2.4 有理数的加法 讲义 北师大版七年级数学上册

2.4有理数的加法讲义北师大版七年级数学上册
基础知识详解
知识点一 有理数的加法法则
内容 叙述 法则 图示
有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 如，(＋3)＋(＋2)＝＋(|3|＋|2|)＝5， (－3)＋(－2)＝－(|3|＋|2|)＝－5. ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 如，3＋(－2)＝＋(|3|－|－2|)＝1， (－3)＋(＋2)＝－(|－3|－|2|)＝－1. ⑶互为相反数的两数相加，和为零； 如，(－5)＋5＝0. ⑷一个数与零相加，仍得这个数。如，(－5)＋0＝－5,5＋0＝5.
知识 详解 我们可以用字母表示有理数加法的运算法则： ①同号两数相加： 若a＞0，b＞0，则a＋b＝＋(|a|＋|b|)； 若a＜0，b＜0，则a＋b＝－(|a|＋|b|)． ②异号两数相加： 若a＞0，b＜0，且|a|＝|b|，则a＋b＝0； 若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a＋b＝＋(|a|－|b|)； 若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a＋b＝－(|b|－|a|)． ③一个数与0相加：a＋0＝a. ⑵步骤 ：有理数加法运算时，步骤为“一判二定三加减” 一，判断类型，根据类型确定用哪一个法则 二，根据加数的绝对值的大小及加数的符号确定和的符号 三，对绝对值进行加减运算确定和的绝对值 。 ⑶ 加法性质：一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：当b>0时，a+b>a ；当b<0时，a+b特别 提醒 ⑴有理数的加法和小学学过的加法有很大的区别，小学学习的加法都是非负数，不考虑符号，而有理数的加法涉及运算结果的符号。 ⑵有理数的加法在进行运算时，首先要判断两个加数的符号，是同号还是异号？是否有零？接下来确定用法则中的哪一条。 ⑶法则中，都是先强调符号，后计算绝对值，在应用法则的过程中一定要“先算符号”，“再算绝对值”。
新知巧记 同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑；绝对值相等“0”正好， 注：“大”减“小”是指绝对值大的减去绝对值小的.
出题角度1 直接利用法则进行计算
例1．计算：
(1)(＋8)＋(＋5)；(2)(＋2.5)＋(－2.5)；(3)(－17)＋(＋9)；(4)(－4)＋0.
(
根据有理数的加法法则
) (
确定和的符号
)分析：
(
确定它适合有理数加法法则的哪一种情况
) (
两数相加
)
(
求出和的绝对值
)
解：(1)(＋8)＋(＋5)(同号两数相加)
＝＋(8＋5)(取与加数相同的符号，并把绝对值相加)
＝13.
(2)(＋2.5)＋(－2.5)(异号两数相加，绝对值相等)
＝0(和为0)．
(3)(－17)＋(＋9)(异号两数相加，绝对值不等)
＝－(17－9)(取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值)
＝－8.
(4)(－4)＋0(一个数与零相加)
＝－4(仍得这个数)．
思维点拨：进行有理数加法运算时，步骤为“一判二定三加减”：（1）判断类型，即判断两个数的符号是同号、异号，还是至少有一个加数为0，根据类型确定用哪一个法则；（2）根据加数的绝对值的大小及加数的符号确定和的符号是“+”还是“-”；（3）对绝对值进行讲解运算确定和的绝对值。
针对训练1. 计算：
（1） （2） （3）　　　　（4）；
出题角度2 依据加法法则填空
例2.根据加法法则填空：
(1)如果a＞0，b＞0，那么a＋b__________0； (2)如果a＜0，b＜0，那么a＋b__________0；
(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a＋b__________0； (4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a＋b__________0.
解析：(1)(2)和的符号与加数的符号相同；(3)(4)和的符号由绝对值较大的加数的符号决定．
答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜
思维点拨：直接根据有理数的加法法则进行判断和的符号。
针对训练2.已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且|a|＞|b|＞|c|，则
(1)|a＋(－b)|＝__________； (2)|a＋b|＝__________； (3)|a＋c|＝__________；
(4)|b＋(－c)|＝__________； (5)|b＋c|＝__________.
