2023-2024学年安徽省六安市金安区田家炳实验中学高二（上）第一次周考数学试卷（开学）（含解析）

2023-2024学年安徽省六安市金安区田家炳实验中学高二（上）第一次周考数学试卷（开学）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知为虚数单位，则复数的模等于( )
A. B. C. D.
2. 设是平行四边形的对角线的交点，则( )
A. B. C. D.
3. 已知平面向量，则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4. 在中，内角、满足，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
5. 已知是虚数单位，复数的共轭复数为，若复数满足，则( )
A. B. C. D.
6. 已知，是两个不同的平面，为平面内的一条直线，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
7. 用斜二测画法画一个边长为的正三角形的直观图，则直观图的面积是( )
A. B. C. D.
8. 某校高中生共有人，其中高一年级人，高二年级人，高三年级人，现采取分层抽样法抽取容量为的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 的内角，，的对边分别为，，，，，，则( )
A. B.
C. D. 外接圆的面积为
10. 已知向量，，则( )
A. B.
C. D. ，
11. 已知复数，则( )
A. B.
C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 为纯虚数
12. 已知，，为空间中直线，，为空间中平面，下列命题错误的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，且，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数，则的共轭复数为______．
14. 数据：，，，，，，，，中的第百分位数是______ ．
15. 已知向量与向量夹角为，且，，要使与垂直，则 ．
16. 五月五，是端午，门插艾，香满堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古称“角黍”，是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同，有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为，则现有体积的食材，最多可以包成这种粽子______个．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，且满足，
求角的大小若，，求的面积．
18. 本小题分
已知点为中边上一点，．
设，求的值．
设，求的值．
19. 本小题分
如图所示，已知圆柱的高为，底面半径为，轴截面上有，两点，且，，若一只蚂蚁沿着侧面从点爬到点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？
20. 本小题分
如图，四边形为正方形，平面，、分别为和的中点．
求证：平面；
如果，求与平面所成角的正切值．
21. 本小题分
月日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的党赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取人的成绩满分为分作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，，．
求频率分布直方图中的值；
试估计该校此次环保知识竞赛成绩的分位数结果保留三位有效数字
在该样本中，若采用分层随机抽样的方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人，查看他们的答题情况，成绩在内的人数为多少？
22. 本小题分
已知是复数，和都是实数
求复数；
设关于的方程有实根，求纯虚数
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的模的计算，属于基础题．
根据复数模的性质求解即可．
【解答】
解：由题意得：．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：画出图形，如图所示：
．
故选：．
根据平行四边形性质及向量的线性运算化简得解．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在方向上的投影为，
又方向上的单位向量为，
故在方向上的投影向量是．
故选：．
由向量数量积找到在方向上的投影为，再结合投影向量的定义求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：法：，
，
或，
或，
则一定是直角三角形或等腰三角形．
法：，且和为三角形的内角，
或，即或，
则一定是等腰或直角三角形．
故选：．
解法：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得或，推断出或，即可判断出三角形的形状．
解法：由两角的正弦值相等及和为三角形的内角，得到两角和相等或互补，即与相等或互余，进而确定出三角形的形状．
此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．
5.【答案】
【解析】解：设复数，、；
则共轭复数，代入中，得，即，解得，，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数相等的条件，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题考查了复数的定义与应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于，由面面平行判定定理可知，在平面内需要两条相交直线与平面平行才能得出两平面平行，故A错误；
对于，选项缺少不在平面内，故B错误；
对于，由面面垂直的性质定理可知，平面内的直线与，两个平面的交线垂直，才能得出，故C错误；
对于，已知，为平面内的一条直线，由面面垂直判定定理可知D正确，故D正确．
故选：．
由线面、面面平行的判定定理及线面、面面垂直的判定定理逐一判断各选项即可．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图是边长为的正三角形的直观图，
则，为正三角形的高的一半，
即，
则高，
的面积为．
故选：．
根据题意画出图形，结合图形利用斜二测画法规则求出的面积．
