吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年九年级上学期开学
数学试卷
一、选择题(每题3分,共24分)
1.(3分)分式有意义的条件是( )
A.x≠1 B.x=1 C.x≠0 D.x=0
2.(3分)下列各点中,位于第二象限的是( )
A.(﹣3,2) B.(2,5) C.(5,﹣2) D.(﹣5,﹣5)
3.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,下列可添加的条件不正确的是( )
A.AD=BC B.AB=CD C.AD∥BC D.∠A=∠C
4.(3分)一元二次方程(x+2)(x﹣4)=x﹣4的解是( )
A.x=﹣2 B.x=﹣1 C.x=﹣1,x=4 D.x=﹣2,x=4
5.(3分)若直线l与直线y=2x﹣3关于y轴对称,则直线l的解析式是( )
A.y=﹣2x+3 B.y=﹣2x﹣3 C.y=2x+3 D.y=2x﹣3
6.(3分)如图,在△ABC中,点D在边AB上,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则( )
A. B. C. D.
7.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=6,且有一点P从B点沿着BD往D点移动,若过P点作AB的垂线交AB于E点,则EF的长度最小为多少( )
A. B. C.5 D.7
8.(3分)反比例函数的图象如图所示,则k的值可能是( )
A.5 B.12 C.﹣5 D.﹣12
二、填空题(每题3分,共18分)
9.(3分)关于x的方程x2﹣5x+1=0的根的判别式的值为 .
10.(3分)如图,将四根长度相等的细木条首尾相连,用钉子钉成四边形ABCD,∠A=120°,则A .
11.(3分)当﹣2<x≤0时,y与x的函数解析式为,则y的范围是 .
12.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6.点F是AB中点,连接CF,点D在AC上.则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 .
13.(3分)如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,CE=10,则AG= .
14.(3分)如图,点A(2,2)在双曲线y=(x>0)上,交双曲线于点C.若BC=2,则点C的坐标是 .
三、解答题(共78分)
15.(6分)先化简,再求值:,其中x=.
16.(6分)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,C为圆心,,长为半径画弧,连接BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由;
(2)当 ABCD的对角线满足 时,四边形BPCO是菱形.
17.(6分)为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元,B两种型号充电桩的单价各是多少?
18.(7分)在如图所示的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,B,C,D均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,按要求画图,要求保留必要的作图痕迹
(1)在图①中,以线段AD为边画一个△ADE,使它与△ABC相似;
(2)如图②,在线段AB上找一个点P,使BP=3;
(3)如图③,在线段AC上找一点E,连接BE,使△ABE∽△CDE.
19.(7分)如图,反比例函数y=(k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A(1,a),点C在第四象限,BC∥x轴.
(1)求k的值;
(2)以AB、BC为边作菱形ABCD,求D点坐标及菱形的面积.
20.(7分)如图,互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,其中AB=30米,要求P在射线AM上,Q在射线AN上,求△APQ的面积.
21.(8分)A,B两地相距60km,甲、乙两人从两地出发相向而行1,l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 (填l1或l2);甲的速度是 km/h,乙的速度是 km/h;
(2)甲出发多少小时两人恰好相距5km?
22.(9分)在初中阶段的函数学习中,我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时,我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象.结合上面经历的学习过程
(1)当x=1时,y=0;当x=3时;则a= ,b= .
(2)在(1)的条件下,
①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象;
②若该分段函数图象上有两点A(m,y1),B(4,y2),且y1<y2,则m的取值范围;
③直线y=k与该分段函数的图象有2个交点,则k的取值范围是 .
23.(10分)阅读下面材料:小昊遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,BE是AC边上的中线,=,AD与BE相交于点P,求的值.
小昊发现,过点C作CF∥AD,交BE的延长线于点F,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).
请回答:的值为 .
参考小昊思考问题的方法,解决问题:
(1)如图3,在△ABC中,点D在BC的延长线上,,且.求的值;
(2)如图4,在△ABC中,点D在BC的延长线上,,且,直接写出的值为 .
24.(12分)如图①,在正方形ABCD中,AB=4.点P从点D出发,同时点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.当点P不与点D、B重合时,连结PP'、P′Q、PQ.设点P的运动时间为t秒.
(1)当PQ∥AB时,求t的值;
(2)当点P′与点Q重合时,求t的值;
(3)当P′Q=1时,t的值为 ;
(4)如图②,点E为PQ中点,连接P′E,则t的值为 .
