山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含解析）

山东省青岛大学附中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科学记数法可以表示为（　　）
A．29.06×108 B．2.906×108 C．29.06×109 D．2.906×109
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a2+5a2＝8a4
B．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝1
C．（﹣2a2）3﹣（﹣a4）（3a）2＝﹣17a6
D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
4．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1
5．（3分）如图，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（1，4） C．（1，3+1） D．（﹣1，﹣2）
6．（3分）如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，交AB于G，连接EF，AC＝6，则AB的长为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
7．（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（　　）
A．3cm B．6cm C．cm D．cm
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，BD＝12，则EF的最小值为（　　）
A．8 B．6 C．4.8 D．2.4
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣×＝　 　；
（2）分解因式：3m2﹣6m+3＝　 　．
10．（3分）为响应“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，则x的值为 　 　．
11．（3分）如图所示，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝620°，则∠G+∠H＝　 　．
12．（3分）一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k）　 　．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为 　 　．
14．（3分）对于正数x，规定，例如，则　 　．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）尺规作图：
已知线段a，b，求作菱形ABCD，使菱形边长等于a
结论：
四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）
16．（6分）计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：．
17．（6分）近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元2
“美团” ①　 　 6 6 1.2
“滴滴” 6 ②　 　 4 ③　 　
（1）完成表格填空；
（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
18．（8分）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
类别次数 购买A商品数量（件） 购买B商品数量（件） 消费金额（元）
第一次 4 5 320
第二次 2 6 300
第三次 5 7 258
解答下列问题：
（1）第　 　次购买有折扣；
（2）求A、B两种商品的原价；
（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；
（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元
19．（8分）“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元，那么今年的销售总量需要比去年增加20%．请解答以下问题：
（1）A型自行车今年每辆售价为多少？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍．A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．
（1）请直接写出k、b的值；k＝　 　，b＝　 　．
（2）若D线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E．
①设D点的横坐标为x，线段DE的长为y，则y与x的函数关系式为 　 　；
②若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标．
（3）平面内是否存在一点P，使以O、A、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由．
21．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，连接CH与DH．
（1）求证：△BCE≌△HOE；
（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．
22．（8分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息1h后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（km）（h）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）甲同学上山过程中S甲与t的函数解析式为 　 　；点D的坐标为 　 　．
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75km．
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．
23．（10分）【问题提出】
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m）
【问题探究】
为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，最后得出一般性的结论
探究一：
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数
如图1，当m＝3，n＝2时；
如图2，当m＝4，n＝2时，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；
如图3，当m＝5，n＝2时　 　种不同的选择方法；
……
由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有 　 　种不同的选择方法．
探究二：
如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？
我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空
1 2 3 … 93 94 95 96 97 98 99 100
从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有 　 　种不同的选择方法；
从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有 　 　种不同的选择方法；
……
从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有 　 　种不同的选择方法；
