吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含解析）

吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年九年级上学期开学
数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）分式有意义的条件是（　　）
A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝0
2．（3分）下列各点中，位于第二象限的是（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，5） C．（5，﹣2） D．（﹣5，﹣5）
3．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，下列可添加的条件不正确的是（　　）
A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C
4．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣4）＝x﹣4的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1，x＝4 D．x＝﹣2，x＝4
5．（3分）若直线l与直线y＝2x﹣3关于y轴对称，则直线l的解析式是（　　）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣3
6．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，则EF的长度最小为多少（　　）
A． B． C．5 D．7
8．（3分）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
A．5 B．12 C．﹣5 D．﹣12
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）关于x的方程x2﹣5x+1＝0的根的判别式的值为 　 　．
10．（3分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，∠A＝120°，则A　 　．
11．（3分）当﹣2＜x≤0时，y与x的函数解析式为，则y的范围是 　 　．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 　 　．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，CE＝10，则AG＝　 　．
14．（3分）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 　 　．
三、解答题（共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．
16．（6分）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，C为圆心，，长为半径画弧，连接BP，CP．
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）当 ABCD的对角线满足 　 　时，四边形BPCO是菱形．
17．（6分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，B两种型号充电桩的单价各是多少？
18．（7分）在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，B，C，D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按要求画图，要求保留必要的作图痕迹
（1）在图①中，以线段AD为边画一个△ADE，使它与△ABC相似；
（2）如图②，在线段AB上找一个点P，使BP＝3；
（3）如图③，在线段AC上找一点E，连接BE，使△ABE∽△CDE．
19．（7分）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积．
20．（7分）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，求△APQ的面积．
21．（8分）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是　 　（填l1或l2）；甲的速度是　 　km/h，乙的速度是　 　km/h；
（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？
22．（9分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程
（1）当x＝1时，y＝0；当x＝3时；则a＝　 　，b＝　 　．
（2）在（1）的条件下，
①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；
②若该分段函数图象上有两点A（m，y1），B（4，y2），且y1＜y2，则m的取值范围；
③直线y＝k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 　 　．
23．（10分）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，＝，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的值为　 　．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，且，直接写出的值为　 　．
24．（12分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4．点P从点D出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当点P不与点D、B重合时，连结PP'、P′Q、PQ．设点P的运动时间为t秒．

（1）当PQ∥AB时，求t的值；
（2）当点P′与点Q重合时，求t的值；
（3）当P′Q＝1时，t的值为 　 　；
（4）如图②，点E为PQ中点，连接P′E，则t的值为 　 　．
答案解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）分式有意义的条件是（　　）
A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝0
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠4，
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
2．（3分）下列各点中，位于第二象限的是（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，5） C．（5，﹣2） D．（﹣5，﹣5）
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【解答】解：A、（﹣3，符合题意；
B、（2，不符合题意；
C、（3，不符合题意；
D、（﹣5，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了点的坐标，解题的关键是正确掌握各象限内点的坐标特点．
3．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，下列可添加的条件不正确的是（　　）
A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C
【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【解答】解：A、当AB∥CD，四边形ABCD可能为等腰梯形；
B、AB∥CD，一组对边分别平行且相等；
