2023-2024学年四川省达州外国语学校高三（上）入学数学试卷（文科）（含解析）

2023-2024学年四川省达州外国语学校高三（上）入学数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
3. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图，则( )
A. 这种疾病患者的年龄小于等于的概率为
B. 这种疾病患者的年龄的中位数小于岁
C. 这种疾病患者的年龄的众数为岁
D. 这种疾病患者的平均年龄为岁
4. 下列命题是真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. “”是“”的条件．( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
6. 下列函数中，是偶函数，且在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
7. 函数大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
8. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为．( )
A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙
9. 设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有( )
A. B.
C. D.
10. 已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
11. 下列四个命题：，，，其中真命题的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12. 已知函数若的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设命题，若是假命题，则实数的取值范围是______ ．
14. 函数为奇函数，则 ______ ．
15. 已知函数的定义域为，其导函数是有，则关于的不等式的解集为______ ．
16. 已知在处取得极值，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求的值．
18. 本小题分
某土特产超市为预估年元旦期间游客购买土特产的情况，对年元旦期间的位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：
购买金额元
人数
附：参考公式和数据：，．
附表：
根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于元与性别有关．
不少于元 少于元 合计
男 _____ _____
女 _____ _____
合计 _____ _____ _____
为做好年元旦的营销活动，该超市从年元旦期间的位游客购买金额少于元的人群中按照分层抽样的方法任选人进行购物体验回访，并在这人中随机选取人派发购物券，问能拿到购物券的人恰好是一男一女的概率是多少？
19. 本小题分
如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面．
证明：；
求三棱锥的体积．
20. 本小题分
已知抛物线：的焦点为，点在上，且为坐标原点．
求的方程；
若，是上的两个动点，且，两点的横坐标之和为，求当取最大值时，直线的方程．
21. 本小题分
已知函数，．
若存在单调递增区间，求的取值范围；
若，为的两个不同极值点，证明：．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值．
23. 本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
设的最小值为，若正实数，，满足，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
即在复平面内对应点坐标为，在第一象限．
故选：．
先根据四则运算求出，再求出其共轭复数，进而求解结论．
本题考查了复数的几何意义以及共轭复数的求解，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，，
，．
故选：．
进行补集和交集的运算即可．
本题考查了集合的列举法的定义，补集和交集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：小于等于的概率为：，故A错误；
中位数左右两侧的矩形的面积和相等，结合图形可以看出中位数大于，故B错误；
平均年龄：
岁，故D错误；
而众数为最高矩形的中点，所以众数为，故C正确；
故选：．
利用概率、中位数、众数、平均数、频率分布直方图直接求解．
本题考查概率、中位数、众数、平均数、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，若，则，时，不成立；
对于，若，则，反例，，所以不成立；
对于，若，则，反例，，所以不成立；
对于，若，则，成立；
故选：．
利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．
本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系是解决本题的关键，是基础题．
根据不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由得，则“”可推出“”，故必要性成立
若“”，则推不出“”，故充分性不成立，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：是偶函数，并且在区间上为增函数，正确；
不是偶函数，错误；
是奇函数，不正确；
是偶函数，但是在区间上为减函数，不正确；
故选：．
判断函数的奇偶性以及单调性即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数定义域为，
且，即为偶函数，
排除，
又，
排除，
故选：．
直接借助于定义域、函数的奇偶性和函数值的正负判断选项．
本题根据函数性质判断函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查推理案例，属于基础题．
因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾，从而得出正确结果．
【解答】解：由题意，可把三人的预测简写如下：
甲：甲乙．
乙：丙乙且丙甲．
丙：丙乙．
只有一个人预测正确，
分析三人的预测：
如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意；
如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，
则有丙乙，乙甲，
乙预测不正确，而丙乙正确，
只有丙甲不正确，
甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾．
不符合题意；
只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，
则有甲乙，乙丙．
故选A．
9.【答案】
【解析】解：因为为奇函数，
，
又，
所以，即函数的周期为，
，，，
又且函数在区间上是增函数，
，
，，
故选：．
由已知结合函数的奇偶性及单调性，周期性即可比较函数值的大小．
本题主要考查了函数的奇偶性及周期性，单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意及正弦定理得：，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：．
故选：．
由题意得，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率．