答案解析
一、选择题(每题3分,共24分)
1.(3分)分式有意义的条件是( )
A.x≠1 B.x=1 C.x≠0 D.x=0
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案.
【解答】解:由题意得:x﹣1≠0,
解得:x≠4,
故选:A.
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件,关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零.
2.(3分)下列各点中,位于第二象限的是( )
A.(﹣3,2) B.(2,5) C.(5,﹣2) D.(﹣5,﹣5)
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案.
【解答】解:A、(﹣3,符合题意;
B、(2,不符合题意;
C、(3,不符合题意;
D、(﹣5,不符合题意;
故选:A.
【点评】此题主要考查了点的坐标,解题的关键是正确掌握各象限内点的坐标特点.
3.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,下列可添加的条件不正确的是( )
A.AD=BC B.AB=CD C.AD∥BC D.∠A=∠C
【分析】根据平行四边形的判定方法,逐项判断即可.
【解答】解:A、当AB∥CD,四边形ABCD可能为等腰梯形;
B、AB∥CD,一组对边分别平行且相等;
C、AB∥CD,两组对边分别平行;
D、∵AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°,
∵∠A=∠C,
∴∠C+∠D=180°,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形;
故选:A.
【点评】本题主要考查平行四边形的判定方法,熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.
4.(3分)一元二次方程(x+2)(x﹣4)=x﹣4的解是( )
A.x=﹣2 B.x=﹣1 C.x=﹣1,x=4 D.x=﹣2,x=4
【分析】利用因式分解法求解即可.
【解答】解:∵(x+2)(x﹣4)=x﹣4,
∴(x+2)(x﹣4)﹣(x﹣5)=0,
则(x﹣4)(x+7)=0,
∴x﹣4=7或x+1=0,
解得x5=4,x2=﹣2,
故选:C.
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
5.(3分)若直线l与直线y=2x﹣3关于y轴对称,则直线l的解析式是( )
A.y=﹣2x+3 B.y=﹣2x﹣3 C.y=2x+3 D.y=2x﹣3
【分析】利用关于y轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数,纵坐标不变解答即可.
【解答】解:与直线y=2x﹣3关于y轴对称的点的坐标为横坐标互为相反数,纵坐标不变,则
y=3(﹣x)﹣3,即y=﹣2x﹣3.
所以直线l的解析式为:y=﹣2x﹣3.
故选:B.
【点评】此题主要考查了一次函数的图象与几何变换,利用轴对称变换的特点解答是解题关键.
6.(3分)如图,在△ABC中,点D在边AB上,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则( )
A. B. C. D.
【分析】由DE∥BC,利用平行线分线段成比例,可得出=,再代入AD=2,BD=3,AB=AD+BD,即可求出结论.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴====.
故选:A.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例,牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例”是解题的关键.
7.(3分)如图,矩形ABCD中,AB=6,且有一点P从B点沿着BD往D点移动,若过P点作AB的垂线交AB于E点,则EF的长度最小为多少( )
A. B. C.5 D.7
【分析】连接AP、EF,依据PE⊥AB,PF⊥AD,∠A=90°,可得四边形AEPF为矩形,借助矩形的对角线相等,将求EF的最小值转化成AP的最小值,再结合垂线段最短,将问题转化成求Rt△BAD斜边上的高,利用面积法即可得解.
【解答】解:如图,连接AP,
∵PE⊥AB,PF⊥AD,
∴∠AEP=∠AFP=90°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°.
∴四边形AEPF为矩形.
∴AP=EF.
∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值.
∵点P从B点沿着BD往D点移动,
∴当AP⊥BD时,AP取最小值.
下面求此时AP的值,
在Rt△BAD中,
∵∠BAD=90°,AB=6,
∴BD====10.
∵S△ABD==,
∴AP===.
∴EF的长度最小为:.
故本题选B.
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高,需要熟练掌握并灵活运用.
8.(3分)反比例函数的图象如图所示,则k的值可能是( )
A.5 B.12 C.﹣5 D.﹣12
【分析】直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围,进而得出答案.
【解答】解:如图所示:A(﹣3,3),﹣7)都不在反比例函数图象上,
则﹣3×3<k<8×(﹣2),
即﹣9<k<﹣7,
故k的值可能是﹣5.
故选:C.
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象,正确得出k的取值范围是解题关键.
二、填空题(每题3分,共18分)
9.(3分)关于x的方程x2﹣5x+1=0的根的判别式的值为 21 .
