上海市曹杨第二中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版）

2023-2024 学年上海市曹杨二中高三（上）开学数学试卷
一、填空题（第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分，满分 54 分）
1．（4 分）过 P（﹣2，m）、Q（m，4）两点的直线的倾斜角为 45° ．
2．（ 4 分 ） 若 集 合 A＝ {x|3x2﹣ 14x+16≤ 0}， ， 则 A∩ B＝
．
3．（ 4 分 ） 双 曲 线 4x2﹣ y2＝ 1 的 一 条 渐 近 线 与 直 线 tx+y+1＝ 0 垂 直 ， 则 t＝
．
4．（ 4 分 ） 如 图 为 函 数 f（ x） 的 图 象 ， f′ （ x）（ x） 的 导 函 数 ， 则 不 等 式
．
5．（4 分）“m＞n＞0”是”方程 mx2+ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 条件．
6．（ 4 分） 若曲线 y＝ e﹣ x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1＝ 0， 则点 P 的坐标为 ．
7．（ 5 分） 若函数 是 R 上的单调函数， 则实数 a 的取值范围是 ．
8．（5 分）已知圆 C1：x2+y2＝4 和圆 C2：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，则过点且与
C1，C2 都相切的直线方程为 ．
9．（5 分）如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，然后在 P 点处变轨进入以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在 Q 点处变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行， 圆形轨道Ⅲ的半径为 r， 则椭圆轨道Ⅱ的离心率为
（用 R、r 表示）．
10．（5 分）已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）（其中 a 为实数）过定点 P，点 Q 在函
数，则 PQ 连线的斜率的取值范围是 ．
11．（5 分）已知抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F，直线 l：x＝5，点 A，若点 B 在某个位置时，仅存在唯一的点 A 使得|AF|＝|AB| ．
12．（ 5 分 ）已 知 实 数 a，b，c 满 足 ：a+b+c＝ 0 与 a2﹣ bc＝ 3，则 abc 的 取 值 范 围 为
．
二.选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）
13．（5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的可导函数，若，则 f′
（2）＝（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
14．（5 分）已知三条直线 l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0 将平面分为六个部分，则满足条件的 k 的值共有（ ）
个 B．2 个 C．3 个 D．无数个
15．（5 分）已知函数 f（x）的导函数 f′（x）满足 f（x）+（x+1）（x）＞0 对 x∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）
A．0＜f（0）＜2f（1） B．f（0）＜0＜2f（1）
C．0＜2f（1）＜f（0） D．2f（1）＜0＜f（0）
16．（5 分）已知抛物线 y2＝2px（p＞0），F 为其焦点，l 为其准线，A'、B'分别为 A、B 在 l
上的射影，M 为 A'B'的中点
①A'F⊥B'F；
②AM⊥BM；
③A'F∥BM；
④A'F 与 AM 的交点在 y 轴上；
⑤AB'与 A'B 交于原点．
其中真命题的个数为（ ）
个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
三.解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）
17．（15 分）已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．
（1）求 A∪B；
（2）设集合 D＝{x|a＜x＜a+3，a∈R}，若，求实数 a 的取值范围．
18．（15 分）已知圆 C 经过 A（﹣1，0），B（2，3）两点，且圆心 C 在直线 2x﹣y﹣4＝0 上．
求圆 C 的方程；
过点（3，2）的直线 l 与圆 C 交于 P，Q 两点，求直线 l 的方程．