本题考查椭圆的离心率的求法，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，所以正确；
考虑函数，，
又，
所以在上单调递增，且，
则，故正确；
考虑函数，且．
又，，
由当时，．
所以时，为增函数．
所以时，．
所以为上的增函数．
，即，故正确．
故选：．
直接利用对数的运算性质，构造相应的函数关系式，利用导数工具进行求解即可．
本题考查了对数的性质、导数的综合运用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：在上关于轴对称的函数为，
即在上与图像有交点，
方程有根，
即方程有根，
设，即存在零点，
，，
在上单调递增，
令得：，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，
，
故选：．
在上关于轴对称的函数为，即在上与图像有交点，即方程有根，设，即存在零点，求导得当时，单调递减；当时，单调递增，所以只需，从而求出的取值范围．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的图像变换，同时考查了利用导数研究函数的单调性和极值，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为是假命题，故为真命题，
因为，故，当且仅当时，等号成立，
故，即的取值范围是
故答案为：
根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围．
本题主要考查全称命题，命题真假的判断与应用，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由知该函数在处有定义，
因为为奇函数，
所以，则，解得，经检验符合题意．
故答案为：．
由奇函数的性质，在处有定义，，可得答案．
本题主要考查了函数奇偶性性质的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：依题意令，，
则，
因为当时，，
所以当时，，
所以在上单调递减，
则等价于，即，
所以，
解得，
所以所求不等式的解集为．
故答案为：．
构造函数，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
因为在处取得极值，
所以，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
求出，由极值的定义得到，即，然后利用基本不等式的结论求解最值即可．
本题考查了利用导数研究函数极值的应用，基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
17.【答案】解：已知等式，
由正弦定理化简得：，
即，
在中，，
，；
，；
由余弦定理得：
，
代入得
．
【解析】利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为求出的值，即可确定出的度数；
利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将，以及的值代入求出的值．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用这两个定理完成了边角问题的互化．
18.【答案】解：列联表如下表所示：
不少于元 少于元 合计
男
女
合计
，
因此有的把握认为购买金额是否少于元与性别有关．
按照分层抽样应该选名男性，名女性．
记名男性分别为、、、，名女性分别为、，
恰好选到一男一女的事件记为，则任选人派发购物券的所有可能结果为：
、、、、、、、、、、、、、、，共种，
事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共种，
因此，．
【解析】根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；
根据古典概型概率公式计算即可．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
19.【答案】解：证明：取中点，连，
因为，，，，
所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，
则，，
因为面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以．
取中点，连，则，且，
因为平面平面，面面，面，
所以平面，又面积为，
三棱锥的体积为．
【解析】取中点，连，易得为正方形，为等腰直角三角形，再根据面面垂直的性质有平面，最后由线面垂直的性质证结论．
取中点，连，由面面垂直的性质有平面，根据棱锥体积公式求三棱锥的体积．
本题考查线线垂直的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题．
20.【答案】解：由题意得，解得，
所以的标准方程为．
设，，且．
设中点为，则，，
当时，：，；
当时，，
则，即，
与联立方程消去，整理得，
由，得，，，
，
当时取“”，所以的最大值为，
此时的方程为．
【解析】利用已知条件，列出方程组，求解，即可求出的标准方程．
设，，且设中点为，当时，：，；当时，求出直线的斜率，直线方程，然后直线方程与联立方程消去，整理得，利用韦达定理，弦长公式求解即可．
本题考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，是中档题．
21.【答案】解：函数定义域为，根据题意知有解，即有解，
令，则，
且当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
；
证明：由，是的不同的极值点，知，是的两根，
即，则，
，
要证，只需证，即，即证，
，
只需证，
令，则问题转化为证明成立，
而，
在上单调递增，
当时，，即成立，由此得证．
【解析】依题意，有解，令，对求导，求出的最大值，即可求得实数的取值范围；
利用分析法转化为证明成立，利用导数求出在上的单调性，进而求得取值情况，由此得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：直线的参数方程为为参数，
消去参数得直线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为．
，又，，，
，，
曲线的直角坐标方程为；
直线的参数方程为为参数，
直线的标准参数方程为，为参数，，
且表示直线上对应的点到定点的距离，
又直线与曲线交于，两点，
将直线的标准参数方程代入曲线的直角坐标方程可得：
，设，两交点对应的参数为，，
，，
．
【解析】消去参数即可得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化关系即可得解；
先将直线的参数方程化成标准参数方程，再将直线的标准参数方程代入曲线的直角坐标方程得参数的一元二次方程，最后利用直线的标准参数方程中参数的几何意义即可求解．
本题考查直线的参数方程与普通方程的转化，曲线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的标准参数方程中参数的几何意义，属中档题．
23.【答案】解：当时，
，解得，
故，
当时，，解得，
故，
当时，，恒成立，
故，
综上所述，原不等式的解集为；
由可知，，
则，，
，，，
，
，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
【解析】根据已知条件，对分类讨论，并对所求的结果取并集，即可求解；
结合的结论，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查绝对值不等式的求解，考查转化能力，属于中档题．
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