【分析】直接计算b2﹣4ac即可.
【解答】解:∵a=1,b=﹣5,
∴Δ=(﹣5)2﹣4×7×1=21.
故答案为:21.
【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2﹣4ac.
10.(3分)如图,将四根长度相等的细木条首尾相连,用钉子钉成四边形ABCD,∠A=120°,则A 2 .
【分析】连接AC,证四边形ABCD是菱形,得∠BAC=∠BAD=60°,再证△ABC是等边三角形,得AC=AB=2,即可得出结论.
【解答】解:如图,连接AC,
∵将四根长度相等的细木条首尾相连,用钉子钉成四边形ABCD,
∴AB=BC,四边形ABCD是菱形,
∴∠BAC=∠BAD=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=3,
即A,C两点间的距离为2,
故答案为:2.
【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质,熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
11.(3分)当﹣2<x≤0时,y与x的函数解析式为,则y的范围是 0≤y<3 .
【分析】代入x=﹣2及x=0,求出y值,进而可得出y的范围.
【解答】解:当x=﹣2时,y=﹣;
当x=0时,y=﹣,
∴当﹣2<x≤0时,y的范围是3≤y<3.
故答案为:0≤y<6.
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质,牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b”是解题的关键.
12.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6.点F是AB中点,连接CF,点D在AC上.则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的面积为 12 .
【分析】先在Rt△ABC中,利用勾股定理求出AC的长,再根据平移的性质可得:DF∥EC,DF=EC,从而可得四边形DFCE是平行四边形,然后利用平行线分线段成比例可得点D是AC的中点,从而可得DF是△ACB的中位线,进而可得DF=BC=3,最后利用平行四边形的面积公式进行计算,即可解答.
【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=10,
∴AC===8,
由平移得:DF∥EC,DF=EC,
∴四边形DFCE是平行四边形,
∵点F是AB中点,
∴点D是AC的中点,
∴DF是△ACB的中位线,
∴DF=BC=3,
∵点D是AC的中点,
∴DC=AC=4,
∴四边形CFDE的面积=DF CD=7×4=12,
故答案为:12.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质,三角形的中位线定理,平移的性质,熟练掌握三角形的中位线定理,以及平移的性质是解题的关键.
13.(3分)如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,CE=10,则AG= 3 .
【分析】由直角三角形的性质可求BF=5,由勾股定理可求解.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAC=90°,
∵CE=10,F为CE的中点,
∴BF=CE=3,
∴BF=BG=5,
∴AG===3,
故答案为:3.
【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,直角三角形的性质,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
14.(3分)如图,点A(2,2)在双曲线y=(x>0)上,交双曲线于点C.若BC=2,则点C的坐标是 (,2) .
【分析】由题意,点A(2,2),则∠AOx=45°,同时可得双曲线解析式,再作CH⊥x轴,作BG⊥CH,可得∠CBG=45°,又BC=2,再结合双曲线解析式可以得解.
【解答】解:∵点A(2,2)在双曲线y=,
∴5=.
∴k=4.
∴双曲线解析式为y=.
如图,作AD⊥x轴,作BG⊥CH、H、G.
∵A(2,2),
∴AD=OD.
∴∠AOD=45°.
∴∠AOB=45°.
∵OA∥BC,
∴∠CBO=180°﹣45°=135°.
∴∠CBG=135°﹣90°=45°.
∴∠CBG=∠BCG.
∵BC=6,
∴BG=CG=.
∴C点的横坐标为.
又C在双曲线y=上,
∴C(,2).
故答案为:(,2).
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用,需要熟练掌握并理解.
三、解答题(共78分)
15.(6分)先化简,再求值:,其中x=.
【分析】根据分式的运算法则进行化简,然后将x的值代入原式即可求出答案.
【解答】解:原式=,
当时,
原式=.
【点评】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
16.(6分)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,C为圆心,,长为半径画弧,连接BP,CP.
(1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由;
(2)当 ABCD的对角线满足 AC=BD 时,四边形BPCO是菱形.
【分析】(1)由平行四边形的性质得出OC=OA=AC,OB=OD=BD,证出OB=CP,BP=OC,则可得出结论;
(2)由菱形的判定可得出结论.
【解答】解:(1)四边形BPCO为平行四边形.
理由:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OC=OA=ACBD,
∵以点B,C为圆心,,BD长为半径画弧,
∴OB=CP,BP=OC,
∴四边形BPCO为平行四边形;
(2)当AC=BD时,四边形BPCO为菱形.
