2023-2024学年陕西省西安市部分学校百师联盟高三（上）开学联考数学试卷（文科）（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市部分学校百师联盟高三（上）开学联考数学试卷（文科）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数是虚数单位，则复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
4. 函数为自然对数的底数在的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，在棱长为的正方体中，点在对角线上移动，异面直线与所成角为，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7. 在中，，在边上，，，则( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，，若直线与和的图象分别交于点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9. “三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共项的数列用来研究数据的变化，已知，则( )
A. B. C. D.
10. 已知实数，满足，，则下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
11. 已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
12. 已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
13. 已知为实数，，，则向量在向量方向上的投影向量为______ ．
14. 若实数，满足不等式组则的最小值为______ ．
15. 已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是______
16. 已知函数，设数列的通项公式为，则 ______ ．
17. 某高校课程的教师为了解本学期选修该课程的学生的情况，随机调查了名选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：
本专业 非本专业 合计
始生
男生
合计
根据已知条件完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关；
从样本中为“非本专业”的学生中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出人，再从这人中随机抽取人，求人都是男生的概率．
参考公式：，其中参考数据：
18. 如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点．
求证：平面平面；
求三棱锥的体积．
19. 已知数列满足，且有．
证明：数列是等比数列；
求数列的前项和．
20. 已知点为抛物线：的焦点，点，，且．
求抛物线的标准方程；
若正方形的顶点、在直线：上，顶点、在抛物线上，求．
21. 已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若关于的不等式在上恒成立，求的最小值．
22. 在平面直角坐标系中，射线的方程为，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
求射线和曲线的极坐标方程；
若射线与曲线交于点，将射线绕极点按逆时针方向旋转交于点，求的面积．
23. 设函数．
当时，求不等式的解集；
若，，的最小值为，且，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，，
则，
故选：．
利用交集运算即可求得答案．
本题主要考查了交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题可知， 对应点为，位于第三象限．
故选：．
由已知结合复数的几何意义即可求解．
本题主要考查了复数几何意义的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
利用两角差余弦公式的逆用即可得解．
本题主要考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题知的定义域为，，
则为偶函数，所以图象关于轴对称，
排除、，又，项符合．
故选：．
先判断函数的奇偶性，再根据的正负即可得选项．
本题考查函数的图象，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以为异面直线与所成角，
又平面，与不重合时，为直角三角形，
当越大时其正弦值也越大，
当与重合时最大，
此时在中，，
所以的最大值为．
故选：．
将平移到，可得为异面直线与所成角，再结合为直角三角形，利用锐角三角函数关系即可求得答案．
本题考查异面直线所成角问题，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题得，可得，
因为焦距为，所以，解得，
所以椭圆的离心率为．
故选：．
利用焦点在轴上可求的范围，进而由，可求．
本题考查椭圆的性质，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图：因为，，，
所以，
在中，．
故选：．
由题意可得为直角三角形，在三角形中可得的大小．
本题考查三角形的运算性质的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，，
不妨令，则，
令，解得，
因为时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，最小值为．
故选：．
易知，令，利用导数求出函数的最小值即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，分析可得，
而，解得：．
故选：．
根据题意，分析可得，由此计算可得答案．
本题考查数列的应用，涉及数列的递推公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意知，选项A：，，所以，A正确；
选项B：，所以，B正确；
选项C：取，，则，C错误：
选项D：，，，，即，D错误．
故选：．
根据已知结合单调性计算指数式，对数式及三角函数值，比较各个选项即可．
本题考查函数的单调性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：关于的方程有个不同的实根，
即，
即与共个不等实根，
当时，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，作出的图象，
如图所示，
