(共37张PPT)
第十三章过关训练
人教版八年级上册
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1. 下列图形是轴对称图形的是( )
B
2. 在平面直角坐标系中，点M(－3，－6)关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (3，－6) B. (－3，6)
C. (3，6) D. (－6，－3)
A
3. 如图S13－1，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为( )
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
C
4. 如图S13－2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，分别交BC，AB于点E，D，BE＝6 cm，则AC等于( )
A. 6 cm B. 5 cm
C. 4 cm D. 3 cm
D
5. 如图S13－3，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为( )
A. 80° B. 100°
C. 120° D. 160°
B
6. 如图S13－4，在△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，可得∠EAF的度数为( )
A. 108° B. 115°
C. 122° D. 130°
D
7. 如图S13－5，△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC于点E，若CE＝1，则AE＝( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
C
8. 如图S13－6，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝36°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AC的平行线，交AB于点E.则图中的等腰三角形有( )
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
C
9. 如图S13－7，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是( )
A. AB＝2CM B. EF⊥AB
C. AE＝BE D. AM＝BM
A
10. 如图S13－8，在△ABC中，∠C＝30°，D是AC的中点，DE⊥AC交BC于点E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
B
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11. 如图S13－9，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则∠F＝__________°.
30
12. 如图S13－10，已知AE＝BE，DE是AB的垂直平分线，BF＝12，CF＝3，则AC＝__________.
13. 如图S13－11，AB＝AC＝CD，∠D＝50°，那么∠C＝__________，∠BAD＝__________.
15
80°
30°
14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是__________________.
15. 如图S13－12，在△ABC中，AB＝AC＝8，S△ABC＝16，P为△ABC的角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB＋PE
的最小值为_______.
70°或110°
4
三、解答题(一)(本大题共3小题，每题8分，共24分)
16. 如图S13－13，C为∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，且OD＝CD.求证：CD∥OB.
证明：∵OD＝CD，
∴∠DOC＝∠DCO.
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOC＝∠BOC.
∴∠BOC＝∠DCO.
∴CD∥OB.
17. 如图S13－14，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，求BC的长.
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝30°.
∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°.
∴DC＝2AD＝6，∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝30°.
∴∠BAD＝∠B.∴BD＝AD＝3.∴BC＝BD＋DC＝9.
18. 如图S13－15，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.且BE∥AC.求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
∵AB平分∠DAE，∴∠BAE＝∠BAD.
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE.
∵AE⊥BE，∴∠E＝90°.∵BE∥AC，
∴∠EAC＝180°－∠E＝90°.
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE＝30°.
∴∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形.
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
19. 如图S13－16，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.
(1)尺规作图：在BC上确定一点F，使得AF＝CF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的基础上，连接AD，
AF，若∠B＋∠C＝75°，
求∠DAF的大小.
解：(1)如答图S13－1，点F为所求.
(2)∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD.
∴∠B＝∠BAD.∵AF＝CF，∴∠C＝∠CAF.
∴∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CAF＝75°.
∴∠DAF＝180°－(∠B＋∠C＋∠BAD＋∠CAF)＝180°－150°＝30°.
20. 已知△ABC在平面直角坐标系xOy中，如图S13－17，点A(－5，2)，B(－5，－2)，C(－1，4).
(1)作出△ABC关于y轴对称的
图形△A′B′C′；
(2)求出△ABC的面积；
(3)在边BC上找一点D，
连接AD，使得∠BAD＝∠ABD.
解：(1)如答图S13－2，△A′B′C′即为所求.
(2)△ABC的面积＝×4×4＝8.
(3)如答图S13－2，点D即为所求.
21. 如图S13－18，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F.
(1)求证：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，
求EC的长.
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵FE⊥BC，
∴∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°.
∴∠F＝∠BDE.
∵∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA.∴AF＝AD.
∴△ADF是等腰三角形.
(2)解：∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°.
∵∠F＝30°，BD＝4，
∴∠C＝90°－∠F＝60°，BE＝BD＝2.
∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.