……
由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100），有 　 　种不同的选择方法．
【问题解决】
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m）　 　种不同的选择方法．
【实际应用】
我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．
（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上　 　种不同的选择．
（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，则一共有 　 　种不同的选择方法．
【拓展延伸】
如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形　 　种不同的放置方法．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在
答案解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义（绕一个点旋转180°能够与自身重合的图形）判断即可．
【解答】解：选项A、C、D中的图形都能找到一个点，所以是中心对称图形．
选项B中的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科学记数法可以表示为（　　）
A．29.06×108 B．2.906×108 C．29.06×109 D．2.906×109
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：29.06亿＝2906000000＝2.906×109，
故选：D．
【点评】本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a2+5a2＝8a4
B．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝1
C．（﹣2a2）3﹣（﹣a4）（3a）2＝﹣17a6
D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
【分析】利用整式的混合运算法则计算并判断．
【解答】解：3a2+4a2＝8a3，A选项错误；
（﹣a3）4÷（﹣a2）3＝﹣1，B选项错误；
（﹣5a2）3﹣（﹣a5）（3a）2
＝﹣5a6+9a8
＝a6，C选项错误；
（a﹣b）（a2+ab+b4）＝a3﹣b3，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
4．（3分）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1
【分析】根据解不等式，可得每个不等式的解集，再根据每个不等式的解集，可得不等式组的解集，根据不等式的解集，可得答案．
【解答】解：∵不等式组的解集是x＞2，
解不等式①得x＞8，
解不等式②得x＞m+1，
∵不等式组的解集是x＞2，
∴m+5≤2，
m≤1，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）如图，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（1，4） C．（1，3+1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．
【解答】解：如图，
则△A'B'C'为所求，
∴点A的对应点A′的坐标是（2，4），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
6．（3分）如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，交AB于G，连接EF，AC＝6，则AB的长为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
【分析】首先证明△ACG是等腰三角形，则AG＝AC＝6，FG＝CF，则EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG＝AC，
∵AC＝6，
∴AG＝AC＝6，FG＝CF，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴BG＝7EF＝2，
∴AB＝AG+BG＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明FG＝CF是关键．
7．（3分）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（　　）
A．3cm B．6cm C．cm D．cm
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝3cm，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2×3＝6cm，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB＝AC＝5cm，
∴BC2＝AB2+AC5＝62+52＝72，
∴BC＝6，
故选：D．
【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边．
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，BD＝12，则EF的最小值为（　　）
A．8 B．6 C．4.8 D．2.4
【分析】连接OP，作OH⊥AB于点H，由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝8，OB＝OD＝BD＝6，由勾股定理得AB＝＝10，由×10OH＝×8×6＝S△AOB，求得OH＝4.8，再证明四边形PEOF是矩形，则EF＝OP，因为OP≥OH，所以EF≥4.8，则EF的最小值为4.8，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝×16＝8BD＝，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∵AB OH＝△AOB，
∴×10OH＝，
解得OH＝6.8，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF＝OP，
∴OP≥OH，
∴EF≥4.5，
∴EF的最小值为4.8，
故选：C．
【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣×＝　﹣4﹣2　；
（2）分解因式：3m2﹣6m+3＝　3（m﹣1）2　．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，负整数指数幂法则，以及二次根式乘法法则计算即可得到结果；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3﹣
＝﹣1﹣7﹣2
＝﹣7﹣2；
（2）原式＝7（m2﹣2m+4）
＝3（m﹣1）6．
故答案为：（1）﹣4﹣2；（2）3（m﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（3分）为响应“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，则x的值为 　﹣＝　．
【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x棵，原计划植300棵树可用时小时，实际用了小时，根据关键语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程﹣＝．
【解答】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，由题意得：
