2023-2024学年重庆市西北狼教育联盟高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市西北狼教育联盟高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2. 已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
3. 已知随机变量，随机变量，若，，则( )
A. B. C. D.
4. 天宫空间站是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分假设有名航天员男女在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱与梦天实验舱各安排人，且两名女航天员不在同一个舱内，则不同的安排方案种数为( )
A. B. C. D.
5. 函数在上的图像大致为( )
A. B.
C. D.
6. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有( )
A. B.
C. D.
7. 若，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题中，真命题是( )
A. ，使得
B.
C. 幂函数在上为减函数，则的值为
D. ，是的充分不必要条件
10. 甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有个红球和个白球，乙盒中有个红球和个白球，现从甲盒中随机取出球放入乙盒，再从乙盒中随机取出球记“从甲盒中取出的球是红球”为事件，“从甲盒中取出的球是白球”为事件，“从乙盒中取出的球是红球”为事件，则( )
A. 与互斥 B. 与独立 C. D.
11. 已知，则( )
A. 展开式中二项式系数最大项为第项
B. 展开式中所有项的系数和为
C.
D.
12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集则关于函数有如下四个命题，正确的为( )
A. 对任意，都有
B. 对任意，都存在，
C. 若，，则有
D. 存在三个点，，，使为等腰直角三角形
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，则 ______ ．
14. 计算： ______ ．
15. 若函数在上单调递减，则的取值范围______ ．
16. 已知函数有两个极值点，，且，则的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
年月日神州四专搭载陈冬、刘洋、蔡旭哲名航天员在酒泉卫星发射中心发射成功，表明中国航天技术进一步走向成熟，中国空间站即将完成“”字基本结构的搭建，为了解民众对我国航天事业的关注度，随机抽取人，其中本科学历人，高中及以下学历人，得到如下列联表：
了解 不了解 总计
本科
高中及以下
总计
若高中及以下学历了解的人中，高中学历人，高中以下学历人，从中任意抽取人，求人都不是高中以下学历的概率；
若认为了解与否与学历有关，则出错的概率是多少？
附表：
参考公式：，．
18. 本小题分
已知函数．
求的极值；
若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围．
19. 本小题分
已知函数．
若的解集为，求，的值．
若，求解不等式．
20. 本小题分
我国承诺年前达到“碳达峰”，年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到年，针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”某校为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，团委组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛，甲、乙、丙三队参加竞赛，已知甲队通过初赛、复赛的概率均为，乙队通过初赛、复赛的概率均为，丙队通过初赛、复赛的概率分别为，，其中，三支队伍是否通过初赛和复赛互不影响．
求取何值时，丙队进入决赛的概率最大；
在的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列及均值．
21. 本小题分
某公司为了了解年研发资金投入量单位：亿元对年销售额单位：亿元的影响对公司近年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：，，其中、、、均为常数，为自然对数的底数并得到一些统计量的值令，，经计算得如下数据：
请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
根据的选择及表中数据，建立关于的回归方程；
(ⅱ)若下一年销售额需达到亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
附：相关系数，
回归直线中公式分别为：，；
参考数据：，，．
22. 本小题分
已知函数在处的切线方程为．
求实数，的值；
设函数，当时，恒成立，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，所以，
所以．
故选：．
由已知结合集合的交集及并集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集及并集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，因为函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，
则在上单调递减，
又不等式，
则，则，
故选：．
根据题意可得在上单调递减，从而可得不等式的解集．
本题考查函数的单调性，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，
解得或舍，
由，则，
所以．
故选：．
由求出，进而，由此求出．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：将名航天员安排在个实验舱的方案数为，
其中两名女航天员在一个舱内的方案数为，
所以满足条件的方案数为种．
故选：．
先求出总的安排方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可．
本题考查了排列组合的应用问题，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，则且，即函数为非奇非偶函数，图象不是对称函数，排除，，
当时，，排除．
故选：．
先判断函数为非奇非偶函数，然后利用的值的符号进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数对称性和函数值是否对应，利用排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，
得．
设函数，
则，
所以在上单调递减，从而，
即，即．
故选：．
构造函数，利用导数研究单调性，比较函数值的大小．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为，，，
则，当且仅当时等号成立，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为，
故选：．
根据题意，利用基本不等式的性质分析的最小值，而，分析即可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对原式的变形，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，且函数为奇函数，
则，即函数关于点对称，
所以有，
又，所以函数关于直线对称，
则由得：，，
所以，则
又由和得：，得，
所以，即，
所以函数的周期为，
则，