∴BC＝AB＝AD＋BD＝6.
∴EC＝BC－BE＝4.
五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)
22. 如图S13－19，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动(点P不与点A重合)，点P运动的速度为2 cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动(点Q不与点B重合)，点Q运动的速度为3 cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为t s.
(1)在点P，Q运动过程中，经过几秒时，△PBQ为等边三角形？
(2)在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t.
解：(1)∵点P运动的速度为2 cm/s，点Q运动的速度为3 cm/s，
∴BP＝2t cm，BQ＝(6－3t) cm.
当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形.
∴2t＝6－3t.∴t＝1.2，
∴在点P，Q运动过程中，经过1.2 s时，△PBQ为等边三角形.
(2)①当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°.
∴PB＝BQ.∴2t＝(6－3t).∴t＝，
②当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°,∴∠BPQ＝30°.
∴BQ＝PB.∴6－3t＝×2t.∴t＝1.5.
综上所述，在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，则t＝或1.5.
23. 如图S13－20，M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN.
(1)点M在如图S13－20①的位置时，如果AM＝5，求BN的长；
(2)点M在如图S13－20②的位置时，写出线段AB，BM，BN三者之间的数量关系，并加以证明；
(3)点M在如图S13－20③的位置时，当BM＝AB时，求证：MN⊥AB.
(1)解：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，
∴∠APB＝∠MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN.
∴∠APB－∠MPB＝∠MPN－∠MPB，即∠APM＝∠BPN.
在△PAM和△PBN中，
∴△PAM≌△PBN(SAS).
∴BN＝AM＝5.
(2)解：AB＋BM＝BN.证明如下:
∵△PAB，△PMN都是等边三角形，
∴∠APB＝∠MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN.
∴∠APB＋∠MPB＝∠MPN＋∠MPB，即∠APM＝∠BPN.
在△PAM和△PBN中，
∴△PAM≌△PBN(SAS).
∴AM＝BN.∴AB＋BM＝BN.
(3)证明：∵△PAB是等边三角形，
∴AB＝PB，∠ABP＝60°.
∵BM＝AB，
∴PB＝BM.∴∠BPM＝∠PMB＝30°.
∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°.
∴∠AMN＝∠PMB＋∠PMN＝90°.
∴MN⊥AB.
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第十三章过关训练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1. 下列图形是轴对称图形的是( B )
2. 在平面直角坐标系中，点M(－3，－6)关于y轴对称的点的坐标为( A )
A. (3，－6) B. (－3,6)
C. (3,6) D. (－6，－3)
3. 如图S13－1，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为( C )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
图S13－1
4. 如图S13－2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，分别交BC，AB于点E，D，BE＝6 cm，则AC等于( D )
A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 3 cm
图S13－2
5. 如图S13－3，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为( B )
A. 80° B. 100° C. 120° D. 160°
图S13－3
6. 如图S13－4，在△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，可得∠EAF的度数为( D )
A. 108° B. 115° C. 122° D. 130°
图S13－4
7. 如图S13－5，△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC于点E，若CE＝1，则AE＝( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
图S13－5
8. 如图S13－6，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝36°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AC的平行线，交AB于点E.则图中的等腰三角形有( C )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
图S13－6
9. 如图S13－7，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是( A )
A. AB＝2CM B. EF⊥AB C. AE＝BE D. AM＝BM
图S13－7
10. 如图S13－8，在△ABC中，∠C＝30°，D是AC的中点，DE⊥AC交BC于点E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为( B )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
图S13－8
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11. 如图S13－9，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则∠F＝ 30 °.
图S13－9
12. 如图S13－10，已知AE＝BE，DE是AB的垂直平分线，BF＝12，CF＝3，则AC＝ 15 .
图S13－10
13. 如图S13－11，AB＝AC＝CD，∠D＝50°，那么∠C＝ 80° ，∠BAD＝ 30° .
图S13－11
14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是 70°或110° .
15. 如图S13－12，在△ABC中，AB＝AC＝8，S△ABC＝16，P为△ABC的角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB＋PE的最小值为 4 .