﹣＝，
故答案为：﹣＝．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．
11．（3分）如图所示，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝620°，则∠G+∠H＝　100°　．
【分析】根据多边形内角和定理可得∠MAF+∠MFA＝100°，从而可得答案．
【解答】解：连接AF，如图：
∵六边形ABCDEF的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，∠MAB+∠B+∠C+∠D+∠E+∠MFE＝620°，
∴∠MAF+∠MFA＝720°﹣620°＝100°，
∴∠AMF＝180°﹣（∠MAF+∠MFA）＝80°，
∴∠GMH＝∠AMF＝80°，
∴∠G+∠H＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查多边形内角和，解题的关键是求出∠MAF+∠MFA＝100°．
12．（3分）一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k）　x≥3　．
【分析】由于不等式（3+k）x≥b﹣1就是不等式kx+1≥﹣3x+b，观察图象，直线y＝kx+1落在直线y＝﹣3x+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象交点为P（8，4），
∴当x≥3时，kx+3≥﹣3x+b，
∴不等式（3+k）x≥b﹣8的解集为x≥3．
故答案为x≥3．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为 　112°　．
【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE＝AE，推出∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE，得到∠ADE+∠ABE＝∠BAD＝56°，由三角形外角的性质得到∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，即可推出∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴DE＝ACAC，
∴DE＝BE＝AE，
∴∠DAE＝∠ADE，∠BAE＝∠ABE，
∴∠ADE+∠ABE＝∠DAE+∠BAE＝∠BAD＝56°，
∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠BEC＝∠BAE+∠ABE，
∴∠DEC+∠BEC＝∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABE，
∴∠BED＝∠BAD+∠ADE+∠ABE＝56°+56°＝112°．
故答案为：112°．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到DE＝BE＝AE，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解．
14．（3分）对于正数x，规定，例如，则　　．
【分析】计算出f（2），f（），f（3），f（）的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可．
【解答】解：∵f（2）＝，f（，f（3）＝）＝，…，
∴f（2）+f（）＝，f（3）+f（＝8，
∴f（x）+f（）＝1，
∴
＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+f（1）
＝1×（2021﹣5）+f（1）
＝2020+
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）尺规作图：
已知线段a，b，求作菱形ABCD，使菱形边长等于a
结论：
【分析】①作直线m，在m上截取线段AC＝b；
②作线段AC的垂直平分线EF，交线段AC于点O；
③以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的菱形．
【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的作法、菱形的判定．
四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）
16．（6分）计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先计算括号，再计算乘除即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，寻找公共部分即可．
【解答】解：（1）原式＝×
＝﹣；
（2），
由①可得﹣5+2x＜3x+6，
∴x＞﹣12，
由②可得3x﹣2x+2≥6，
∴x≥4，
∴不等式组的解集为：x≥5．
【点评】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，属于中考常考题型．
17．（6分）近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元2
“美团” ①　6　 6 6 1.2
“滴滴” 6 ②　4.5　 4 ③　7.6　
（1）完成表格填空；
（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
【分析】（1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【解答】解：（1）①美团平均月收入：1.4+4.8+0.5+1+2.3＝6千元；
②滴滴中位数为4.2千元；
③方差：[5×（4﹣4）2+8×1+2×7+36]＝7.6千元7；
故答案为：6，4.5；
（2）选美团，因为平均数一样、众数美团大于滴滴，更稳定．
【点评】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．
18．（8分）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
类别次数 购买A商品数量（件） 购买B商品数量（件） 消费金额（元）
第一次 4 5 320
第二次 2 6 300
第三次 5 7 258
解答下列问题：
（1）第　三　次购买有折扣；
（2）求A、B两种商品的原价；
（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；
（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元
【分析】（1）由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价＝单价×数量结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设折扣数为z，根据总价＝单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论；
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合消费金额不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．
【解答】解：（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A，总价反而少，
∴第三次购买有折扣．
故答案为：三．
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．
（3）设折扣数为z，
根据题意得：5×30×+2×40×，
解得：z＝6．
答：折扣数为6．
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，
根据题意得：30×m+40×，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为3．
