2023-2024学年重庆市西北狼教育联盟高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市西北狼教育联盟高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，则( )
A. B. C. D.
2. 有一组样本数据如下：，，，，，，，，，，则其分位数为( )
A. B. C. D.
3. 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为，则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为( )
A. B. C. D.
4. 在中，角、、的对边分别为，，，，，则( )
A. B. C. D.
5. 已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6. 正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7. 高邮镇国寺是国家级旅游景区地处高邮市京杭大运河中间，东临高邮市区，西近高邮湖实属龙地也，今有“运河佛城”之称某同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部，镇国寺塔顶部的仰角分别为和，在处测得镇国寺塔顶部的仰角为，镇国寺塔的高度约为( )
参考数据：
A. B. C. D.
8. 如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
9. 若复数，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的虚部是
C. 在复平面内，与所对应的点均在四象限
D.
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是( )
A. 与共线
B. 单位向量
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 若，则
11. 下列命题正确的是( )
A. 在中，若，则
B. 在中，若，，，则
C. 在中，若，则是等腰三角形
D. 在中，
12. 如图，正方体的棱长为，是棱上的动点不包含端点，则下列说法正确的是( )
A. 若为的中点，则直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线与直线所成角为定值
D. 直线与平面所成角正切值的范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知圆锥的底面面积为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______ ．
14. 如图，在中，，若，且，则 ______ ．
15. 已知三棱锥中，平面，，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为______ ．
16. 设锐角的三个内角的对边分别为，且，，则周长的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量
若向量和的夹角为，求；
若，求向量与夹角的余弦值．
18. 本小题分
如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成的角的大小．
19. 本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，为线段的中点，，求的面积．
20. 本小题分
在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，．
求证：平面平面；
求二面角的大小．
21. 本小题分
如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，且，，，，．
求证：；
求直线与平面所成角的余弦值；
线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
如图，在等边中，，点，，分别在边，，上，且，，．
用，表示，；
若为等腰直角三角形，求的取值范围；
若，求面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，以及共轭复数的概念，解题的关键是掌握复数的运算法则，属于基础题．
先利用复数的运算法则求出复数的代数形式，再利用共轭复数的定义求解即可．
【解答】
解：因为，
所以，
故．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：一共个数据，，
所以其分位数为．
故选：．
根据百分位数的定义求解．
本题主要考查了百分位数的计算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知，设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，
因为圆柱表面积为，所以，解得，
所以圆柱的体积为，球的体积为，
则该模型中圆柱的体积与球的体积之和为．
故选：．
由题意可知，设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，然后由圆柱表面积可求出，从而可求出圆柱与球的体积．
本题考查了圆柱的体积与球的体积计算，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，
由正弦定理得，，
因为，
所以，
则．
故选：．
由已知结合正弦定理及二倍角公式先求出，然后结合同角平方关系即可求解．
本题主要考查了正弦定理，二倍角公式及同角平方关系的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，，则或，A错误；
对于，平行于同一直线的两个平面可以平行，也可以相交，B错误；
对于，由直线与平面垂直的判断方法可得C错误；
对于，若，则平面存在直线，满足，由于，则有，必有，故D正确．
故选：．
根据题意，由直线与平面平行、垂直的判断方法依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直的判断，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．
连接，，由，得是异面直线与所成角，利用余弦定理即可求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】
解：如图，连接，，
，
是异面直线与所成角，
正四棱柱中，设，
则，，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，，，，
在中，由正弦定理可得，，
则，
在中，，
又，
则．
故选：．
先表示出，求出，，，然后在中，由正弦定理可表示出，在中，可表示出，进而得解．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由于，，
如图，以为坐标原点，以，为，轴建立直角坐标系，
连接，由于，则≌，
而，故，则，
则，
设，则，，
故，
当时，有最小值，
故选：．
建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示结合二次函数知识，即可求得答案．
本题考查平面向量的坐标运算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：若复数，，
则，，
：，，A错误；
：，虚部为，B错误；
：复平面内，与所对应的点分别为，均在四象限，C正确；
：，D错误．
故选：．
由已知结合复数的四则运算及复数的模长公式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，与不共线，A错误；
对于，是与同向的单位向量，设，则有，解可得，则，B正确；
对于，向量在向量上的投影向量，C错误；
对于，若，则，则，D正确．
故选：．