图S13－12
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
16. 如图S13－13，C为∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，且OD＝CD.
求证：CD∥OB.
图S13－13
证明：∵OD＝CD，
∴∠DOC＝∠DCO.
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOC＝∠BOC.
∴∠BOC＝∠DCO.
∴CD∥OB.
17. 如图S13－14，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，求BC的长.
图S13－14
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝30°.
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°.
∴DC＝2AD＝6，∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝30°.
∴∠BAD＝∠B.
∴BD＝AD＝3.
∴BC＝BD＋DC＝9.
18. 如图S13－15，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.且BE∥AC.求证：△ABC是等边三角形.
图S13－15
证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
∵AB平分∠DAE，
∴∠BAE＝∠BAD.
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE.
∵AE⊥BE，∴∠E＝90°.
∵BE∥AC，
∴∠EAC＝180°－∠E＝90°.
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAE＝30°.
∴∠BAC＝60°.
∴△ABC是等边三角形.
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
19. 如图S13－16，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.
(1)尺规作图：在BC上确定一点F，使得AF＝CF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的基础上，连接AD，AF，若∠B＋∠C＝75°，求∠DAF的大小.
图S13－16
答图S13－1
解：(1)如答图S13－1，点F为所求.
(2)∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD.
∴∠B＝∠BAD.∵AF＝CF，∴∠C＝∠CAF.
∴∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CAF＝75°.
∴∠DAF＝180°－(∠B＋∠C＋∠BAD＋∠CAF)＝180°－150°＝30°.
20. 已知△ABC在平面直角坐标系xOy中，如图S13－17，点A(－5,2)，B(－5，－2)，C(－1,4).
(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；
(2)求出△ABC的面积；
(3)在边BC上找一点D，连接AD，使得∠BAD＝∠ABD.
图S13－17
答图S13－2
解：(1)如答图S13－2，△A′B′C′即为所求.
(2)△ABC的面积＝×4×4＝8.
(3)如答图S13－2，点D即为所求.
21. 如图S13－18，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F.
(1)求证：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的长.
图S13－18
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵FE⊥BC，
∴∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°.
∴∠F＝∠BDE.
∵∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA.∴AF＝AD.
∴△ADF是等腰三角形.
(2)解：∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°.
∵∠F＝30°，BD＝4，∴∠C＝90°－∠F＝60°，BE＝BD＝2.
∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形.
∴BC＝AB＝AD＋BD＝6.
∴EC＝BC－BE＝4.
五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)
22. 如图S13－19，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动(点P不与点A重合)，点P运动的速度为2 cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动(点Q不与点B重合)，点Q运动的速度为3 cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为t s.
(1)在点P，Q运动过程中，经过几秒时，△PBQ为等边三角形？
(2)在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t.
图S13－19
答图S13－3
解：(1)∵点P运动的速度为2 cm/s，点Q运动的速度为3 cm/s，
∴BP＝2t cm，BQ＝(6－3t) cm.
当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形.
∴2t＝6－3t.∴t＝1.2，
∴在点P，Q运动过程中，经过1.2 s时，△PBQ为等边三角形.
(2)①当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°.
∴PB＝BQ.∴2t＝(6－3t).∴t＝，
②当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°.
∴BQ＝PB.∴6－3t＝×2t.∴t＝1.5.
综上所述，在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，则t＝或1.5.
23. 如图S13－20，M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN.
(1)点M在如图S13－20①的位置时，如果AM＝5，求BN的长；
(2)点M在如图S13－20②的位置时，写出线段AB，BM，BN三者之间的数量关系，并加以证明；
(3)点M在如图S13－20③的位置时，当BM＝AB时，求证：MN⊥AB.
图S13－20
(1)解：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，
∴∠APB＝∠MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN.
∴∠APB－∠MPB＝∠MPN－∠MPB，即∠APM＝∠BPN.
在△PAM和△PBN中，
∴△PAM≌△PBN(SAS).
∴BN＝AM＝5.