答：至少购买A商品7件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有折扣；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（4）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
19．（8分）“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元，那么今年的销售总量需要比去年增加20%．请解答以下问题：
（1）A型自行车今年每辆售价为多少？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍．A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元
【分析】（1）设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+100）元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设购进A型车a辆，则购进B型车共（80﹣a）辆，求得a≥20，设利润为y元，根据题意，列出函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+100）元，
，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的解，
答：A型自行车今年每辆售价为500元；
（2）解：设购进A型车a辆，则购进B型车共（80﹣a）辆，
依题意，80﹣a≤3a，
解得：a≥20，
根据题意，A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元；B型车每辆的售价为700元，
设利润为y元，则y＝（500﹣400）a+（700﹣500）（80﹣a），
即y＝16000﹣100a，
∵﹣100＜5，
∴当a＝20时取得最大值，最大值为16000﹣100×20＝14000（元），
∴购进A型车20辆，购进B型车共60辆，获利最多14000元．
【点评】本题考查了分式方程的意义，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程与不等式是解题的关键．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．
（1）请直接写出k、b的值；k＝　　，b＝　2　．
（2）若D线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E．
①设D点的横坐标为x，线段DE的长为y，则y与x的函数关系式为 　y＝﹣x+2　；
②若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标．
（3）平面内是否存在一点P，使以O、A、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由．
【分析】（1）把点C的坐标代入即可解答．
（2）①由D（x，x），E（x，x+2），可得y＝x+2﹣x＝﹣x+2；
②求出A（﹣3，0），根据D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，可得x2＝9，即可求得D（，）；
（3）设P（m，n），分三种情况：①当PO，AC为对角线，则PO，AC的中点重合，②当PA，OC为对角线时，PA，OC的中点重合，③当PC，OA为对角线，则PC，OA的中点重合，分别列出方程组，即可解得答案．
【解答】解：（1）把点C的坐标代入y＝中可得b＝3，
故答案为：，6；
（2）①直线CD的解析式为y＝x，
∵DE∥y轴，D点的横坐标为x，
∴D（x，x），x+2），
∴y＝DE＝x+2﹣x+5，
故答案为：y＝﹣x+8，
②在y＝x+7中，
∴A（﹣3，0），
∵D（x，x），0），
∴DO6＝x2+（x）2＝x8，OA2＝9，
∵D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，
∴x2＝9，
解得：x＝或x＝﹣，舍去），
∴D（，）；
（3）存在一点P，使以O，A，C，理由如下：
设P（m，n），
又O（0，0），2），4），
①当PO，AC为对角线，AC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（0，4）；
②当PA，OC为对角线时，OC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（6，5）；
③当PC，OA为对角线，OA的中点重合，
∴，
解得，
∴P（﹣7，﹣4）；
综上所述，P的坐标为（0，7）或（﹣6．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
21．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，连接CH与DH．
（1）求证：△BCE≌△HOE；
（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．
【分析】（1）由ASA证明△BCE≌△HOE即可；
（2）先证四边形BCHO是平行四边形，得CH＝OB，CH∥OB，再证四边形OCHD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵OH∥BC，
∴∠BCE＝∠HOE，
∵E是OC的中点，
∴CE＝OE，
在△BCE和△HOE中，
，
∴△BCE≌△HOE（ASA）；
（2）解：当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形
由（1）可知，△BCE≌△HOE，
∴BE＝HE，
∵CE＝OE，
∴四边形BCHO是平行四边形，
∴CH＝OB，CH∥OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴CH＝OD，OC＝OD，
∴四边形OCHD是平行四边形，
又∵OC＝OD，
∴平行四边形OCHD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．（8分）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息1h后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（km）（h）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）甲同学上山过程中S甲与t的函数解析式为 　S甲＝t　；点D的坐标为 　（9，4）　．
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75km．
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．
【分析】（1）由图可知，甲同学登山过程中路程s与时间t成正比例函数，设S甲＝kt，用待定系数法可求解，当S甲＝4时，可得t＝8，即可得D的坐标；
（2）①把y＝4﹣0.75代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出点F的横坐标，再利用待定系数法求解即可；
②把y＝4代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的关系式求解即可．
【解答】解：（1）设甲同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为S甲＝kt，
由图象得2＝4k，
∴k＝，
∴解析式为S甲＝t；
当S甲＝4时，t＝8，
∴甲到达山顶时间是3小时，而甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山，
∴D（9，2），
故答案为：S甲＝t；（7；