所以，
故选：．
根据奇函数的性质得到，由条件结合函数的对称性和周期性的定义得到函数的周期为，且，，即可求解．
本题主要考查了函数的对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由指数函数值域可知，对于，恒成立，所以是假命题；
对于，取特殊值，则，所以是假命题；
对于，由幂函数性质可得，
解得或，
又在上为减函数，
所以，即可得，即为真命题；
对于，显然，能推出；而时，可使，，此时推不出，，
所以，是的充分不必要条件，即是真命题．
故选：．
由指数函数值域可知是假命题；利用赋值法可知是假命题，由幂函数性质可得满足题意，为真命题；取特殊值验证可知是真命题．
本题主要考查了指数函数的性质，考查了幂函数的定义和性质，以及充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，事件与事件不能同时发生，与互斥，正确，
，，，，
，与不相互独立，错误，
，，正确，
，，正确．
故选：．
根据互斥事件的定义，条件概率公式，全概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，全概率公式，互斥事件的定义，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由二项展开式中的二项式系数性质可知二项式系数最大为，易知应为第项，即A错误；
对于，令，可得，即展开式中所有项的系数和为，可得B正确；
对于，令，可得，令，可得，
所以，即C正确；
对于，将等式两边同时求导可得，
，
再令，可得，即D正确．
故选：．
根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第项，判断的正误；利用赋值法可知展开式中所有项的系数和为，判断的正误；求出之后再利用赋值令可得，判断的正误；对等式两边求导再进行赋值计算，判断的正误．
本题考查二项式定理的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，考查了函数的基本概念，属拔高题．
用特值法判断，分类讨论法判断，求集合判断，反证法判断．
【解答】
解：对于，当时，，，所以错；
对于，分情况讨论，当时，，，有；
当时，，，有；
由和知，对任意，都存在，，所以对；
对于，因为，或，所以，从而；
因为，或，所以，从而；
则有，所以对；
对于，假设存在三个点，，，
使为等腰直角三角形，
不妨设，分两类情况，斜边平行轴或在轴上，
斜边不平行轴也不在轴上，
如图所示．
第种情况：不妨设斜边在轴上，即，
此时，，，，与假设矛盾；
第种情况：不妨设点在轴上，即，
此时，，与假设矛盾；
由和知，错；
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由函数解析式可得，
易知，
所以．
故答案为：．
根据分段函数解析式循环代入即可计算出结果．
本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：易知原式．
故答案为：．
根据分式指数幂运算法则及换底公式计算即可得出结果．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：利用复合函数单调性可知，函数在上单调递增，
所以可得对称轴在区间的左侧，即，得；
由对数函数定义域可得，即，
所以，即的取值范围是．
故答案为：．
根据复合函数单调性以及对数函数、二次函数性质即可求得．
本题考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
，
函数有两个极值点，，
，又，
，，
，是，即的两个不相等的实数根，
令，则，
当时，，在区间单调递减，且，
当时，，在区间单调递减，且，
当时，，在区间单调递增，且，
在处取得极小值，的图象大致如下，
若有两个不相等的实数根，，则，即，且，，
令，则，且，
，
又，
，
，
则，
，
设，则，
令，则，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
当时，，在上单调递减，
，即．
又在区间上单调递减，，，
，即．
故答案为：．
将极值点问题转化为导函数的零点问题，再将零点问题转化为方程的解的问题，构造函数求解即可．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于难题．
17.【答案】解：设人都不是高中以下学历为事件，则，故人都不是高中以下学历的概率为．
由题意可知：所以犯错误的概率低于．
【解析】设出事件，根据古典概率的求解方法可得答案；
计算卡方，和参考值比较可得答案．
本题考查古典概型以及独立性检验相关知识，属于基础题．
18.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值，无极大值；
当时，恒成立，，
由可得图象如下图所示，
若关于的方程只有一个实数解，
此时函数与直线的图象有且仅有一个交点，
易知当或时，函数与直线的图象有且仅有一个交点，
则实数的取值范围为．
【解析】由题意，利用导数可求得的单调性，由极值定义可确定极值点并求得极值；
将问题转化为与有且仅有一个交点，作出的图象，采用数形结合的方式可求得结果．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、数形结合、转化思想和运算能力．
19.【答案】解：的解集为，
方程的两个实根分别为，，且，
则，
解得；
不等式中，
当时，则，
化为，
若时，即，解得，
若时，即，无解，
若时，即，解得，
综上，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为．
【解析】由已知得方程的两个实根分别为，，且，直接将根代入即可得出答案；
分类讨论结合判别式即可求解．
本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了含参数的一元二次不等式的解法，属于中档题．
20.【答案】解：由题知：丙队通过初赛和复赛的概率，
又因为，所以．
所以，当时，丙队进入决赛的概率最大为．
由知：
甲、乙、丙三队进入决赛的概率均为，
因为进入决赛的队伍数，
所以；
；
；
．
所以，随机变量的分布列为：
所以．
【解析】由概率的乘法公式可得，再由二次函数知识可求解；
由二项分布可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
21.【答案】解：由题意，，
，
所以，从相关系数的角度，模型的拟合程度更好；
先建立关于的线性回归方程，
由，得，即；分
由于，
，
所以关于的线性回归方程为，
所以，则；
下一年销售额需达到亿元，即，
代入，得，
又，所以，
所以；
所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元．
【解析】由题意计算相关系数，比较它们的大小即可；
先建立关于的线性回归方程，再转化为关于的回归方程；
利用回归方程计算时的值即可
本题考查了线性回归方程的求法与利用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：依题意，．
又函数在处的切线方程为，
则，
解得，．
，
则．
令，其中，
则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以存在唯一，使得，
即，可得．
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减．
则当时，，
因为，，
所以，即，
因为，．
所以当时，，
，
的最小值为．
【解析】对函数求导数，由切线斜率及切点坐标，列出方程组，解出，的值；
利用导数研究的单调性，得函数的最值的取值范围，即可得到答案．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．
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