C、AB∥CD，两组对边分别平行；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故选：A．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣4）＝x﹣4的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1，x＝4 D．x＝﹣2，x＝4
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵（x+2）（x﹣4）＝x﹣4，
∴（x+2）（x﹣4）﹣（x﹣5）＝0，
则（x﹣4）（x+7）＝0，
∴x﹣4＝7或x+1＝0，
解得x5＝4，x2＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（3分）若直线l与直线y＝2x﹣3关于y轴对称，则直线l的解析式是（　　）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣3
【分析】利用关于y轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可．
【解答】解：与直线y＝2x﹣3关于y轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数，纵坐标不变，则
y＝3（﹣x）﹣3，即y＝﹣2x﹣3．
所以直线l的解析式为：y＝﹣2x﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象与几何变换，利用轴对称变换的特点解答是解题关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则（　　）
A． B． C． D．
【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
7．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，则EF的长度最小为多少（　　）
A． B． C．5 D．7
【分析】连接AP、EF，依据PE⊥AB，PF⊥AD，∠A＝90°，可得四边形AEPF为矩形，借助矩形的对角线相等，将求EF的最小值转化成AP的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求Rt△BAD斜边上的高，利用面积法即可得解．
【解答】解：如图，连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°．
∴四边形AEPF为矩形．
∴AP＝EF．
∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．
∵点P从B点沿着BD往D点移动，
∴当AP⊥BD时，AP取最小值．
下面求此时AP的值，
在Rt△BAD中，
∵∠BAD＝90°，AB＝6，
∴BD＝＝＝＝10．
∵S△ABD＝＝，
∴AP＝＝＝．
∴EF的长度最小为：．
故本题选B．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．
8．（3分）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
A．5 B．12 C．﹣5 D．﹣12
【分析】直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：A（﹣3，3），﹣7）都不在反比例函数图象上，
则﹣3×3＜k＜8×（﹣2），
即﹣9＜k＜﹣7，
故k的值可能是﹣5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，正确得出k的取值范围是解题关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（3分）关于x的方程x2﹣5x+1＝0的根的判别式的值为 　21　．
【分析】直接计算b2﹣4ac即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×7×1＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac．
10．（3分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，∠A＝120°，则A　2　．
【分析】连接AC，证四边形ABCD是菱形，得∠BAC＝∠BAD＝60°，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AC，
∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，
∴AB＝BC，四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝3，
即A，C两点间的距离为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
11．（3分）当﹣2＜x≤0时，y与x的函数解析式为，则y的范围是 　0≤y＜3　．
【分析】代入x＝﹣2及x＝0，求出y值，进而可得出y的范围．
【解答】解：当x＝﹣2时，y＝﹣；
当x＝0时，y＝﹣，
∴当﹣2＜x≤0时，y的范围是3≤y＜3．
故答案为：0≤y＜6．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 　12　．
【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再根据平移的性质可得：DF∥EC，DF＝EC，从而可得四边形DFCE是平行四边形，然后利用平行线分线段成比例可得点D是AC的中点，从而可得DF是△ACB的中位线，进而可得DF＝BC＝3，最后利用平行四边形的面积公式进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，
∴AC＝＝＝8，
由平移得：DF∥EC，DF＝EC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∵点F是AB中点，
∴点D是AC的中点，
∴DF是△ACB的中位线，
∴DF＝BC＝3，
∵点D是AC的中点，
∴DC＝AC＝4，
∴四边形CFDE的面积＝DF CD＝7×4＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，平移的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，以及平移的性质是解题的关键．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，CE＝10，则AG＝　3　．
【分析】由直角三角形的性质可求BF＝5，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵CE＝10，F为CE的中点，
∴BF＝CE＝3，
∴BF＝BG＝5，
∴AG＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
14．（3分）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 　（，2）　．
【分析】由题意，点A（2，2），则∠AOx＝45°，同时可得双曲线解析式，再作CH⊥x轴，作BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再结合双曲线解析式可以得解．
【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y＝，
∴5＝．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y＝．
如图，作AD⊥x轴，作BG⊥CH、H、G．
∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝6，
∴BG＝CG＝．