19．（15 分）某网球中心在 10000 平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为 1000 平方米．当该中心建设 x（x∈N）块球场时（单位：元）可近似地用函数
关系式来刻画
请写出当网球中心建设 x（x∈N）块球场时，该工程每平方米的综合费用 g（x），并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；
为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？
20．（15 分）如图，已知椭圆 ，抛物线 1 与抛物线
C2 的一个交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 C1 于点 B，交抛物线 C2 于点 M（B、M 不同于 A）．
若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求 p 的值；
若直线 l 过椭圆的右焦点，求△ABO 面积的最大值及此时直线 l 的方程；
若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．
21．（16 分）已知函数 f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b，（a，b∈R）．
（1）g（1）＝f（0），g'（1）（0），求实数 a，b 的值；
若 a＝1，b＝2，且不等式 f（x）﹣x+2）﹣2 对任意 x∈R 恒成立，求 k 的取值范围；
设 b＝2，试利用结论 ex+e﹣x≥x2+2，证明：若θ1，θ2，…，θn∈（0，），其中 n
≥2，n∈N*，则 f（sinθ1） f（cosθn）+f（sinθ2） f（cosθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1） f（cosθ2
）+f（sinθn） f（cosθ1）＞6n．
2023-2024 学年上海市曹杨二中高三（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分，满分 54 分）
1．（4 分）过 P（﹣2，m）、Q（m，4）两点的直线的倾斜角为 45° 1 ．
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
【解答】解：过 P（﹣2，m），4）两点的直线的倾斜角为 45°，则 kPQ＝tan45＝3，
又．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式 属于基础题．
2．（4 分）若集合 A＝{x|3x2﹣14x+16≤0}， ，则 A∩B＝ {x|≤
} ．
【分析】分别求出集合中不等式的解集，再根据集合的交集运算，即可得到本题答案．
【解答】解：因为 3x2﹣14x+16≤3，
所以（x﹣2）（3x﹣5）≤0，得，所以 ，
又因为，
所以 x（3x﹣2）＞0，得 x＜0 或，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查不等式与集合相关知识，属于基础题．
3．（4 分）双曲线 4x2﹣y2＝1 的一条渐近线与直线 tx+y+1＝0 垂直，则 t＝ ± ．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线 tx+y+1＝0 的斜率为﹣t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．
【解答】解：双曲线 4x2﹣y2＝1 即为 ﹣y2＝8，
可得渐近线为 y＝±2x，
直线 tx+y+1＝4 的斜率为﹣t，而渐近线的斜率为±2，
由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得
﹣t＝±， 即有 t＝±．
故答案为：±．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的运用，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．
4．（4 分）如图为函数 f（x）的图象，f′（x）（x）的导函数，则不等式 （﹣3，
﹣1）∪（0，1） ．
【分析】由函数的图象可以看出，由＜0，得或，即可得到其解集．
【解答】解：如图为函数 f（x）的图象，f′（x）为函数 f（x）的导函数，
∴由图，得 f′（﹣3）＝f′（﹣1）＝f′（1）＝5，由 f（x）的图象得 f（x）在 x＝﹣3，x＝﹣1，
则 f′（x）的符号如下：
x   （﹣∞，﹣ ﹣3   （﹣3，﹣7 ﹣1   （﹣1，6）  1 （1，+∞）
7）
 f（x ） ↓ ↑ ↓ ↑
 f′ （x） - + - +
∵ ＜4，∴ 或 ，
∴﹣3＜x＜﹣7 或 0＜x＜1．
故不等式＜7 的解集为（﹣3，1）．故答案为：（﹣7，﹣1）∪（0．
