教学内容 基本不等式
教学目标考点分析 基本不等式求最值
教学重点难点 掌握基本不等式及其应用。
内容回顾 问题反馈
【基础知识网络总结与巩固】新课程标准考向预测1.探索并了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.命题角度1.利用基本不等式求最值2.利用基本不等式解决实际问题3.基本不等式的综合应用核心素养数学运算、数学建模 [知识梳理]1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．算术平均数与几何平均数设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.[常用结论]1．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．2．几个重要的结论(1)≥.(2)＋≥2(ab>0)．(3)≤≤ (a>0，b>0)．
教学设计 问题反馈
【重难点例题启发与方法总结】[基础自测]一、走进教材1．(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为( )A．9 B．18C．36 D．812．(必修5P100练习T1改编)设a>0，则9a＋的最小值为( )A．4 B．5C．6 D．7二、走出误区常见误区：①忽视不等式成立的条件a>0且b>0致误；②忽视定值存在致误；③忽视等号成立的条件致误．3．一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．考点[定向精析突破]利用基本不等式求最值考向(一) 拼凑法——利用基本不等式求最值[例1] (1)已知01)的最小值为________．[解题技法]通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．考向(二) 常数代换法——利用基本不等式求最值[例2] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．[对点变式]1.将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．2.保持本例条件不变，则的最小值为________．[解题技法]通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．考向(三) 消元法——利用基本不等式求最值[例3] 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．[解题技法]通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．考向(四) 利用两次基本不等式求最值[例4] 已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________．[解题技法]两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．[跟踪训练]1．若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )A．a≥ B．a> C．a< D．a≤2．(2019·天津高考)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．3．(2019·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．
课堂练习 问题反馈课 型 □ 同步课 复习课 □ 习题课 □ 专题课 课次：第3次
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教学目标考点分析 基本不等式求最值
教学重点难点 掌握基本不等式及其应用。
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【基础知识网络总结与巩固】新课程标准考向预测1.探索并了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.命题角度1.利用基本不等式求最值2.利用基本不等式解决实际问题3.基本不等式的综合应用核心素养数学运算、数学建模 [知识梳理]1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．算术平均数与几何平均数设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.[常用结论]1．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a＋b≥2(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．2．几个重要的结论(1)≥.(2)＋≥2(ab>0)．(3)≤≤ (a>0，b>0)．
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【重难点例题启发与方法总结】[基础自测]一、走进教材1．(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为( )A．9 B．18C．36 D．81解析：选A 因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．2．(必修5P100练习T1改编)设a>0，则9a＋的最小值为( )A．4 B．5C．6 D．7解析：选C 因为a>0，所以9a＋≥2 ＝6，当且仅当9a＝，即a＝时，9a＋取得最小值6.故选C.二、走出误区常见误区：①忽视不等式成立的条件a>0且b>0致误；②忽视定值存在致误；③忽视等号成立的条件致误．3．一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．答案：15 考点[定向精析突破]利用基本不等式求最值考向(一) 拼凑法——利用基本不等式求最值[例1] (1)已知01)的最小值为________．[解析] (1)x(4－3x)＝×(3x)·(4－3x)≤×2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．故所求x的值为.(2)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(3)y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．[答案] (1) (2)1 (3)2＋2[解题技法]通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．考向(二) 常数代换法——利用基本不等式求最值[例2] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．[解析] 因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号．[答案] 4[对点变式]1.将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2 ＝1＋.当且仅当a＝b时，取等号．答案：1＋2.保持本例条件不变，则的最小值为________．解析：＝＝＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．答案：9[解题技法]通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．考向(三) 消元法——利用基本不等式求最值[例3] 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．[解析] 法一：(换元消元法)由已知得x＋3y＝9－xy，因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2，所以3xy≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.法二：(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2 －6＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6.[答案] 6[解题技法]通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．考向(四) 利用两次基本不等式求最值[例4] 已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________．[解析] 由a>b>0，得a－b>0，∴b(a－b)≤2＝.∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．∴a2＋的最小值为4.[答案] 4[解题技法]两次利用基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．[跟踪训练]1．若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )A．a≥ B．a>C．a< D．a≤解析：选A 由x>0，得＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥，故选A.2．(2019·天津高考)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．解析：∵ x>0，y>0，∴ >0.∵ x＋2y＝5，∴ ＝＝＝2＋≥2＝4.当且仅当2＝时取等号．∴ 的最小值为4.答案：43．(2019·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．解析：因为＋＝1，所以xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)·＝7＋＋≥7＋4，所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.答案：7＋4
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答案：4
