2023年秋数学鲁教版（五四制）九年级上册 3.7 二次函数与一元二次方程 教案

3.7 二次函数与一元二次方程
教学目标
1、掌握二次函数图像与x轴的交点情况，会求抛物线与x轴的交点坐标；
2、理解二次函数的图像和x轴的交点与一元二次方程的方程根的关系；
3、会用判别式 判断抛物线与x轴的交点情况。
教学难点
1、熟练判断二次函数的图像和x轴的交点与一元二次方程的方程根的关系；
2、会用判别式 判断抛物线与x轴的交点情况。
教学过程
一、复习引入
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗 如果有,公共点的横坐标是多少 当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少 由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗
y=x+x-2
(2)y=x-6x+9
(3)y=x-x+1
二、探究新知
一次函数y＝x＋1的图象与x轴的交点为（ ， ）
一元一次方程x＋2＝0的根为________
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根
探索活动
y＝x2 ＋ 2x
图像与x轴有2个交点：
(－2，0) (0，0)
x2＋2x＝0
b2 － 4ac＞0，
x1 ＝－2 ， x2 ＝ 0．
y＝x2－2x＋1
图像与x轴有1个交点：(1,0)．
x2－2x＋1＝0
b2－4ac＝0，
x1＝x2＝1．
y＝x2－2x＋2
图像与x轴没有交点．
x2－2x＋2＝0
b2－4ac＜0，
没有实数根．
y＝x2＋2x y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋2
图像与x轴有2个交点． 图像与x轴有1个交点．
图像与x轴没有交点．
x2＋2x＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋2＝0
b2－4ac＞ 0 b2－4ac＝0 b2－ 4ac＜ 0
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点有三种情况：
①有两个交点，
②有一个交点，
　　③没有交点．
当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
　抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1.b2－4ac＞0 一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0有两个不等的实数根．
抛物线y=ax2 ＋ bx ＋ c与x轴有两个交点．
2. b2－4ac＝0 一元二次方程ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0有两个相等的实数根．
抛物线y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c与x轴有唯一公共点．
3. b2－4ac＜0 一元二次方程ax2 ＋ bx ＋ c＝0没有实数根．
抛物线y＝ax2 ＋ bx ＋ c与x轴没有公共点．
三、典例精析
例1 阅读材料，解答问题．
利用图象法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0.
例2
(1)观察图象，直接写出一元二次不等式x2－2x－3＜0的解集是____________；
(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2－1＞0.
巩固练习
同学们做练习题
课堂小结
谈谈你的收获