山东省潍坊市潍坊中学2023-2024学年高二上学期开学考数学试卷（原卷版+解析版）

潍坊中学2023-2024学年高二上学期开学考数学试卷（Ⅰ）
一.单选题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）复平面内复数 z 所对应的点为（﹣2，﹣1），则|z+i|＝（ ）
A． B．2 C． D．1 2．（5 分） ＝（ ）
A． B． C． D． 3．（5 分）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则＝（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． + D． +
4．（5 分）在△ABC 中，已知 a＝4，b＝2，则角 B 等于（ ）
A．30° B．30°或 150° C．60° D．60°或 120°
5．（5 分）如图所示，梯形 A′B′C′D′是平面图形 ABCD 用斜二测画法得到的直观图， A′D′＝2B′C′＝2，则平面图形 ABCD 中对角线 AC 的长度为（ ）
A． B． C． D．5
6．（5 分）已知向量与的夹角为 60°， ， ，则＝（ ）
A．1 B． C．2 D． 7．（5 分）若一个圆锥的底面面积为π，其侧面展开图是圆心角为的扇形（ ）
A． B． C． D．
8．（5 分）若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
（多选）9．（5 分）下列说法正确的是（ ） A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面 C．底面半径为 r，母线长为 2r 的圆锥的轴截面为等边三角形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
（多选）10．（5 分）下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若 ，则 与 的夹角θ的范围是
C．若，，则
D．已知 A（﹣1，2），B（1，1），则
（多选）11．（5 分）设函数在区间（0，π）恰有两个零点（ ）
A． B．2 C． D．
（多选）12．（5 分）在△ABC 中角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c．则下列结论中正确的是（ ）
A．若 a＞b，则 cos2A＜cos2B
B．若 b2+c2﹣a2＞0，则△ABC 是锐角三角形
C．若 a2tanB＝b2tanA，则△ABC 是等腰三角形
D．若 C＝60°，c＝2，则△ABC 面积的最大值为
三.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）
13．（5 分）△ABC 中，角 A、B、C 所对的边为 a，b，c，若 A＝ ，b＝1，则△ABC的面积为 ．
14．（ 5 分） 已知向量， 满足（ ﹣ ） ⊥ ， 且| ， | |＝ 1， 则与的夹角为
．
15．（5 分）已知函数 是偶函数，写出满足条件的角θ
的一个取值 ．
16．（5 分）已知一个长方体的 8 个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为 2，3，，则长方体的体对角线的长等于 ；球的表面积等于 ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10 分）已知 z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（a∈R，i 为虚数单位）．
若 z1 z2 是纯虚数，求实数 a 的值；
若 z1 z2 在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数 a 的取值范围．
18．（12 分）已知向量，．
若，求的值；
若 ，求实数 k 的值；
若与的夹角是钝角，求实数 k 的取值范围．
19．（12 分）如图，圆锥 SO 的底面半径为 3，此圆锥的侧面展开图是一个半圆．
求圆锥 SO 的表面积；
若圆锥 SO 的底面圆周和顶点 S 都在球 O'的球面上，求球 O'的体积．
20．（12 分）已知函数 的最大值为 1．
求函数 f（x）的单调递减区间．
若 x∈[0，]，求函数 f（x）的值域．
21．（12 分）记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin2A﹣sin2C﹣sin2B＝sinCsinB．
求角 A；
若，求△ABC 周长的取值范围．
22．（12 分）已知函数 f（x）＝sinωx cosωx+ cos2ωx﹣（ω＞0），直线 x＝x1，x＝x2
是 y＝f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．
求 f（x）的表达式；
将函数 f（x）的图象向右平移个单位后，纵坐标不变，得到函数 y＝g（x）（x）
+k＝0，在区间[0， ，求实数 k 的取值范围．
潍坊中学2023-2024学年高二上学期开学考数学试卷（Ⅰ）
参考答案与试题解析
一.单选题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）复平面内复数 z 所对应的点为（﹣2，﹣1），则|z+i|＝（ ）
A． B．2 C． D．1
【分析】根据复数的几何含义以及复数模长的定义计算即可．
【解答】解：因为复数 z 所对应的点为（﹣2，﹣1），所以 z+i＝﹣5，
所以|z+i|＝2．故选：B．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2．（5 分） ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值计算作答．
