABD 的值 ．
四、解答题(本题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17（10 分）．如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点，E、F 分别是 PA、BD 上的点且 E、F 分别
是 PA、BD 的中点．求证：EF∥平面 PBC． 21（12 分）．在△ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2c2＝（2a﹣b）a+（2b﹣a）b．
（1）求角 C 的大小；
（2）求 2cosA+2cosB 的最大值．
22（12 分）．某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，乙班为实验班，甲班为对比班，甲、乙两
班均有 50 人，一年后对两班进行测试，成绩分别如表 1 和表 2 所示 （总分：150 分）．
表 1
18（12 分）．设 A，B，C，D 为平面内四点，且 A（1，3），B（2，﹣2），C（4，﹣1）． 成绩 [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130）
（1）若 ，求 D 点坐标； 频数 4 20 15 10 1
（2）设向量 ，若 与 平行，求实数 k 的值． 表 2
成绩 [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130）
频数 1 11 23 13 2
19（12 分）．某数学兴趣小组共有 5 名学生，其中有 3 名男生 A 、A 、A ，2 名女生 B 、B ，现从中随机抽取 2 （1）现从甲班成绩位于[90，120）内的试卷中抽取 9 份进行试卷分析，用什么抽样方法更合理？并写出最后1 2 3 1 2
名学生参加比赛． 的抽样结果．
（1）问共有多少个基本事件（列举说明）？ （2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是 101.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分
（2）抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？ 相差几分．
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