由图可知时，或，即有两个根，
若使与共个不等实根，只需满足．
故选：．
研究时对应函数的导数，得到其单调性，进而画出图象，结合图象即可求得结论．
本题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是画出函数图象，根据函数图象讨论方程根的分布情况，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：将三棱锥补成如图所示的直三棱柱，
设点，为上下底面的外心，点为直棱柱的外接球的球心，外接球半径，
则为的中点，点为的中点，为底面外接圆的半径，
设，则，
所以，，
故，
则当时，取最小值为，
此时球的表面积为：．
故选：．
将三棱锥补成直三棱柱，根据题意结合二次函数的性质即可求解结论．
本题主要考查球的表面积求解，考查计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题可得，
则向量在向量方向上的投影向量为．
故答案为：．
先由平面向量的数量积求，再由平面向量的投影向量的定义即可求得．
本题考查平面向量数量积和投影向量，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：实数，满足不等式组表示的平面区域，如图所示，
目标函数可化为：可行域内的点到点的距离的平方，
易知当垂直直线时，最小，
此时．
故答案为：．
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．
本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，是中档题．
15.【答案】或
【解析】解：当焦点在轴上时，设双曲线方程为，
则其渐近线方程为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，
即，即，所以此时双曲线的标准方程为；
当焦点在轴上时，设双曲线方程为，
则其渐近线方程为，点到双曲线的一条渐近线的距离为，，即，
所以此时双曲线的标准方程为，
综上，双曲线的标准方程为或．
故答案为：或．
由已知对焦点位置进行分类讨论，然后结合双曲线的性质可求．
本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以曲线的对称中心为，
即，
因为，即数列为等差数列，
又，
由等差数列的性质可得，
所以，
所以．
故答案为：．
由函数的性质，结合等差数列的性质求解即可．
本题考查了函数的性质，重点考查了等差数列的性质，属中档题．
17.【答案】解：由题可知学生共人，则男生人数为人，本专业男生人数为人，非本专业女生人数为人．
故列联表如下：
本专业 非本专业 合计
女生
男生
合计
所以．
因为，
所以有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关，
样本中为“非本专业”的学生有人，男、女人数之比为：．
故用分层抽样方法从中抽出人，男生有人，记为，，，，女生有人，记为，
从这人中再随机抽取人，有，，，，，，，，，共个结果，
其中人都是男生的结果有个，
所以人都是男生的概率为．
【解析】根据独立性检验思想可解；
根据古典概型可解．
本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．
18.【答案】证明：平面平面，，平面平面，
平面，又平面，
．
又，，，平面，
平面，平面，即．
在中，，为的中点，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
解：作于点，易知平面，
在中，，
则，
点为的中点，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
即．
又点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即，
，
所以，
所以三棱锥的体积为．
【解析】证明结合，推出平面，说明结合，证明平面，然后证明平面平面．
作于点，说明点到平面的距离等于点到平面的距离，通过转化求解即可．
本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
19.【答案】证明：由，即，
得，
又，是以为首项，为公比的等比数列；
解：由知，，，
，
，
两式相减得，
，
即．
【解析】由已知可得，再由等比数列的定义证明数列是等比数列；
直接利用错位相减法求数列的前项和．
本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前项和，是中档题．
20.【答案】解：由题点为抛物线：的焦点，点，，
可得，则，，
又，故，整理得，即．
所以抛物线的方程为．
正方形的顶点、在直线：上，顶点、在抛物线上，
因为是正方形，所以，直线与之间的距离等于，
设直线的方程为：，与联立，消去得：，
由，得，
设，，则，，
所以，
直线与间的距离为，
所以，整理得：，
由于，故解得，
所以，
故．
【解析】求出焦点坐标，利用距离相等，转化求解，得到抛物线方程．
设出的方程，，与联立，求解，设，，
则，，利用弦长公式，点到直线的距离公式，求解，然后求解的值．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
21.【答案】解：当时，，
则，
所以，
又，
所以切线方程为，化简得；
由，可得，
令，，
则，
当时，，
设，易知在上单调递增，
又，，
则存在，使得，即，，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
，
在上单调递增，
，
又对任意恒成立，，
所以，即的最小值为．
【解析】将代入函数解析式，对函数求导，利用导数的几何意义即可得解；
不等式在上恒成立，即，令，，利用导数研究函数的最大值即可得解．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：将，代入得，
所以，所以射线的极坐标方程为，
将，代入得，
所以曲线的极坐标方程为；
由题意可设点的极坐标为，点的极坐标为，
则，，
因为，，
所以，
所以．
【解析】根据直角坐标方程转化为极坐标方程的方法求得射线和曲线的极坐标方程．
利用极坐标，结合三角形的面积公式求得的面积．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
23.【答案】解：当时，函数，
当时，由得；
当时，由无解；
当时，由得．
综上，不等式的解集为．
证明：因为，
当且仅当时，等号成立，故取到最小值，
所以，即．
所以
，
当且仅当时，即，等号成立，即成立．
【解析】利用零点分段法求解绝对值不等式；
利用绝对值三角不等式得到，即，故，利用基本不等式“”的妙用证明出结论．
本题考查绝对值不等式的应用，不等式的证明，是中档题．
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