知识点二 有理数的加法运算律
内容 叙述 有理数加法的运算律 字母表示
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变． 加法交换律：即a＋b＝b＋a.
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 加法结合律：即(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
知识 详解 (1)有理数的加法仍满足加法交换律和结合律． (2)这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化．根据加法结合律和交换律，三个或三个以上的有理数相加，可以写成这些数的连加式．对于连加式，可以任意交换加数的位置，也可以把其中的几个数相加，使计算简化．在连加式中，任意交换加数的位置时，也要注意不能漏掉加数的符号． (3)在有理数的加法运算中一般交换律与结合律同时使用，由于数的范围扩大到了有理数，在这里，a，b，c除了表示正数外，还可以表示负数和零，所以应用运算律时，要特别注意加数的符号． (3)用运算率进行简便运算时的技巧：①同号的几个数先相加=；②同分母的分数先相加；③能凑成整数，整十，整百的数先相加；④互为相反数的两个数先相加；⑤带分数可坼成正数和真分数两部分来相加；⑥既有分数又有小数时，可化为统一形式再相加。
特别 提醒 ⑴交换率中交换加数的位置时，各个加数连同其符号一起交换 ⑵三个以上的有理数相加时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加 ⑶用运算率计算可以减少反复确定结果符号的次数或可以使运算变的非常简单
出题角度1 运用有理数加法运算律简化运算
例3．计算：运用加法运算律计算下列各题：
(1)(+66)+(―12)+(+11.3)+(―7.4)+(+8.1)+(―2.5)
(2)(+3)+(―2)+(―3)+(―1)+(+5)+(+5)
(3)(+6)+(+)+(―6.25)+(+)+(―)+(―)
分析：利用运算律将正、负数分别结合，然后相加，可以使运算比较简便；有分数相加时，利用运算律把分母相同的分数结合起来，将带分数拆开，计算比较简便。一定要注意不要遗漏括号；相加的若干个数中出现了相反数时，先将相反数结合起来抵消掉，或通过拆数、部分结合凑成相反数抵消掉，计算比较简便。
解：(1)原式=(66 + 11.3 + 8.1)+[(―12)+(―7.4)+(―2.5)]= 85.4 +(–21.9)= 63.5
(2)原式=(3+)+(5+)+[―(2+)]+[―(1+)] +(5+)+[―(3+)
=3+5+++(–2)+(–1)+(–)+(–)+ 5 +(–3)++(–)=2
(3)原式=(+6)+(―6.25)+(+ )+(―)+(―)= ―
思维点拨：为使运算简捷，可根据数字的特征，利用加法的运算律求和，常见的技巧有：(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加，和为整数的加数结合先加；(2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；(3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来．当同一个算式中既有分母，又有小数时，一般要统一化为分数或小数(选择计算简便的那种形式)后，再计算．(4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加．利用有理数加法的运算律，通常可以求多个按规律排列的有理数的和，解题的关键是找出这些加数的特征和内在联系，其中运用凑1法和凑－1法是常见的方法．
针对训练3. 计算
（1）（+7）+（﹣6）+（﹣7）+（+6）； （2）（﹣2.6）+（﹣3.4）+（+2.3）+1.5﹣2.3；
（3）；（4）（+9）+（﹣7）+（+10）+（﹣3）+（﹣9）；
（5）（﹣26.54）+（﹣6.4）+（﹣18.54）+6.4； （6）（﹣3.75）+2.85+（﹣1）﹣+3.15+（﹣2.5）．
思维误区诊断
误区一 异号两数相加时忘记确定符号或将绝对值相加
例1.计算：（+4.6）+（-5.8）
错解: ①解：（+4.6）+（-5.8）==1.2 ②解：（+4.6）+（-5.8）=-（）=-10.4 正解： 解：（+4.6）+（-5.8）=-（）=-1.2
错因分析：错误①的原因是异号两数相加时忘记确定和符号，错误①的原因是异号两数相加时误把绝对值相加。
误区二 带分数拆分时出错
例2.计算：（）+（）
错解:解：（）+（）=（-17+）+（28+） =（-17+28）+（+）=11+=11。 正解：解：（）+（）=（-17-）+（28+） =（-17+28）+（-+）=11-=10。
错因分析：错误的原因是 应该拆成（-17-）而不是（-17+）。
能力拓展展示
能力拓展一 应用运算律求多个有理数的和
例1.计算：(1)(－7)＋5＋(－3)＋4；
(2)16.96＋(－3.8)＋5.2＋(－0.2)＋(－0.96)；
(3)(－4)＋＋(－)＋(－.