根据题意，由向量数量积的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量共线的判断，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为在上单调递减，
所以，则，故A正确；
对于，若，，，由正弦定理可得：，
则，解得：，则或，
因为，则，所以或，故B不正确；
对于，由可得：，，
所以，则，所以是等腰三角形，故C正确；
对于，，
因为在中，，，，，
所以，故D正确．
故选：．
由余弦函数的性质可判断；由正弦定理结合大边对大角可判断；由正弦定理和余弦定理角化边可判断；由两角差的余弦公式可判断．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项A，当为的中点时，若直线平面，
因为平面，且平面平面，
所以，这和与相交是矛盾的，即选项A错误；
选项B，因为点在上，且平面，
所以点到平面的距离为，
所以，是定值，即选项B正确；
选项C，由正方体的性质知，平面，
因为平面，所以，
又，且，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以直线与直线所成角为，是定值，即选项C正确；
选项D，连接，
因为平面，
所以即为直线与平面所成角，设为，
在中，，
因为是棱上的动点不包含端点，
所以，所以，
所以，即选项D正确．
故选：．
选项A，采用反证法的思想，证明，这和与相交是矛盾的；
选项B，利用等体积法，可判断；
选项C，由，，可证平面，从而知，得解；
选项D，连接，易知即为所求，再由，运算得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，线面平行的性质定理，以及线面角的求法是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：圆锥的底面积为，圆锥的底面半径为，母线长为，
侧面积为．
故答案为：．
首先根据圆锥的底面积求得圆锥的底面半径，然后代入公式求得圆锥的侧面积即可
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
又，不共线，
，
．
故答案为：．
根据可得出，然后即可用表示出，根据平面向量基本定理即可求出，的值，从而得出答案．
本题考查了向量加法和减法的几何意义，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图，设三棱锥的外接球的外接球的球心为，
底面的外心为，球的半径为，的外接圆的半径为，
，则．
由三棱锥的体积为，
可得，
解得，
则，
又，
可得，
则三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
由棱锥的体积公式求得棱锥的高，结合球的截面的性质和勾股定理，可得球的半径，进而得到所求表面积．
本题考查三棱锥的外接球的表面积，以及棱锥的性质，考查转化思想和数形结合思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：为锐角三角形，且，
，
，，
又，
，
又，，
，
由，
即，
，
令，则，
又函数在上单调递增，
函数值域为．
故答案为：．
由锐角三角形求得的范围，由正弦定理可得，求出，关于的函数，根据余弦函数的性质，可求得范围．
本题考查了余弦定理以及余弦函数的性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：，
；
，
，
，
．
【解析】可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案；
根据向量垂直的充要条件得出，进行数量积的运算可求出的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出向量与夹角的余弦值．
本题考查了向量数量积的计算公式和向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，向量长度的求法，考查了计算能力，是基础题．
18.【答案】证明：取的中点，连结、，
因为是的中位线，
所以，且，
又因为，且，
所以且
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为面，面，
所以面，
解：连结，，因为，是中点，所以，
又因为面面，面，
面面
所以面，
所以直线为在面内的射影，
所以为直线与平面所成的角，
设，则在中，，，，
所以，所以，
所以直线与平面所成的角为．
【解析】取的中点，连结、，证明：四边形是平行四边形，得到，即可证明面．
连结，，因为，是中点，推出，说明为直线与平面所成的角，通过求解三角形求解直线与平面所成的角．
本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力以及计算能力，是中档题．
19.【答案】解：由正弦定理得，
又，代入上式可得，
又，，，又，
．
由题意得，，，
即，整理得．
在中，由余弦定理得，即，
联立解得，
．
【解析】利用正弦定理边化角，求出角．
利用中线的向量公式和余弦定理分别得出，的等量关系，解方程组得，代入面积公式即可．
本题考查正弦定理，内角和定理，余弦定理，中线的向量公式，三角形面积公式，属于中档题．
20.【答案】解：证明：设，可得，
在直角三角形中，，
所以是等腰三角形，
又是的中点，可得，
由平面，，
是斜线在平面上的射影，
由三垂线定理可得，
由于是的中位线，可得，
所以，
又，所以平面，
又平面，
可得平面平面；
取的中点，连接，取的中点，连接，，
由，平面，可得平面，
又，，可得，
因为是斜线在平面上的射影，
由三垂线定理可得，
所以是二面角的平面角，
二面角的平面角与互补．
在中，，，，
可得，
在直角三角形中，，，
可得，
即有，
则二面角的大小为．
【解析】设，推得，由等腰三角形的性质可得，再由三垂线定理可得，结合三角形的中位线定理和线面垂直的判定定理，由面面垂直的判定定理，即可得证；
取的中点，连接，取的中点，连接，，由三垂线定理和三角形的中位线定理推得是二面角的平面角，二面角的平面角与互补．运用直角三角形的三角函数的定义，计算可得所求值．
本题考查面面垂直的判定和二面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】证明：取的中点为，连接，，
因为，所以，
又因为底面为直角梯形，且，，，，
所以四边形为正方形，则，
又，且，平面，
所以平面，又平面，所以；
解：且平面，
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面，则，
由，，两两垂直，
可建立以、、所在直线分别为、、轴的空间直角坐标系，
因为为等腰直角三角形，且，，
所以，
则，，，，，，
即，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，即，
则所求直线与平面所成角的余弦值为；
线段上存在点，且当时，使得平面，
证明如下：由，得，
则，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，即，
又，所以，
又因为平面，所以平面，
即点满足时，有平面．
【解析】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
取的中点为，连接，，由线面垂直判定定理得到平面，即可得证；
建立以、、所在直线分别为、、轴的空间直角坐标系，得到，平面的一个法向量为，代入线面角公式即可求解；
设平面的法向量为，由平面，根据，即可求解．
22.【答案】解：由，不妨设，则，
在等边中，，所以，
因为，所以，所以，
所以，
在中，，
由正弦定理得：，所以，
同理可求：；
要使为等腰直角三角形，只需，
所以，
整理得：，
因为，所以，
所以；
由可得：，则，
所以，
令，则，其中，
所以，解得：，
所以当时，存在，使得，
所以．
【解析】分别利用正弦定理表示出，；
由得到，利用三角函数求出的取值范围；
建立三角形面积的函数关系式，利用三角函数求出最小值．
本题考查了正弦定理和三角函数的恒等变换，属于中档题．
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