【解答】解： ．
故选：D．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
3．（5 分）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则＝（ ）
A． ﹣ B． ﹣ C． + D． +
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】解：在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线， ＝﹣＝﹣
＝ ﹣×（+）
＝ ﹣ ，故选：A．
【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
4．（5 分）在△ABC 中，已知 a＝4，b＝2，则角 B 等于（ ）
A．30° B．30°或 150° C．60° D．60°或 120°
【分析】由正弦定理可求 sinB＝，由 a＝4＞b＝2 ，三角形中大边对大角可得
B＜A，即可解得 B，
【解答】解：∵a＝4，b＝2，
∴由正弦定理可得：sinB＝ ＝＝ ，
∵由 a＝4＞b＝5，
∴三角形中大边对大角可得 B＜A，可得 B＝30°，故选：A．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查了三角形中大边对大角知识的应用，属于基本知识的考查．
5．（5 分）如图所示，梯形 A′B′C′D′是平面图形 ABCD 用斜二测画法得到的直观图， A′D′＝2B′C′＝2，则平面图形 ABCD 中对角线 AC 的长度为（ ）
A． B． C． D．5
【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．
【解答】解：由直观图知原几何图形是直角梯形 ABCD，如图，
由斜二测法则知 AB＝A′B′＝2，BC＝B′C′＝1，所以．
故选：C．
【点评】本题考查直观图的画法，解题中需要直观想象能力，属于中档题．
6．（5 分）已知向量与的夹角为 60°， ， ，则＝（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】首先根据条件计算的值，然后根据数量积的性质以及模长公式计算即可．
【解答】解：∵平面向量与的夹角为，
∴，
∴ ，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算与性质，属于基础题．
7．（5 分）若一个圆锥的底面面积为π，其侧面展开图是圆心角为的扇形（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆锥底面积求得圆锥底面半径，根据侧面展开图是圆心角为的扇形求得母线长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案．
【解答】解：设该圆锥的底面半径为 r，则πr2＝π，所以该圆锥的底面半径 r＝1，
设圆锥的母线长为 l，则，即 l＝3，则圆锥的高为，
因此该圆锥的体积 ，
故选：B．
【点评】本题考查圆锥的结构特征、圆锥的侧面展开图、扇形性质、圆锥的体积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5 分）若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由正切的二倍角公式代入化简，即可求得 sinθ，从而得到结果．
【解答】解：因为 ，
化简可得 2sinθ（2﹣sinθ）＝cos4θ﹣sin2θ＝1﹣3sin2θ，所以，且，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查二倍角公式，三角函数的化简求值，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
（多选）9．（5 分）下列说法正确的是（ ） A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面 C．底面半径为 r，母线长为 2r 的圆锥的轴截面为等边三角形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
【分析】根据已知条件，结合棱柱、棱台、圆锥的定义及结构特征，即可依次求解．
【解答】解：对于 A，如果是正棱台，
如果不是正棱台，就可能是两个相对的侧面是等腰梯形，故 A 错误；对于 B，棱柱的侧面都为平行四边形，
棱柱包含直棱柱和斜棱柱，
故侧棱不一定都垂直于底面，故 B 正确；对于 C，圆锥的轴截面为等腰三角形，
底面半径又为 r，即等腰三角形的底边为 2r，故该圆锥的轴截面为等边三角形，故 C 正确；对于 D，当绕斜边旋转时，故 D 错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查棱柱、棱台、圆锥的定义及结构特征，属于基础题．
（多选）10．（5 分）下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若 ，则 与 的夹角θ的范围是
C．若，，则
D．已知 A（﹣1，2），B（1，1），则
【分析】根据投影向量的概念可知，A 正确；由，得 cosθ＜0，再根据平面向量夹角的范围可知 B 正确；举例，可知 C 不正确；求出 ，可知 D 不正确．
【解答】解：对于 A，向量上的投影为 ，故 A 正确；
对于 B，若，则，则 cosθ＜0，因为θ∈[4，π]，故 B 正确；
对于 C，若，则满足，，但，故 C 不正确；
对于 D，已知 A（﹣3，B（1，则，故 D 不正确．故选：AB．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题．