【点评】本题利用导数研究函数的单调性，解题的关键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，本题利用图形告诉函数导数的符号，形式新颖．
5．（4 分）“m＞n＞0”是”方程 mx2+ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 充要 条件．
【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，及椭圆的定义，我们分别判断“m
＞n＞0” “方程 mx2+ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的真假，及“方程 mx2+ny2＝1表示焦点在 y 轴上的椭圆” “m＞n＞0”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到结论．
【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程 mx2+ny7＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0” ”方程 mx6+ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”为真命题，
当“方程 mx5+ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”时“m＞n＞7”也成立
即“方程 mx2+ny2＝6 表示焦点在 y 轴上的椭圆” “m＞n＞0”也为真命题故“m＞n＞0”是”方程 mx7+ny2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件故答案为：充要
【点评】判断充要条件的方法是：①若 p q 为真命题且 q p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；②若 p q 为假命题且 q p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；③若 p q 为真命题且 q p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；
④若 p q 为假命题且 q p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的既不充分也不必要条件．⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断
命题 p 与命题 q 的关系．
6．（ 4 分） 若曲线 y＝ e﹣ x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1＝ 0， 则点 P 的坐标为
（﹣ln2，2） ．
【分析】先设 P（x，y），对函数求导，由在点 P 处的切线与直线 2x+y+1＝0 平行，求出
x，最后求出 y．
【解答】解：设 P（x，y）﹣x，
∵y′＝﹣e﹣x，在点 P 处的切线与直线 2x+y+1＝6 平行，令﹣e﹣x＝﹣2，解得 x＝﹣ln2，
∴y＝e﹣x＝3，故 P（﹣ln2．故答案为：（﹣ln2，2）．
【点评】本题考查了导数的几何意义，即点 P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．
7．（5 分）若函数是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是 [1，
+∞）． ．
【分析】由题意，对函数 f（x）进行求导，对函数 f（x）是 R 上的单调递增函数和函数 f（x）是 R 上的单调递减函数这两种情况进行讨论，将问题转化成导函数的不等式恒成立，结合判别式进行求解即可．
【解答】解：已知 ，函数定义域为 R，
可得 f′（x）＝x2+2x+a，
若函数 f（x）是 R 上的单调函数，
当函数 f（x）是 R 上的单调递增函数，此时 f′（x）≥0 恒成立，
即 x6+2x+a≥0 在 R 上恒成立，此时Δ＝5﹣4a≤0，
解得 a≥2；
当函数 f（x）是 R 上的单调递减函数，此时 f′（x）≤0 恒成立，
即 x2+3x+a≤0 在 R 上恒成立，不符合题意，综上，满足条件的实数 a 的取值范围为[1．故答案为：[6，+∞）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
8．（5 分）已知圆 C1：x2+y2＝4 和圆 C2：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，则过点且与
C1，C2 都相切的直线方程为 5x+12y﹣26＝0 ．
【分析】求解经过 M 与圆 C1：x2+y2＝4 相切的直线方程，然后判断与圆 C2：（x﹣3）2
+（y﹣2）2＝1 相切的直线方程即可．
【解答】解：过点且与 C1 相切的直线方程设为 y﹣＝k（x﹣1）＝0，可 ＝2或 k＝﹣，