∵AC=BD,OB=,OC=,
∴OB=OC,
∵四边形BPCO为平行四边形,
∴四边形BPCO为菱形.
故答案为:AC=BD.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,正方形的判定,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
17.(6分)为加快公共领域充电基础设施建设,某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元,B两种型号充电桩的单价各是多少?
【分析】设A型充电桩的单价为x万元,则B型充电桩的单价少(x+0.3)万元,根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程,求解即可.
【解答】解:设A型充电桩的单价为x万元,则B型充电桩的单价少(x+0.3)万元,
根据题意得=,
解得x=0.4,
经检验x=0.9是原方程的解,
x+2.3=1.2.
答:A型充电桩的单价为0.9万元,则B型充电桩的单价为4.2万元.
【点评】本题考查了分式的应用解题的关键是找准等量关系,正确列出分式方程.
18.(7分)在如图所示的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,B,C,D均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,按要求画图,要求保留必要的作图痕迹
(1)在图①中,以线段AD为边画一个△ADE,使它与△ABC相似;
(2)如图②,在线段AB上找一个点P,使BP=3;
(3)如图③,在线段AC上找一点E,连接BE,使△ABE∽△CDE.
【分析】(1)根据相似三角形的性质得出,找到格点E,,连接DE,即可求解;
(2)勾股定理求得AB=5,取格点M,N,AM=2,BN=3,则△AMP∽△BNP,根据相似比为,即可得出BP=3
(3)连接QD交AC于点E,连接BE,DE,即可求解.
【解答】解:(1)如图①所示,
∵,,∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC,
(2)如图②所示,
∵AM∥BN,
∴△AMP∽△BNP,
∴,
∵,
∴BP=6;
(3)如图③所示,连接QD交AC于点E,DE,
∵QE=BE,
∴∠EBQ=∠EQB,
∵QB∥CD,
∴∠Q=∠D=∠EBQ,
又∠C=∠EAB=90°,
∴△ABE∽△CDE.
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定,勾股定理与网格问题,掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.
19.(7分)如图,反比例函数y=(k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A(1,a),点C在第四象限,BC∥x轴.
(1)求k的值;
(2)以AB、BC为边作菱形ABCD,求D点坐标及菱形的面积.
【分析】(1)根据点A(1,a)在y=2x上,可以求得点A的坐标,再根据反比例函数y=(k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象相交于A(1,a),即可求得k的值;
(2)因为B是反比例函数y=和正比例函数y=2x的交点,列方程可得B的坐标,根据菱形的性质可确定点D的坐标;然后利用菱形的面积计算公式解答即可.
【解答】解:(1)∵点A(1,a)在直线y=2x上,
∴a=2×1=2,
即点A的坐标为(6,2),
∵点A(1,5)是反比例函数y=,
∴k=1×2=8,
即k的值是2;
(2)由题意得:=4x,
解得:x=1或﹣1,
经检验x=6或﹣1是原方程的解,
∴B(﹣1,﹣4),
∵点A(1,2),
∴AB==7,
∵菱形ABCD是以AB、BC为边,
∴AD=AB=2,
∴D(1+2,2).
∴菱形的面积=2×(2+2)=2.
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
20.(7分)如图,互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,其中AB=30米,要求P在射线AM上,Q在射线AN上,求△APQ的面积.
【分析】由DC∥AP,得到=,代入数据求得AP=90,于是得到结论.
【解答】解:AQ=AD+DQ=20+10=30,
∵矩形ABCD,
∴CD=AB,
∵DC∥AP,
∴=,
∴=,
∴AP=90,
∴S△APQ=AQ AP=1350米3;
【点评】本题考查了平行线分线段成比例,求三角形的面积,一元二次方程的应用,熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.
21.(8分)A,B两地相距60km,甲、乙两人从两地出发相向而行1,l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是 l2 (填l1或l2);甲的速度是 30 km/h,乙的速度是 20 km/h;
(2)甲出发多少小时两人恰好相距5km?
【分析】(1)观察图象即可知道乙的函数图象为l2,根据速度=,利用图中信息即可解决问题;
(2)分相遇前或相遇后两种情形分别列出方程即可解决问题;
【解答】解:(1)由题意可知,乙的函数图象是l2,
甲的速度是=30km/h=20km/h.
故答案为l2,30,20.
(2)设甲出发x小时两人恰好相距5km.