∴C点的横坐标为．
又C在双曲线y＝上，
∴C（，2）．
故答案为：（，2）．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用，需要熟练掌握并理解．
三、解答题（共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝，
当时，
原式＝．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
16．（6分）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，C为圆心，，长为半径画弧，连接BP，CP．
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）当 ABCD的对角线满足 　AC＝BD　时，四边形BPCO是菱形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，证出OB＝CP，BP＝OC，则可得出结论；
（2）由菱形的判定可得出结论．
【解答】解：（1）四边形BPCO为平行四边形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝ACBD，
∵以点B，C为圆心，，BD长为半径画弧，
∴OB＝CP，BP＝OC，
∴四边形BPCO为平行四边形；
（2）当AC＝BD时，四边形BPCO为菱形．
∵AC＝BD，OB＝，OC＝，
∴OB＝OC，
∵四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为菱形．
故答案为：AC＝BD．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．（6分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，B两种型号充电桩的单价各是多少？
【分析】设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可．
【解答】解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，
根据题意得＝，
解得x＝0.4，
经检验x＝0.9是原方程的解，
x+2.3＝1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为4.2万元．
【点评】本题考查了分式的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
18．（7分）在如图所示的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，B，C，D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按要求画图，要求保留必要的作图痕迹
（1）在图①中，以线段AD为边画一个△ADE，使它与△ABC相似；
（2）如图②，在线段AB上找一个点P，使BP＝3；
（3）如图③，在线段AC上找一点E，连接BE，使△ABE∽△CDE．
【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，找到格点E，，连接DE，即可求解；
（2）勾股定理求得AB＝5，取格点M，N，AM＝2，BN＝3，则△AMP∽△BNP，根据相似比为，即可得出BP＝3
（3）连接QD交AC于点E，连接BE，DE，即可求解．
【解答】解：（1）如图①所示，
∵，，∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）如图②所示，
∵AM∥BN，
∴△AMP∽△BNP，
∴，
∵，
∴BP＝6；
（3）如图③所示，连接QD交AC于点E，DE，
∵QE＝BE，
∴∠EBQ＝∠EQB，
∵QB∥CD，
∴∠Q＝∠D＝∠EBQ，
又∠C＝∠EAB＝90°，
∴△ABE∽△CDE．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与网格问题，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
19．（7分）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），点C在第四象限，BC∥x轴．
（1）求k的值；
（2）以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积．
【分析】（1）根据点A（1，a）在y＝2x上，可以求得点A的坐标，再根据反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），即可求得k的值；
（2）因为B是反比例函数y＝和正比例函数y＝2x的交点，列方程可得B的坐标，根据菱形的性质可确定点D的坐标；然后利用菱形的面积计算公式解答即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x上，
∴a＝2×1＝2，
即点A的坐标为（6，2），
∵点A（1，5）是反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝8，
即k的值是2；
（2）由题意得：＝4x，
解得：x＝1或﹣1，
经检验x＝6或﹣1是原方程的解，
∴B（﹣1，﹣4），
∵点A（1，2），
∴AB＝＝7，
∵菱形ABCD是以AB、BC为边，
∴AD＝AB＝2，
∴D（1+2，2）．
∴菱形的面积＝2×（2+2）＝2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（7分）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，求△APQ的面积．
【分析】由DC∥AP，得到＝，代入数据求得AP＝90，于是得到结论．
【解答】解：AQ＝AD+DQ＝20+10＝30，
∵矩形ABCD，
∴CD＝AB，
∵DC∥AP，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝90，
∴S△APQ＝AQ AP＝1350米3；
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
21．（8分）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系
（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是　l2　（填l1或l2）；甲的速度是　30　km/h，乙的速度是　20　km/h；
（2）甲出发多少小时两人恰好相距5km？
【分析】（1）观察图象即可知道乙的函数图象为l2，根据速度＝，利用图中信息即可解决问题；
（2）分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意可知，乙的函数图象是l2，
甲的速度是＝30km/h＝20km/h．
故答案为l2，30，20．
（2）设甲出发x小时两人恰好相距5km．
由题意30x+20（x﹣6.5）+5＝60或30x+20（x﹣5.5）﹣5＝60
解得x＝4.3或1.4，
答：甲出发1.3小时或8.5小时两人恰好相距5km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题．
22．（9分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程
（1）当x＝1时，y＝0；当x＝3时；则a＝　3　，b＝　6　．
（2）在（1）的条件下，
①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；
②若该分段函数图象上有两点A（m，y1），B（4，y2），且y1＜y2，则m的取值范围；
③直线y＝k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 　0＜k＜2　．