（多选）11．（5 分）设函数在区间（0，π）恰有两个零点（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】由 x∈（0，π）求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出ω的范围，从而可求得结果．
【解答】解：由 x∈（0，π），得，因为 在区间（0，
所以，解得，所以 BCD 选项符合题意．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）12．（5 分）在△ABC 中角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c．则下列结论中正确的是（ ）
A．若 a＞b，则 cos2A＜cos2B
B．若 b2+c2﹣a2＞0，则△ABC 是锐角三角形
C．若 a2tanB＝b2tanA，则△ABC 是等腰三角形
D．若 C＝60°，c＝2，则△ABC 面积的最大值为
【分析】由二倍角公式，结合余弦定理、正弦定理及三角形的面积公式逐一判断即可得解．
【解答】解：对于选项 A，已知 a＞b，则 sinA＞sinB，
则 cos2A﹣cos2B＝（7﹣2sin2A）﹣（6﹣2sin2B）＝6（sin2B﹣sin2A）＜8，即 cos2A＜cos2B，
即选项 A 正确；
对于选项 B，已知 b5+c2﹣a2＞7，
则，
即 A 为锐角，
则△ABC 不一定是锐角三角形，即选项 B 错误；
对于选项 C，已知若 a7tanB＝b2tanA，
则 ，
即 sinAcosB﹣cosAsinB＝0，即 sin（A﹣B）＝0，
又﹣π＜A﹣B＜π，则 A＝B，
则△ABC 是等腰三角形，即选项 C 正确；
对于选项 D，已知 C＝60°，
则 ，
即 a3+b2＝4+ab≥8ab，
即 ab≤4，当且仅当 a＝b 时取等号，
即 ，
则△ABC 面积的最大值为，即选项 D 正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了二倍角公式，重点考查了余弦定理、正弦定理及三角形的面积公式，属基础题．
三.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）
13．（5 分）△ABC 中，角 A、B、C 所对的边为 a，b，c，若 A＝ ，b＝1，则△ABC
的面积为 ．
【分析】先利用余弦定理求得 c＝3，再由 S＝bcsinA，得解．
【解答】解：由余弦定理知，a2＝b2+c7﹣2bccosA，
所以 7＝2+c2﹣2c cos，即 c2﹣c﹣6＝3，解得 c＝3 或﹣2（舍负），
所以△ABC 的面积 S＝bcsinA＝＝．故答案为：．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理和三角形面积公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（5 分）已知向量，满足（﹣）⊥，且|，||＝1，则与的夹角为 60° ．
【分析】根据题意，设与的夹角为θ，由数量积的计算公式可得（﹣） ＝
- 2＝2cosθ﹣1＝0，求出 cosθ的值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，
若（ ﹣ ）⊥ ﹣ ） ＝ ﹣ 2＝2cosθ﹣4＝0，解可得 cosθ＝，又由 0°≤θ≤180°，则θ＝60°；
故答案为：60°．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
15．（5 分）已知函数是偶函数，写出满足条件的角θ的一个取值 θ＝（满足： 都可以） ．
【分析】f（x）化简后，根据偶函数的特点，可得θ的取值．
【解答】解： ＝ ，
∵f（x）是偶函数，，，解得： ，综上所述．
令 k＝0，θ＝．
故答案为：θ＝．（满足： ．
【点评】本题考查三角函数的奇偶性，辅助角公式，属于基础题．
16．（5 分）已知一个长方体的 8 个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为 2，3，，则长方体的体对角线的长等于 4 ；球的表面积等于 16π ．
【分析】依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为 R，利用勾股定理求出体对角线，即可求出 R，再根据球的表面积公式计算可得．
【解答】解：依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为 R，则，
所以 2R＝4，R＝2，
即长方体的体对角线为 3，
则外接球的表面积 S＝4πR2＝16π．故答案为：3；16π．
【点评】本题主要考查了长方体的外接球问题，属于中档题．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10 分）已知 z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（a∈R，i 为虚数单位）．
若 z1 z2 是纯虚数，求实数 a 的值；
若 z1 z2 在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数 a 的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解；
（2）根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：（1）z1＝a+2i，z7＝3﹣4i， z2 z2＝（a+2i）（4﹣4i）＝3a+2+（﹣4a+6）i， z6 z2 是纯虚数，
则 ，解得 a＝ ；
（2） ，