圆 C2：（x﹣3）5+（y﹣2）2＝2 的圆心到直线 3x+4y﹣10＝3 的距离 d＝＝＞
8，
所以直线 3x+4y﹣10＝2 与圆 C2 不相切，故不满足题意，
又＝12 相切，满足题意．故答案为：7x+12y﹣26＝0．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，切线方程的求法，是中档题．
9．（5 分）如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，然后在 P 点处变轨进入以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在 Q 点处变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，圆形轨道Ⅲ的半径为 r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为
（用 R、r 表示）．
【分析】由已知可得 a+c＝R，a﹣c＝r，求解可得 a 与 c 的值，则答案可求．
【解答】解：由椭圆的性质知，a+c＝R，解得 a＝ ，
∴椭圆轨道Ⅱ的离心率为 e＝ ．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，正确理解题意是关键，是基础题．
10．（5 分）已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）（其中 a 为实数）过定点 P，点 Q 在函
数，则 PQ 连线的斜率的取值范围是 [﹣3，+∞） ．
【分析】直线方程即 x+y﹣4+a（﹣x+y﹣4）＝0，由 ，求得定点 P 的坐标，设点 Q（m，m+ ），m≠0，则 PQ 连线的斜率为 ＝ ﹣3，再利用二次函数的性质求得它的范围．
【解答】解：已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣6（a+1）＝0 即 x+y﹣3+a（﹣x+y﹣4）＝
0，
由 ，解得 ，4）．
设点 Q（m，m+），则 PQ 连线的斜率为  ﹣＝ ﹣3≥﹣8，故 PQ 连线的斜率的取值范围为[﹣3，+∞），
故答案为[﹣3，+∞）．
【点评】本题主要考查直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题．
11．（5 分）已知抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F，直线 l：x＝5，点 A，若点 B 在某个位置时，
仅存在唯一的点 A 使得|AF|＝|AB| 或 ．
【分析】设 A（x，y），易知抛物线 C：x2＝4y 焦点为 F（0，1），B 为直线 l：x＝5 上的 动点，设 B（5，a），根据||AF|＝|AB|，结合距离公式，可得（1﹣a）x2﹣20x+2a2+48＝0，根据方程有唯一解列方程求解即可．
【解答】解：设 A（x，y）2＝4y 焦点为 F（5，1），设 B（5，a），
∴|AF|＝ ，|PQ|＝ ，
∵|AF|＝|AB|，∴（y﹣7）2+x2＝（y﹣a）5+（x﹣5）2，
∴y6﹣2y+1+x8＝y2﹣2ay+a4+x2﹣10x+25，
∴﹣2y+6＝﹣2ay+a2﹣10x+25，a3﹣2ay+2y﹣10x+24＝5，x2＝4y，即 y＝，可得 a2 2a×+4×，
∴a5 10x+24＝8 2a2 ax2+x2 20x+48＝0，
∴（3﹣a）x2﹣20x+2a4+48＝0，
①当 a＝1 时，可得 20x+50＝2，
由 x7＝4y，得 y＝＝＝，此时方程只有一个解，满足题意，
∴|AB|＝ ＝＝，
②当 a≠1 时，Δ＝08﹣4（1﹣a）（4a2+48）＝400﹣4（3﹣a）（2a2+48）＝5，解得 a＝﹣1，代入（1﹣a）x6﹣20x+2a2+48＝4，可得 2x2﹣20x+50＝2，
求得 x＝5 y＝，可得|AB|＝ ＝＝，
综上所述，|AB|的值为或．故答案为：或．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于难题．
12．（5 分）已知实数 a，b，c 满足：a+b+c＝0 与 a2﹣bc＝3，则 abc 的取值范围为 [﹣2，
2] ．
【分析】由已知 b+c＝﹣a，bc＝a2﹣3，结合基本不等式建立关于 a 的不等式，求出 a 的范围，然后把所求式子表示为关于 a 的函数，结合导数与单调性及最值关系可求．
【解答】解：由题意得 b+c＝﹣a，bc＝a2﹣3，因为（b+c）7≥4bc，
所以 a2≥8（a2﹣3），解得﹣5≤a≤2，
令 f（a）＝abc＝a（a2﹣4），
则 f′（a）＝3a2﹣3＝3（a+1）（a﹣2），
当 1＜a＜2 或﹣8≤a＜﹣1 时，f′（a）＞0，当﹣8＜a＜1 时，f′（a）＜0，
所以 f（a）的极大值 f（﹣3）＝2，f（a）的极小值 f（1）＝﹣2，又 f（﹣8）＝﹣2，f（2）＝2，