(2)解：AB＋BM＝BN.证明如下：
∵△PAB，△PMN都是等边三角形，
∴∠APB＝∠MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN.
∴∠APB＋∠MPB＝∠MPN＋∠MPB，即∠APM＝∠BPN.
在△PAM和△PBN中，
∴△PAM≌△PBN(SAS).
∴AM＝BN.∴AB＋BM＝BN.
(3)证明：∵△PAB是等边三角形，
∴AB＝PB，∠ABP＝60°.
∵BM＝AB，
∴PB＝BM.∴∠BPM＝∠PMB＝30°.
∵△PMN是等边三角形，
∴∠PMN＝60°.
∴∠AMN＝∠PMB＋∠PMN＝90°.
∴MN⊥AB.
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第十三章过关训练
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1. 下列图形是轴对称图形的是( )
2. 在平面直角坐标系中，点M(－3，－6)关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (3，－6) B. (－3,6)
C. (3,6) D. (－6，－3)
3. 如图S13－1，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
图S13－1
4. 如图S13－2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，分别交BC，AB于点E，D，BE＝6 cm，则AC等于( )
A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 3 cm
图S13－2
5. 如图S13－3，AB∥CD，AB＝AC，∠1＝40°，则∠ACE的度数为( )
A. 80° B. 100° C. 120° D. 160°
图S13－3
6. 如图S13－4，在△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，可得∠EAF的度数为( )
A. 108° B. 115° C. 122° D. 130°
图S13－4
7. 如图S13－5，△ABC是等边三角形，AD为中线，DE⊥AC于点E，若CE＝1，则AE＝( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
图S13－5
8. 如图S13－6，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝36°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AC的平行线，交AB于点E.则图中的等腰三角形有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
图S13－6
9. 如图S13－7，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是( )
A. AB＝2CM B. EF⊥AB C. AE＝BE D. AM＝BM
图S13－7
10. 如图S13－8，在△ABC中，∠C＝30°，D是AC的中点，DE⊥AC交BC于点E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
图S13－8
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11. 如图S13－9，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则∠F＝ °.
图S13－9
12. 如图S13－10，已知AE＝BE，DE是AB的垂直平分线，BF＝12，CF＝3，则AC＝ .
图S13－10
13. 如图S13－11，AB＝AC＝CD，∠D＝50°，那么∠C＝ ，∠BAD＝ .
图S13－11
14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是 .
15. 如图S13－12，在△ABC中，AB＝AC＝8，S△ABC＝16，P为△ABC的角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB＋PE的最小值为 .
图S13－12
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
16. 如图S13－13，C为∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，且OD＝CD.
求证：CD∥OB.
图S13－13
17. 如图S13－14，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，求BC的长.
图S13－14
18. 如图S13－15，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.且BE∥AC.求证：△ABC是等边三角形.
图S13－15
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
19. 如图S13－16，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.
(1)尺规作图：在BC上确定一点F，使得AF＝CF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的基础上，连接AD，AF，若∠B＋∠C＝75°，求∠DAF的大小.
图S13－16
20. 已知△ABC在平面直角坐标系xOy中，如图S13－17，点A(－5,2)，B(－5，－2)，C(－1,4).
(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；
(2)求出△ABC的面积；
(3)在边BC上找一点D，连接AD，使得∠BAD＝∠ABD.
图S13－17
21. 如图S13－18，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F.
(1)求证：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的长.
图S13－18
五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)
22. 如图S13－19，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动(点P不与点A重合)，点P运动的速度为2 cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动(点Q不与点B重合)，点Q运动的速度为3 cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为t s.
(1)在点P，Q运动过程中，经过几秒时，△PBQ为等边三角形？
(2)在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t.
图S13－19
23. 如图S13－20，M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN.
(1)点M在如图S13－20①的位置时，如果AM＝5，求BN的长；
(2)点M在如图S13－20②的位置时，写出线段AB，BM，BN三者之间的数量关系，并加以证明；
(3)点M在如图S13－20③的位置时，当BM＝AB时，求证：MN⊥AB.
图S13－20
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