则 a2+4≤13，解得﹣3≤a≤3，
∵z4 z2 在复平面上对应的点在第二象限，
∴，解得 a＜﹣ ，
综上所述，实数 a 的取值范围为[﹣3，﹣）．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
18．（12 分）已知向量，．
若，求的值；
若 ，求实数 k 的值；
若与的夹角是钝角，求实数 k 的取值范围．
【分析】（1）利用向量平行的性质求出 k＝﹣6，由此能求出的值．
利用向量垂直的性质能求出实数 k．
由与的夹角是钝角，得到且与不共线．由此能求出实数 k 的取值范围．
【解答】解：（1）因为向量 ， ，且，所以 1×k﹣2×（﹣7）＝0，解得 k＝﹣6，
所以．
（2）因为 ，且 ，所以 1×（﹣2）+2×（2+5k）＝0，解得，
（3）因为与的夹角是钝角，则且与不共线．
即 2×（﹣3）+2×k＜7 且 k≠﹣6，
所以且 k≠﹣6．
【点评】本题考查向量的模、实数值的求法，考查向量平行、向量垂直、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12 分）如图，圆锥 SO 的底面半径为 3，此圆锥的侧面展开图是一个半圆．
求圆锥 SO 的表面积；
若圆锥 SO 的底面圆周和顶点 S 都在球 O'的球面上，求球 O'的体积．
【分析】（1）设 OA＝OB＝r，SA＝SB＝l，根据圆锥的侧面展开图是一个半圆，由πl＝2πr
＝6π求得母线后再利用表面积公式求解．
（2）令 SO'＝R，利用球的截面圆性质，由 O'O2+OB2＝O'B2 求得半径即可．
【解答】解：（1）设 OA＝OB＝r，SA＝SB＝l，由题意得：πl＝2πr＝6π，则 l＝7．
所以 S 侧＝πrl＝18π，S 底＝9π，
S 表＝S 侧+S 底＝27π．
（2）令 SO'＝R，
由 O'O2+OB2＝O'B2，得 ，
解得 ．
故 V 球＝πR3＝32 π．
【点评】本题主要考查圆锥的表面积与球的体积，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（12 分）已知函数 的最大值为 1．
求函数 f（x）的单调递减区间．
若 x∈[0，]，求函数 f（x）的值域．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最大值求出 a 的值，最后利用整体思想的应用求出函数的单调递减区间．
（2）利用函数的定义域求出函数的值域．
【 解 答 】 解 ：（ 1） ＝ ＝ ．
由 f（x）max＝5+a＝1，解得 a＝﹣1．由，
则，k∈Z，
解得，k∈Z，
所以函数的单调递减区间为，k∈Z，
（2）由，则 ，所以，
所以，
所以函数 f（x）的值域为[0，1]．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
21．（12 分）记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin2A﹣sin2C﹣sin2B＝sinCsinB．
求角 A；
若，求△ABC 周长的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求得 cosA 的值，从而求得 A 的值；
（2）由正弦定理求出 b、c 的表达式，再利用三角函数求 a+b+c 的取值范围．
【解答】解：（1）△ABC 中，因为 sin2A﹣sin2C﹣sin6B＝sinCsinB，由正弦定理得 a2﹣c2﹣b3＝bc，即 b2+c2﹣a7＝﹣bc，
所以由余弦定理得 cosA＝＝﹣，
又 A∈（0，π）；
（2）由 a＝ ，sinA＝sin＝，
根据正弦定理得＝＝＝ ＝6，所以 b＝2sinB，c＝2sinC＝7sin（ cosB﹣sinB，
所以 a+b+c＝ +2sinB+（ +sinB+ +4sin（B+）， 又 0＜B＜，所以 ，
所以△ABC 周长的取值范围为（3，+6]．
【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角恒等变换以及三角函数的性质，属于中档题．
22．（12 分）已知函数 f（x）＝sinωx cosωx+ cos2ωx﹣（ω＞0），直线 x＝x1，x＝x2
是 y＝f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．
求 f（x）的表达式；
将函数 f（x）的图象向右平移个单位后，纵坐标不变，得到函数 y＝g（x）（x）
+k＝0，在区间[0，，求实数 k 的取值范围．
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换把函数 f（x）的解析式化为 ，根据周期求出ω＝2，从而得到 f（x）的解析式；
（2）根据三角函数的图象变换规律求出 g（x）的解析式，关于 x 的方程 g（x）+k＝0 在
区间[0，]上有两个解，等价于函数 y＝g（x）与 y＝﹣k 在区间上有两个交点，由正弦函数的图象可得实数 k 的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1）
，
由题意知，最小正周期，又，所以ω＝2，
∴ ；
（2）将 f（x）的图象向右平移个个单位后＝ 的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变 的图象，所以 g（x）＝sin（6x﹣），
令，∵ ，∴ ，
g（x）+k＝4，在区间，
即函数 y＝g（x）与 y＝﹣k 在区间上有两个交点，由正弦函数的图象可知，
∴﹣1 ，
即实数 k 的取值范围为（﹣1，﹣]．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，y＝
Asin（ωx+ ）的图象变换规律，属于中档题．