（4）1＋(－2)＋3＋(－4)＋……＋2009＋(－2010)．
分析：(1)将正、负数分别结合相加；(2)16.96＋(－0.96)和(－3.8)＋(－0.2)都是整数，应当先相加；(3)将互为相反数的两个数相加．（4）运用结合律把2010个加数分成1005组，每相邻的两个数分为一组，容易算出每一组的和都是－1.所以共有1005个－1相加，结果就是－1005.
解：(1)原式＝(5＋4)＋[(－7)＋(－3)]＝9＋(－10)＝－1.
(2)原式＝[16.96＋(－0.96)]＋[(－3.8)＋(－0.2)]＋5.2＝16＋(－4)＋5.2＝17.2.
(3)原式＝(－4)＋(－)＋〔＋(－)〕＝(－4)＋(－)＋0＝－4.
（4）解：原式＝[1＋(－2)]＋[3＋(－4)]＋……＋[2009＋(－2010)]＝＝-1005.
思维点拨：相反数结合法，同号结合法，同分母结合法，凑整法，带分数拆项结合法，同形结合法等都是有理数加法运算中常用的方法技巧。
能力拓展二 绝对值、相反数与加法运算的综合
例2.若x的相反数是3，，m,n互为相反数，则x+y+5(m+n)的值为（ ）
A.-8 B.2 C.8或-2 D.-8或2
解析：因为x的相反数是3，，m,n互为相反数，所以x=-3，，m+n=0,当x=5时，x+y+5(m+n)=-3+5+0=2；当x=-5时，x+y+5(m+n)=-3+（-5）+0=-8.
答案：D
思想方法：本题运用了“分类讨论思想和整体思想”。绝对值等于某一正数的数有两个，要对y的值分两张情况进行讨论。遇到互为相反数的两个字母或算式，可考虑将其结合在一起，这样可以简化运算。
能力拓展三 有理数加法的实际应用
例3.出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：km）如下：﹣2，+5，﹣1，+1，﹣6，﹣2，问：
（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
（2）若汽车耗油量为0.2L/km（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？
（3）若出租车起步价为8元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？
分析：（1）先将这几个数相加，若和为正，则在出发点的东方；若和为负，则在出发点的西方；
（2）将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案；
（3）不超过3km的按8元计算，超过3km的在8元的基础上，再加上超过部分乘以1.2元，即可．
解：（1）﹣2+5﹣1+1﹣6﹣2=﹣5，
答：小李在起始的西5km的位置．
（2）|﹣2|+|+5|+|﹣1|+|+1|+|﹣6|+|﹣2|=2+5+1+1+6+2=17，17×0.2=3.4，
答：出租车共耗油3.4升．
（3）6×8+（2+3）×1.2=54，
答：小李这天上午共得车费54元．
思想方法：本题运用了“转化思想”解决问题。本题的关键是将实际问题转化为数学问题，求将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置转化为求有理数的和，将求汽车的总路程转化为求各数的绝对值的和。
中考真题展示
考查角度1 有理数的加法运算
例1.已知算式□的值为，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
【分析】根据相反数相加为0判断即可．
：∵，
∴“□”内应填入的运算符号为＋，
故选：A．
例2．如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）

A． B．0 C．1 D．2
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是；
故选D．
考查角度2 有理数加法与数轴、绝对值的综合考查
例3.（2022 烟台）如图，数轴上点A、B所表示的两个数的和的绝对值是 ．
【分析】从数轴上可知：表示点A的数为﹣3，表示点B的数是2， 则﹣3+2=﹣1， |﹣1|=1，
答案：1
知识要点展示