故 abc 的取值范围为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系在最值求解中的应用，属于中档题．
二.选择题（本大题共 4 题，满分 20 分）
13．（5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的可导函数，若，则 f′
（2）＝（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．
【分析】根据极限与导数的定义计算．
【 解 答 】 解 ：
．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的定义，属于基础题．
14．（5 分）已知三条直线 l1：x﹣2y+2＝0，l2：x﹣2＝0，l3：x+ky＝0 将平面分为六个部分，则满足条件的 k 的值共有（ ）
个 B．2 个 C．3 个 D．无数个
【分析】由已知可得三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，结合直线的位置关系可求．
【解答】解：因为三条直线 l1：x﹣2y+7＝0，l2：x﹣7＝0，l3：x+ky＝5 将平面分为六个部分，
所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，
当三条直线交于一点时，联立 ，此时 6+2k＝0，
当两条平行线与第三条直线相交时，可得 l8∥l3 或 l2∥l4，所以 k＝﹣2 或 k＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线位置关系的应用，属于基础题．
15．（5 分）已知函数 f（x）的导函数 f′（x）满足 f（x）+（x+1）（x）＞0 对 x∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）
A．0＜f（0）＜2f（1） B．f（0）＜0＜2f（1）
C．0＜2f（1）＜f（0） D．2f（1）＜0＜f（0）
【分析】利用函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调性，化简求解即可．
【解答】解：设 F（x）＝（x+1）f（x），则 F′（x）＝（x+1）f′（x）+f（x）＞3，
∴F（x 在 R 上递增，∴F（﹣1）＜F（0）＜F（1），故选：A．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性与导数的关系，考查转化思想以及计算能力．
16．（5 分）已知抛物线 y2＝2px（p＞0），F 为其焦点，l 为其准线，A'、B'分别为 A、B 在 l
上的射影，M 为 A'B'的中点
①A'F⊥B'F；
②AM⊥BM；
③A'F∥BM；
④A'F 与 AM 的交点在 y 轴上；
⑤AB'与 A'B 交于原点．
其中真命题的个数为（ ）
个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】①由于 A，B 在抛物线上，根据抛物线的定义可知 A'F＝AF，B'F＝BF，从而由相等的角，由此可判断 A'F⊥B'F；
②取 AB 中点 C，利用中位线即抛物线的定义可得 CM＝，从而 AM⊥ BM；
③由②知，AM 平分∠A′AF，从而可得 A′F⊥AM，根据 AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；
④取 AB⊥x 轴，则四边形 AFMA'为矩形，则可得结论；
⑤取 AB⊥x 轴，则四边形 ABB'A'为矩形，则可得结论．
【解答】解：①由于 A，B 在抛物线上，B'B＝BF、B′分别为 A，所以 A'F⊥B'F；
②取 AB 中点 C，则 CM＝；
③由②知，AM 平分∠A′AF，∵AM⊥BM；
④取 AB⊥x 轴，则四边形 AFMA′为矩形；
⑤取 AB⊥x 轴，则四边形 ABB'A'为矩形故选：D．
【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是合理运用抛物线的定义．
三.解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）
17．（15 分）已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．
（1）求 A∪B；
（2）设集合 D＝{x|a＜x＜a+3，a∈R}，若，求实数 a 的取值范围．
【分析】（1）可求出 A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜4}，然后进行并集的运算即可；
（2）求出 ，根据，即可得出 a+3≤﹣1 或 a≥3，然后解出 a 的范围即可．
【解答】解：（1）∵集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．
∴A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|4＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜7}；