【分析】（1）将x＝1，y＝0；x＝3，y＝2分别代入函数y＝ax﹣3和y＝得关于a和b的二元一次方程组，解方程组得a和b的值；
（2）①根据解析式的特点画出函数的图象即可；
（②由①中函数图象可直接得出的取值范围．
③由①中函数图象可直接得出的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝1，y＝0代入y＝ax﹣5得，
∴a＝3，
把x＝3，y＝7代入y＝得；
故答案为：3，6；
（2）①∵y＝，
故可作图如下：
②∵B（4，y6）是函数图象上的点，
∴y2＝1.6，
∵y1＜y2，
∴y7＜1.5，
由函数图象知，当y＜7.5时，
∵A（m，y1）在函数图象上，
∴m＜6.5，
故m的取值范围为：m＜1.7；
③直线y＝k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是0＜k＜5，
故答案为：0＜k＜3；
【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数性质与一元一次不等式及函数的性质与图象，数形结合是解题的关键．
23．（10分）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，＝，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的值为　　．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，且，直接写出的值为　　．
【分析】如图2，证明△AEP≌△CEF，可得AP＝FC，再根据PD∥FC，得△BPD∽△BFC，列比例式可得结论；
（1）如图3，作辅助线，构建△AEF，根据AF∥BC，证明△AFE∽△CBE和△AFP∽△DBP，列比例式可得：＝＝1；
（2）如图4，作辅助线，构建△EFC，根据CF∥AP证明△BCF∽△BDP和△ECF∽△EAP，可得结论．
【解答】解：如图2，过点C作CF∥AD，
∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF（AAS），
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
故答案为：；
（1）如图3，过A作AF∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵，
∴，
设AF＝3x，BC＝2x，
∵，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝8x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴＝＝1；
（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，
∴△BCF∽△BDP，
∴，
设CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，
∴，
∴AP＝8x，AD＝4x，
∴．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，三角形相似的性质和判定，本题运用了类比的思想，作平行线，构建三角形，证明相似可解决问题．
24．（12分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝4．点P从点D出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当点P不与点D、B重合时，连结PP'、P′Q、PQ．设点P的运动时间为t秒．

（1）当PQ∥AB时，求t的值；
（2）当点P′与点Q重合时，求t的值；
（3）当P′Q＝1时，t的值为 　或　；
（4）如图②，点E为PQ中点，连接P′E，则t的值为 　1或3.2　．
【分析】（1）根据如果PQ∥AB时，由正方形的性质可得AP∥BQ，此时只需满足AP＝BQ，则四边形PABQ是平行四边形，所以结合已知条件得到4﹣2t＝t，即可解决；
（2）P′与Q重合时，只能在BC边上，根据正方形的性质，此时满足P点行程与Q点行程之和等于8由图知：AD+CP′＝2t，BQ＝t，则AD+CP′+BQ＝8，建立方程即可解决；
（3）P′Q＝1，分两种情况：一是P′在CD边上，满足0＜t＜2时，根据Rt△CP′Q中由勾股定理，建立方程即可解决，但此时不存在；再就是P′在BC边上时，而此时又分两种情况：①P′在Q上方时，此时满足2＜t＜，②P′在Q下方时，此时满足＜t＜4，分别根据线段间的和差关系建立方程，即可解决．
【解答】解：（1）由已知可得ts时，DP＝2t，
∵AD＝4，
∴AP＝AB﹣DP＝5﹣2t，
∵在正方形ABCD中，
∴AD∥CB，即AP∥BQ，
当PQ∥AB时，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴4﹣2t＝t，
解得：t＝s，
当PQ∥AB时，t＝；
（2）∵点P从点D出发，沿折线DA﹣AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，
同时点Q从点B出发，沿BC以每秒7个单位长度的速度向点C运动，
∵点P关于直线DB的对称点P'
故当点P′与点Q重合时，必在CD边上，
当时间为ts时，P点行程为AD+AP＝2t，
∵AB＝AD＝4，
∴AP＝7t﹣4，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣8t
∵点P点关于正方形对角线DB的对称点P'，
∴BP＝BQ＝8﹣2t，
又∵点Q从点B出发，沿BC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，
∴ts时，BQ＝t，
∴8﹣2t＝t，
解得：t＝，
故当点P′与点Q重合时，t＝，
故答案为：；
（3）当P′Q＝2时，分两种情况：
当P′在CD上时，根据已知可知0＜t≤2，
由已知ts时，DP＝3t，
如图所示：
∵点P点关于正方形对角线DB的对称点P'，
∴DP＝DP′＝2t
∵CD＝CB＝4，
∴CP′＝CD﹣DP′＝7﹣2t，
此时CQ＝BC﹣BQ＝4﹣t
∵∠C＝90°，
∴P′Q3＝P′C2+CQ2，
即5＝（4﹣2t）7+（4﹣t）2，
∴2t2﹣24t+31＝0，
∵Δ＝245﹣4×5×31＜7，
∴方程无解，故不存在；
当P′在CB边上时又分两种情况：
①P′在Q上方时，即2＜t＜8/3，
如图所示：
由已知可知CD+P′C＝2t，∴BP′＝CD+BC﹣（CD+P′C）＝8﹣5t，
∵BQ＝t，
∴当P′Q＝1时，则P′Q＝BP′﹣BQ，
∴1＝2﹣2t﹣t，
解得：t＝；
②当P′在Q下方时，即＜t＜4时，
此时同理BP′＝8﹣2t，BQ＝t，
∴2＝t﹣（8﹣2t），
解得：t＝5，
综上所述：P′Q＝1时，t＝，
故答案为：或6；
（3）分两种情况：当P在AD上时，Q在BC边上，
根据已知ts时，DP＝2t，
∵P与P′关于正方形ABCD的对角线BD对称，
∴P′在CD边上，且DP′＝DP＝2t，
根据已知可得PD∥CQ，
∴四边形DPQC为直角梯形，
当P′E与正方形ABCD的边平行时，
则P′E必平行于DA，即P′E∥PD∥CQ，
∵点E为PQ中点，
∴P′E必为直角梯形 DPQC的中位线，
∴P′为CD的中点，
∴DP′＝CD＝2，
即6t＝2，
∴t＝1，
如图所示：
当P在AB边上时，其对称点P′在BC边上，
且P′点须在Q点下方时，
P′E方可平行正方形ABCD的边，如图所示：′
由题意可得：ts时BP＝5﹣2t，BQ＝t，
根据对称的性质，BP′＝8﹣3t，
此时P′E∥AB，即P′E∥BP，
∵点E为PQ中点，
∴P′E必为△BPQ的中位线，
∴P′为BQ中点，
∴BP′＝BQ，
∴5﹣2t＝t，
解得：t＝3.2，
综上所述：当P′E与正方形ABCD的边平行时，则t＝4或3.2．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质定理、行程问题，是四边形的综合题，属于中考压轴题，理解题意找到题目中的数量关系是解决问题的关键．