参考答案
D
解析：因为2 A，所以(2a－2)(2－a)≥0，解得1≤a≤2
D
解析：因为x2－2x－3≤0，所以－1≤x≤3，则A＝[－1，3]；又|x－1|≤3，
即－3≤x－1≤3，所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4]；因为≤0，所以－5＜x≤4，则
C＝(－5，4]，所以A B，A C，B C.
D
解析：集合B＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以 U(A∪B)＝{－2，0}.
A
解析：由sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，则cos＝cos ＝0，故充分性成立；
又由cos x＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)，此时sin＝±1，故必要性不成立.
B
解析：由题意得B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.
B
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，由f(x)＝x2＋f′(x)－1，
可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋(b－1)，所以解得
因此，f(x)＝x2＋2x＋1.
A
解析：设f(x)＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.
①当≤－2，即m≤－4时，函数f(x)在[－2，2]上单调递增，
则f(x)min＝f(－2)＝2m＋5＞0，
解得m＞－，此时m不存在；
②当－2＜＜2，即－4＜m＜4时，f(x)min＝f＝1－＞0，解得－2＜m＜2；
③当≥2，即m≥4时，函数f(x)在[－2，2]上单调递减，
则f(x)min＝f(2)＝－2m＋5＞0，
解得m＜，此时m不存在.
综上所述，实数m的取值范围是(－2，2).
B
解析：由ab＋2a－2＝0知a＝，又a，b为正实数，所以4a＋b＝＋b＝＋
(b＋2)－2≥2－2＝4－2，当且仅当a＝，＝b＋2，即a＝，
b＝2－2时取等号，则4a＋b的最小值为4－2.
ABD
解析：对于A，若xc2＞yc2，则c2≠0，则x＞y，反之，x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，
所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；
对于B,由＜＜0可得y＜x＜0,即能推出x＞y；但x＞y不能推出＜＜0(因为x,y的正负不确定),所以“＜＜0”是“x＞y”的充分不必要条件,故B正确；
对于C，由|x|＞|y|可得x2＞y2，则(x＋y)(x－y)＞0，不能推出x＞y；
由x＞y也不能推出|x|＞|y|(如x＝1，y＝－2)，
所以“|x|＞|y|”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，若ln x＞ln y，则x＞y，反之，x＞y得不出ln x＞ln y，
所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确.
ACD
解析：解析 因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，
所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定.
对于A，由题意得x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；
对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；
对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；
对于D，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误.
AD
解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确.
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误.
结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误.
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，
所以5a＜2a，即5a＜b，D正确.
ABD
解析：因为关于x的不等式(x＋2)·(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，
所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根.所以x1＋x2＝2，故A正确；
x1x2＝a－8＜－8，故B正确；x2－x1＝＝2＞6，故D正确；
由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故－2＜x1＜x2＜4是错误的，故C错误.
充分不必要
解析：由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，
所以p是q的充分不必要条件.
（1,18）
解析：由－3<3x<12，4<2y<6，得1<3x＋2y<18.
x2－4x＋3
解析：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3，
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)，
因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，
所以3a＝3，则a＝1，故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
②③
解析：①中，{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a2－4，
故－2＜a＜2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意；
②中，{x|x2－6x＋1≤0}，即{x|3－2≤x≤3＋2}，显然0 A，
又≤≤，即3－2≤≤3＋2，故也在集合中，符合题意；
③中，，易得，0 A，
又≤≤2，故也在集合A中，符合题意.
17．(1)， (2)
【分析】（1）设出等差数列的公差和等比数列的公比，然后，列出方程组求解即可；
（2）根据题意，化简得到，，然后，求出的前6项，即可求出.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
∵，，，
∴，，∴，，
∴，
（2）由（1）知，，
∴，
∴
18．(1)； (2)﹒
【分析】(1)结合三角恒等变换公式和正弦定理边化角即可求出，从而求出A；
(2)根据△ABM是等边三角形及可求出AB、BM、AM，求出∠BMC，在△BMC内利用余弦定理即可求出MC，从而可求AC，根据三角形面积公式即可求的面积．
【详解】（1）由，得，
由正弦定理得，∵sinB≠0，故，
∵，∴，∴，∴，∴；
（2）△ABM是等边三角形，
由，解得，∴，
易知，则在△BMC中，由余弦定理得：
，
解得，∴，
∴的面积．
19．(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）根据面面垂直性质定理得平面，进而证明，再由勾股定理证明，最后根据线面垂直判定定理证明结论；
（2）由条件证明为的中点，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求两向量的夹角，由此可得结论.
【详解】（1）因为平面平面且交线为，
又平面且，所以平面，
又平面，所以，
因为是边长为2正方形，所以，又，
所以，即，
又因为，平面，所以平面；
（2）因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为为的中点，所以为的中点，
以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则有，
易得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
设平面与平面所成夹角为，则，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为.