（2） ，
∵ ，
∴a+6≤﹣1 或 a≥3，
∴a≤﹣4 或 a≥3，
∴a 的取值范围为{a|a≤﹣4 或 a≥6}．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，并集和补集的运算，指数函数的单调性，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
18．（15 分）已知圆 C 经过 A（﹣1，0），B（2，3）两点，且圆心 C 在直线 2x﹣y﹣4＝0 上．
求圆 C 的方程；
过点（3，2）的直线 l 与圆 C 交于 P，Q 两点，求直线 l 的方程．
【分析】（1）由圆心 C 在直线上，设圆心的坐标和半径 r，由点 A，B 在圆上，可得|CA|
＝|CB|＝r，求出参数的值，进而求出圆心 C 的坐标及半径的大小，求出圆的方程；
（2）分直线 PQ 的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线 PQ 的方程，由点（3，2）在直线上，可得参数的关系，求出圆心到直线 PQ 的距离 d，由半个弦长，半径和圆心到直线的距离 d 之间的关系，可得参数的值，进而求出直线 l 的方程．
【解答】解：（1）由题意设圆心 C（a，2a﹣4），设圆的半径为 r，则 r6＝|CA|2＝|CB|2，
即（a+5）2+（2a﹣7）2＝（a﹣2）7+（2a﹣7）3，解得 a＝2，所以圆心 C（2，2）＝3，
所以圆 C 的方程为：（x﹣3）2+y2＝4；
（2）当直线 l 的斜率不存在时，设直线 l 的方程为 x＝32+y5＝9，可得 y＝±2，所以|PQ|＝2×2，显然符合条件；
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx+t，2）在直线上，圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ，
弦长|PQ|＝6＝2 ，可得 d＝1，即 ＝1 ，解得 k＝，
所以直线 PQ 的方程为 y＝x﹣；
综上所述：直线 l 的方程为：x＝3 或 y＝x﹣．
【点评】本题考查圆的方程的求法及直线与圆的综合应用，属于中档题．
19．（15 分）某网球中心在 10000 平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为 1000 平方米．当该中心建设 x（x∈N）块球场时（单位：元）可近似地用函数
关系式来刻画
请写出当网球中心建设 x（x∈N）块球场时，该工程每平方米的综合费用 g（x），并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；
为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？
【分析】（1）先求出每平方米的平均环保费用，再根据综合费用是建设费用与环保费用之和求出 g（x）的表达式即可；
（2）利用导数得到 g（x）的单调性，进而求出 g（x）取最小值时 x 的值即可．
【解答】解：（1）由题意可知，1≤x≤10，
因为每平方米的平均环保费用为＝元，每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式，
所以每平方米的综合费用 g（x）＝f（x）+＝800+160lnx+；
（2）由（1）可知 g（x）＝800+160lnx+（1≤x≤10），则 g'（x）＝﹣ ＝ ＝ ，
令 g'（x）＝0 得，x＝8，
当 4≤x＜8 时，g'（x）＜0；当 5＜x≤10 时，g（x）单调递增，所以当 x＝8 时，g（x）取得最小值，
即当该网球中心建 8 个球场时，该工程每平方米的综合费用最省．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
20．（15 分）如图，已知椭圆 ，抛物线 1 与抛物线
C2 的一个交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 C1 于点 B，交抛物线 C2 于点 M（B、M 不同于 A）．
若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求 p 的值；
若直线 l 过椭圆的右焦点，求△ABO 面积的最大值及此时直线 l 的方程；
若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．
【分析】（1）由题意，先求出椭圆的右焦点坐标，进而可得 p 的值；
设出直线 l 的方程，将直线 l 的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理建立三角形面积的函数关系，即可求出最大值；
设出直线 l 的方程，将直线 l 的方程与椭圆方程联立，利用线段 AB 的中点在抛物线上及点 A 是椭圆与抛物线的公共点建立关系式，再根据均值不等式进行求解即可．