本题考查了斜二测画法与应用问题，是基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抽样方法中的分层抽样，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目，计算时要细心，避免出错，属于基础题．
根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．
【解答】
解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，
则在高一年级抽取的人数是人，
高二年级抽取的人数是人，
高三年级抽取的人数是人，
那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为，，．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：因为，
由余弦定理得，，
所以，A正确，
由正弦定理得，
所以，，，
所以外接圆的面积，B正确，C错误，D正确．
故选：．
由已知结合正弦定理，余弦定理分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，，则，，
依次分析选项：
对于，，，两个向量不平行，A错误；
对于，，，有，B正确；
对于，，，则，，C正确；
对于，，，，则，，则，，D正确；
故选：．
根据题意，由平面向量的坐标运算可得，，结合平行向量和垂直向量的坐标运算判断选项A、；结合模的定义判断选项C；结合向量的数量积判断选项D．
本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行、垂直的判断，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
则，，故A错误，B正确；
则在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限，故C正确；
，为纯虚数，故D正确．
故选：．
根据已知条件，先求出，即可依次求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数模公式，复数的几何意义，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：若，，则或，故A错误；
若，，，则或，是异面直线，故B错误；
若，，则或，是异面直线，故C错误；
若，设，，
，
，
设，，
，
，
，
又，
，
，故D正确．
故选：．
利用面面平行，线面平行的判定与性质逐项判断即可得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查平面与平面垂直、平行的性质，考查线面平行的判定，线面垂直的性质，比较基础．
13.【答案】
【解析】解：，
，
的共轭复数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，共有个数据，则，
该组数据从小到大排列为：，，，，，，，，，
故这组数据的百分位数为第个数据，即．
故答案为：．
把该组数据从小到大排列，从而找出对应的第百分位数．
本题考查百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
由题意利用两个向量数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得的值．
本题主要考查两个向量数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．
【解答】
解：向量与向量夹角为，且，，，
．
要使与垂直，则，
求得，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：设为的中心，连接，，如图所示：
因为，解得，
所以，
所以，
因为，所以最多可以包成这种粽子个．
故答案为：．
首先根据题意得到正四面体粽子的体积为，即可得到答案．
本题考查了三棱锥体积的计算，属于基础题．
17.【答案】解：在中，，
结合正弦定理得，
，
，，
，．
若，，
由余弦定理得，，
．
【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，以及两角和差的三角函数公式，属于基础题．
利用正弦定理、两角和差的三角函数公式，求得的值，可得的值．
由题意利用余弦定理求得的值，可得的面积．
18.【答案】解：已知点为中边上一点，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以；
已知，
则
．
【解析】根据平面向量的线性运算求得，，由此求得；
根据向量数量积运算求得的值．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量数量积的运算，属基础题．
19.【答案】解：将圆柱侧面沿母线展开，得到如图所示的矩形，
设圆柱的底面半径为，则，
，
过点作于点，
在中，，
，
，
蚂蚁爬过的最短路径长是．
【解析】将圆柱侧面没母线展开，再在三角形中利用勾股定理计算能求出蚂蚁爬过的最短路径长．
本题考查空间曲面上路径的最小值问题，解题的关键是把空间问题转化为平面问题，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】证明：在中，，为和的中点，
，
平面，平面，
平面．
，平面，
即为直线与平面所成的角，
为正方形，，
在中，．
与平面所成角的正切值为．
【解析】先证明出，进而根据线面平行的判定定理证明出平面．
先证明出为直线与平面所成的角，进而在中求得的值．
本题主要考查了线面平行的判定定理的应用，直线与平面所成的角．考查了学生对立体几何知识的综合运用．
21.【答案】解：由频率分布直方图可得，，解得．
，，
的分位数在内，则．
由频率分布直方图可知，成绩在，，内的频率分别为，，，
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的人，成绩在内的有人，成绩在内的有人，成绩在内的有人，
故成绩在内的人数为人．
【解析】由频率之和为，即可求解的值；
根据百分位数的计算公式即可得解；
由分层随机抽样确定各区间人数，即可得解．
本题主要考查频率分布直方图，考查运算求解能力，属于基础题．
22.【答案】解：设，，
则，
为实数，，
，
为实数，，则；
设纯虚数，，
则有实根，
即，，，
纯虚数为．
【解析】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及纯虚数的定义和复数相等的充要条件，属于中档题．
设，根据为实数可求出的值，然后根据复数的除法求出的值，根据为实数可求出的值，从而求出复数；
设纯虚数，代入方程，然后根据复数相等的定义可求出纯虚数．
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