（2）①当y＝4﹣0.75＝时，t＝，
解得t＝，
∴点F（，），
设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，将D（9，）代入得：
则：，
解答，
答：甲同学下山过程中S与t的函数解析式为S＝﹣t+13；
②乙到山顶所用时间为：8÷＝12（小时），
当t＝12时，S＝﹣12+13＝2，
当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝8（千米）．
答：甲与乙的距离是3千米．
【点评】本题考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是一道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求．
23．（10分）【问题提出】
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m）
【问题探究】
为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，最后得出一般性的结论
探究一：
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数
如图1，当m＝3，n＝2时；
如图2，当m＝4，n＝2时，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；
如图3，当m＝5，n＝2时　4　种不同的选择方法；
……
由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有 　m﹣1　种不同的选择方法．
探究二：
如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？
我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空
1 2 3 … 93 94 95 96 97 98 99 100
从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有 　98　种不同的选择方法；
从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有 　97　种不同的选择方法；
……
从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有 　93　种不同的选择方法；
……
由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100），有 　（100﹣n+1）　种不同的选择方法．
【问题解决】
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m）　（m﹣n+1）　种不同的选择方法．
【实际应用】
我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．
（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上　6　种不同的选择．
（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，则一共有 　11　种不同的选择方法．
【拓展延伸】
如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形　35　种不同的放置方法．
【分析】探究一：观察规律可知，选择方法的数量比数的个数少1，由此可得结果；
探究二：选择3个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，
选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3，
以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，
选择n个连续自然数，选择方法的数量比数的个数少（n﹣1）；
【问题解决】：将探究二结论中的100换成m即可；
【实际应用】（1）将m＝7，n＝2，代入之前的结论即可；
（2）将m＝13，n＝3，代入之前的结论即可；
【拓展延伸】图案向右移动，每次一格，可得横向的放置方法数，图案向下移动，每次一格，可得纵向的放置方法数，两者相乘即为总数．
【解答】解：探究1：当m＝5，n＝7时，
根据规律可知：
从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有（m﹣1）种不同的选择方法；
故答案为：6、m﹣1．
探究2：选择5个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，
选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，
以此类推，选择8个连续的自然数，
选择n个连续自然数，选择方法的数量比数的个数少（n﹣1）；
故从100个连续的自然数中选择7个连续的自然数，有100﹣2＝98种不同的选择方法；
从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有100﹣3＝97种不同的选择方法；
……
从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有100﹣7＝93种不同的选择方法；
……
由上可知：如果从2，2，3……100，有（100﹣n+7）种不同的选择方法．
故答案为：98、97、100﹣n+1．
【问题解决】
由规律可知：
从m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m﹣n+1）种不同的选择方法．
故答案为：（m﹣n+2）．
【实际应用】
（1）从连续7天选择连续2天，则m＝5，总共有（7﹣2+3）＝6种选择；
（2）3号到15号总共13张电影票，选择2连号，n＝3；
故答案为：6、11．
【拓展延伸】
图案向右移动，每次一格，可得7种放置方法，
图案向下移动，每次一格，6选2，
故总共7×5＝35种放置方法．
故答案为：35．
【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论是解决此类问题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在
【分析】（1）设直线DP解析式为y＝kx+b，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；
（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
【解答】解：（1）∵OA＝6，OB＝10，
∴C（6，10）．
设此时直线DP解析式为y＝kx+b，
把D（4，2），10）分别代入得，
，
解得，
∴此时直线DP的函数解析式为y＝x+6；
（2）当点P在线段AC上，0≤t＜5时，高为7×7×6＝6，
当点P在线段BC上，7≤t＜8时，高为6+10﹣8t＝16﹣2t×2×（16﹣2t）＝﹣6t+16，
∴△OPD的面积S关于t的函数解析式为S＝；
（3）存在，理由为：
因为BD＞BC，所以满足条件的点AC上．
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑，
①当BD＝BP＝OB﹣OD＝10﹣2＝8时，
在Rt△BCP中，BP＝5
根据勾股定理得：CP＝＝2，
∴AP＝10﹣2，即P（4）；
②当BP＝DP时，过点P作PQ⊥OB于Q，
∴BQ＝DQ＝×（10﹣2）＝4，
∴OQ＝6+4＝6，
∴P（8，6）；
③当DB＝DP＝8时，过点D作DE⊥AC于E，
在Rt△DEP中，DE＝7，
根据勾股定理得：PE＝＝2，
∴AP＝AE+EP＝2+8，
∴P（6，2+2），
综上，满足题意的P坐标为（6，6+2）或（6）．
【点评】此题属于一次函数综合题，考查了待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．