由题意30x+20(x﹣6.5)+5=60或30x+20(x﹣5.5)﹣5=60
解得x=4.3或1.4,
答:甲出发1.3小时或8.5小时两人恰好相距5km.
【点评】本题考查了一次函数的应用,解题的关键是读懂图象信息,灵活应用速度、路程、时间之间的关系解决问题.
22.(9分)在初中阶段的函数学习中,我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时,我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象.结合上面经历的学习过程
(1)当x=1时,y=0;当x=3时;则a= 3 ,b= 6 .
(2)在(1)的条件下,
①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象;
②若该分段函数图象上有两点A(m,y1),B(4,y2),且y1<y2,则m的取值范围;
③直线y=k与该分段函数的图象有2个交点,则k的取值范围是 0<k<2 .
【分析】(1)将x=1,y=0;x=3,y=2分别代入函数y=ax﹣3和y=得关于a和b的二元一次方程组,解方程组得a和b的值;
(2)①根据解析式的特点画出函数的图象即可;
(②由①中函数图象可直接得出的取值范围.
③由①中函数图象可直接得出的取值范围.
【解答】解:(1)把x=1,y=0代入y=ax﹣5得,
∴a=3,
把x=3,y=7代入y=得;
故答案为:3,6;
(2)①∵y=,
故可作图如下:
②∵B(4,y6)是函数图象上的点,
∴y2=1.6,
∵y1<y2,
∴y7<1.5,
由函数图象知,当y<7.5时,
∵A(m,y1)在函数图象上,
∴m<6.5,
故m的取值范围为:m<1.7;
③直线y=k与该分段函数的图象有2个交点,则k的取值范围是0<k<5,
故答案为:0<k<3;
【点评】本题考查了反比例函数的性质,一次函数性质与一元一次不等式及函数的性质与图象,数形结合是解题的关键.
23.(10分)阅读下面材料:小昊遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,BE是AC边上的中线,=,AD与BE相交于点P,求的值.
小昊发现,过点C作CF∥AD,交BE的延长线于点F,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).
请回答:的值为 .
参考小昊思考问题的方法,解决问题:
(1)如图3,在△ABC中,点D在BC的延长线上,,且.求的值;
(2)如图4,在△ABC中,点D在BC的延长线上,,且,直接写出的值为 .
【分析】如图2,证明△AEP≌△CEF,可得AP=FC,再根据PD∥FC,得△BPD∽△BFC,列比例式可得结论;
(1)如图3,作辅助线,构建△AEF,根据AF∥BC,证明△AFE∽△CBE和△AFP∽△DBP,列比例式可得:==1;
(2)如图4,作辅助线,构建△EFC,根据CF∥AP证明△BCF∽△BDP和△ECF∽△EAP,可得结论.
【解答】解:如图2,过点C作CF∥AD,
∴∠F=∠APF,∠FCE=∠EAP,
∵BE为AC边的中线,
∴AE=CE,
∴△AEP≌△CEF(AAS),
∴AP=FC,
∵PD∥FC,
∴△BPD∽△BFC,
∴=,
∴=,
故答案为:;
(1)如图3,过A作AF∥BC,
∴△AFE∽△CBE,
∴,
∵,
∴,
设AF=3x,BC=2x,
∵,
∴BD=3x,
∴AF=BD=8x,
∵AF∥BD,
∴△AFP∽△DBP,
∴==1;
(2)如图4,过C作CF∥AP交PB于F,
∴△BCF∽△BDP,
∴,
设CF=2x,PD=3x,
∵CF∥AP,
∴△ECF∽△EAP,
∴,
∴AP=8x,AD=4x,
∴.
故答案为:.
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理,全等三角形的判定和性质,三角形相似的性质和判定,本题运用了类比的思想,作平行线,构建三角形,证明相似可解决问题.
24.(12分)如图①,在正方形ABCD中,AB=4.点P从点D出发,同时点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.当点P不与点D、B重合时,连结PP'、P′Q、PQ.设点P的运动时间为t秒.
(1)当PQ∥AB时,求t的值;
(2)当点P′与点Q重合时,求t的值;
(3)当P′Q=1时,t的值为 或 ;
(4)如图②,点E为PQ中点,连接P′E,则t的值为 1或3.2 .