20．(1)；； (2)能； (3)分布列见解析；．
【分析】（1）计算出，以及与的值，再利用标准差公式即可；
（2）首先由题得，，再根据正态分布的对称性计算出，最后得到不合格人数，得到合格率.
（3）的可能取值为0，2，5，分别计算出其概率，得到分布列，最后得到期望.
【详解】（1），
，解得，
，解得，
这40名学生的方差为
，
．
（2）由，，得的估计值，的估计值，
，
，
从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人），
又，所以高三年级学生体能达标为“合格”．
（3）由题意得，的可能取值为0，2，5，
，
，
，
的分布列为
0 2 5
．
21．(1) (2)
【分析】（1）由条件可得，然后将点代入椭圆方程求出即可；
（2）设直线l为，，，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，由与互补可得，由此可算出，然后用表示出即可得出答案.
【详解】（1）由已知得
将点代入椭圆方程，得，
∴椭圆C方程为.
（2）设直线l为（），则E为（）
由得，
∴，可得 ①
设，，则，，
∵与互补， ∴，则，
∴， ∴，
∴，解得， ∴直线l的方程为，
且由①可得，，即，
由点到直线l的距离，
∴
令，，则，当且仅当时，等号成立，所以面积S最大值为.
22．(1)答案见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，对m分类讨论，确定导数的正负，从而确定函数的单调区间；（2）令，则，利用导数判断函数的单调性以及最小值，从而确定，以及；
若证①所证不等式，变式为，构造函数，求导，判断其单调性，即可证明；若证②所证不等式，即，变式为，构造函数，利用导数判断其单调性，即可证明.
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，，在单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
∴在单调递增，在单调递减；
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）证明：因为，令，则，
设（），则，
函数在单调递减，在单调递增，且时，，
当时，，，
∴，又，则,若证①所证不等式，即，
即证，又，则，故即证，即证，
设，，则，
∴在上单调递减，∴，即得证；
若证②所证不等式，即，即证，
即证，又，即，故即证，即证，
设，，则，
∴在单调递减，故，即得证.
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题以及利用导数证明不等式问题，综合性较强，解答时要明确导数与单调性以及函数最值之间的关系，要注意分类讨论的数学思想的应用，解答的关键是证明不等式时，对不等式要进行变式，进而构造函数，利用导数判断函数单调性，从而证明结论.绝密★启用前
海口嘉勋高级中学
2023年9月高三年级开学考试数学试卷
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）
1.已知集合A＝{x|(2a－x)(x－a)＜0}，若2 A，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B.[1，2)
C.(1，2) D.[1，2]
2.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝，则集合A，B，C的关系正确的是( )
A.B A B.A＝B C.C B D.A C
3.设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则
U(A∪B)＝( )
A.{1，3} B.{0，3} C.{－2，1} D.{－2，0}
4.设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B
6. 已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于( )
A.x2－2x＋1 B.x2＋2x＋1 C.2x2－2x＋1 D.2x2＋2x－1
7.当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为( )
A.(－2，2) B.(－∞，－2) C.[－2，2] D.(2，＋∞)
8.已知正实数a，b满足ab＋2a－2＝0，则4a＋b的最小值是( )
A.2 B.4－2 C.4－2 D.6
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是( )
A.xc2＞yc2 B.＜＜0 C.|x|＞|y| D.ln x＞ln y
10.已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是( )
A.xy＞yz B.xy＞xz C.xz＞yz D.x|y|＞|y|z
11.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，
图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个
结论正确的为( )
A.xc2＞yc2 B.＜＜0
C.|x|＞|y| D.ln x＞ln y
12.已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，则( )
A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－8 C.－2＜x1＜x2＜4 D.x2－x1＞6
第Ⅱ卷（非选择题）
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”).
14.已知－115.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝___________.
16.非空数集A如果满足：①0 A；②若 x∈A，有∈A，则称A是“互倒集”.给出以下数集：①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；②{x|x2－6x＋1≤0}；③，其中是“互倒集”的序号是________.
解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其他小题每题12分，共70分。）
17.已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，， ，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和为，求
18.在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
(1)求A；
(2)若M为边上一点，且，，求的面积.
19.如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上.
(1)求证：平面；
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
20.某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．
(1)求这10名学生测试成绩的平均分和标准差；
(2)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？
(3)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求的分布列及数学期望．
附：①个数的方差；
②若随机变量服从正态分布，则，，．
21.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，长轴长为4，椭圆C过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知x轴上存在一点E（点E在椭圆左顶点的左侧），过的直线与椭圆C交于点和点，且与互为补角，求面积的最大值.
22.已知，.
(1)记，讨论的单调区间；
(2)记，若有两个零点a，b，且.
请在①②中选择一个完成.
①求证：；
②求证：