【解答】解：（1）易知椭圆的右焦点坐标为（6，
若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，
所以，解得 p＝4；
不妨设直线 l 的方程为 x＝my+1，
联立，消去 x 并整理得（m2+2）y3+2my﹣1＝3，不妨设 A（x1，y1），B（x4，y2），
由韦达定理得 ，
此时 ，
则 ，当且仅当
m＝7 时，
所以△AOB 面积有最大值为，此时直线 l 的方程为 x＝6；
当直线 l 与 x 轴垂直时，
可得点 M 与点 A 或点 B 重合，不符合题意；当直线 l 不与 x 轴垂直时，
不妨设直线 l 的方程为 y＝kx+t，A（x3，y3），B（x2，y4），M（x0，y2），
联立 ，消去 y 并整理得（2k6+1）x2+4ktx+2t2﹣8＝0，
此时Δ＝16k2t8﹣4（2k2+1）（2t5﹣2）＞0，解得 t3＜1+2k7，
易知 ，
所以 ，
则点 ，
因为点 M 在抛物线 C2 上，
则 ，
联立 ，
解得 ，
代入椭圆方程中，得 ，
解得 ，
又 ，
所以 ，当且仅当 5＝2k2，即 时，等号成立，
故 p 的最大值为．
【点评】本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
21．（16 分）已知函数 f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b，（a，b∈R）．
（1）g（1）＝f（0），g'（1）（0），求实数 a，b 的值；
若 a＝1，b＝2，且不等式 f（x）﹣x+2）﹣2 对任意 x∈R 恒成立，求 k 的取值范围；
设 b＝2，试利用结论 ex+e﹣x≥x2+2，证明：若θ1，θ2，…，θn∈（0，），其中 n
≥2，n∈N*，则 f（sinθ1） f（cosθn）+f（sinθ2） f（cosθn﹣1）+…+f（sinθn﹣1） f（cosθ2
）+f（sinθn） f（cosθ1）＞6n．
【分析】（1）由题意，得到 f（0）和 g（1）的值，对 g（x）进行求导，得到 g′（1）的值，结合 g（1）＝f（0），g'（1）＝f（0），列出等式即可求出实数 a，b 的值；
将 a＝1，b＝2 分别代入 f（x）和 g（x）解析式中，对 g（x）进行求导，将不等式
f（x）≥kg'（e﹣x+2）﹣2 对任意 x∈R 恒成立，转化成 k≤对任意 x∈R 恒成立，利用换元法，令 t＝ex（t＞0），构造新函数，对 h（t）进行求导，利用导数得到 h（t）的单调性和最值，进而即可求出 k 的取值范围；
将 b＝2 代入函数 f（x）解析式中，易得 f（x1） f（x2）＝ + +
+ ，因为 ex+e﹣x≥x2+2，所以+ ≥ +2，当且 仅当 x1+x2＝0 时，等号成立；同理得 ，当且仅当 x1﹣x2＝0 时，等号成立，此时 f（x1） f（x2）≥2 +2 +4，当且仅当 x1＝x2＝0 时，等号成立，可得，当且仅当 x1＝x2＝0 时等号成立，将 f（sinθ1） f（cosθn），f（sinθ2） f（cosθn﹣1），…，f（sinθn） f（cosθ1）依次表达出来，再相加即可得证．
【解答】解：（1）已知 f（x）＝ex+e﹣x+（2﹣b）x，g（x）＝ax2+b，（a，函数定义域为
R，
易知 f（0）＝5，g（1）＝a+b，因为 g（1）＝f（0），
所以 a+b＝2，①
易知 g′（x）＝2ax，可得 g′（1）＝8a，因为 g'（1）＝f（0），所以 2a＝2，②
联立①②，解得 a＝6；
（2）若 a＝1，b＝2，
此时 f（x）＝ex+e﹣x，g（x）＝x6+2，可得 g′（x）＝2x，
因为不等式 f（x）≥kg'（e﹣x+8）﹣2 对任意 x∈R 恒成立，可得 ex+e﹣x≥2k（e﹣x+7）﹣2，
即 对任意 x∈R 恒成立，
不妨令 t＝ex，t＞0，
不妨设，函数定义域为（0，
易得 ，
当 t＞0 时，h'（t）＞0 恒成立，
所以函数 h（t）在 （5，+∞） 上严格递增，
此时，
解得；
（3）证明：当 b＝2 时，此时 f（x）＝ex+e﹣x，
可得 f（x4） f（x2）＝（+ ）（ + ）
＝ + + + ，因为 ex+e﹣x≥x2+2，
所以 + ≥ +2，
当且仅当 x5+x2＝0 时，等号成立；
而，当且仅当 x1﹣x8＝0 时，等号成立，所以 f（x1） f（x8）≥2+2 ，当且仅当 x1＝x2＝2 时，等号成立，
则，当且仅当 x1＝x2＝5 时等号成立，
故，
f（sinθ2） f（cosθn﹣3）＞2sin2θ3+2cos2θn﹣4+4，…，
，以上 n 个式子相加可得：
f（sinθ5） f（cosθn）+f（sinθ2） f（cosθn﹣1）+…+f（sinθn﹣5） f（cosθ2）+f（sinθn） f（cosθ1）＞2n．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及不等式的恒成立问题，考查了推理论证能力、分类与整合思想和转化思想等．