【分析】(1)根据如果PQ∥AB时,由正方形的性质可得AP∥BQ,此时只需满足AP=BQ,则四边形PABQ是平行四边形,所以结合已知条件得到4﹣2t=t,即可解决;
(2)P′与Q重合时,只能在BC边上,根据正方形的性质,此时满足P点行程与Q点行程之和等于8由图知:AD+CP′=2t,BQ=t,则AD+CP′+BQ=8,建立方程即可解决;
(3)P′Q=1,分两种情况:一是P′在CD边上,满足0<t<2时,根据Rt△CP′Q中由勾股定理,建立方程即可解决,但此时不存在;再就是P′在BC边上时,而此时又分两种情况:①P′在Q上方时,此时满足2<t<,②P′在Q下方时,此时满足<t<4,分别根据线段间的和差关系建立方程,即可解决.
【解答】解:(1)由已知可得ts时,DP=2t,
∵AD=4,
∴AP=AB﹣DP=5﹣2t,
∵在正方形ABCD中,
∴AD∥CB,即AP∥BQ,
当PQ∥AB时,
∴四边形APQB是平行四边形,
∴AP=BQ,
∴4﹣2t=t,
解得:t=s,
当PQ∥AB时,t=;
(2)∵点P从点D出发,沿折线DA﹣AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,
同时点Q从点B出发,沿BC以每秒7个单位长度的速度向点C运动,
∵点P关于直线DB的对称点P'
故当点P′与点Q重合时,必在CD边上,
当时间为ts时,P点行程为AD+AP=2t,
∵AB=AD=4,
∴AP=7t﹣4,
∴BP=AB﹣AP=8﹣8t
∵点P点关于正方形对角线DB的对称点P',
∴BP=BQ=8﹣2t,
又∵点Q从点B出发,沿BC以每秒2个单位长度的速度向点C运动,
∴ts时,BQ=t,
∴8﹣2t=t,
解得:t=,
故当点P′与点Q重合时,t=,
故答案为:;
(3)当P′Q=2时,分两种情况:
当P′在CD上时,根据已知可知0<t≤2,
由已知ts时,DP=3t,
如图所示:
∵点P点关于正方形对角线DB的对称点P',
∴DP=DP′=2t
∵CD=CB=4,
∴CP′=CD﹣DP′=7﹣2t,
此时CQ=BC﹣BQ=4﹣t
∵∠C=90°,
∴P′Q3=P′C2+CQ2,
即5=(4﹣2t)7+(4﹣t)2,
∴2t2﹣24t+31=0,
∵Δ=245﹣4×5×31<7,
∴方程无解,故不存在;
当P′在CB边上时又分两种情况:
①P′在Q上方时,即2<t<8/3,
如图所示:
由已知可知CD+P′C=2t,∴BP′=CD+BC﹣(CD+P′C)=8﹣5t,
∵BQ=t,
∴当P′Q=1时,则P′Q=BP′﹣BQ,
∴1=2﹣2t﹣t,
解得:t=;
②当P′在Q下方时,即<t<4时,
此时同理BP′=8﹣2t,BQ=t,
∴2=t﹣(8﹣2t),
解得:t=5,
综上所述:P′Q=1时,t=,
故答案为:或6;
(3)分两种情况:当P在AD上时,Q在BC边上,
根据已知ts时,DP=2t,
∵P与P′关于正方形ABCD的对角线BD对称,
∴P′在CD边上,且DP′=DP=2t,
根据已知可得PD∥CQ,
∴四边形DPQC为直角梯形,
当P′E与正方形ABCD的边平行时,
则P′E必平行于DA,即P′E∥PD∥CQ,
∵点E为PQ中点,
∴P′E必为直角梯形 DPQC的中位线,
∴P′为CD的中点,
∴DP′=CD=2,
即6t=2,
∴t=1,
如图所示:
当P在AB边上时,其对称点P′在BC边上,
且P′点须在Q点下方时,
P′E方可平行正方形ABCD的边,如图所示:′
由题意可得:ts时BP=5﹣2t,BQ=t,
根据对称的性质,BP′=8﹣3t,
此时P′E∥AB,即P′E∥BP,
∵点E为PQ中点,
∴P′E必为△BPQ的中位线,
∴P′为BQ中点,
∴BP′=BQ,
∴5﹣2t=t,
解得:t=3.2,
综上所述:当P′E与正方形ABCD的边平行时,则t=4或3.2.
【点评】本题考查了正方形的性质,轴对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质定理、行程问题,是四边形的综合题,属于中考压轴题,理解题意找到题目中的数量关系是解决问题的关键.