2023-2024学年河北省衡水十三中高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省衡水十三中高三（上）开学数学试卷
1. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 如是函数的部分图象，则( )
A. ，是奇数
B. ，是奇数
C. ，是偶数
D. ，是偶数
4. 国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为参考数据：，( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
5. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的细管长度忽略不计假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆以下结论正确的是( )
A. 沙漏中的细沙体积为
B. 沙漏的体积是
C. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为
D. 该沙漏的一个沙时大约是秒
6. 已知函数，均为偶函数，且当时，是减函数，设，，，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
7. 如图扇形所在圆的圆心角大小为，是扇形内部包括边界任意一点，若，那么的最大值是( )
A. B. C. D.
8. 若，，，则( )
A. B. C. D.
9. 已知，则函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为 B. 是函数的一个零点
C. D.
11. 已知为定义在上的偶函数且不是常数函数，设，已知函数是奇函数，则( )
A. 的图象关于对称 B.
C. 是奇函数 D. 与关于原点对称
12. 某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为单位：，环境温度为，单位，物体的温度冷却到，单位：需用时单位：分钟，推导出函数关系为，为正的常数现有一壶开水放在室温为的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则参考数据：( )
A. 函数关系也可作为这壶外水的冷却模型
B. 当时，这壶开水冷却到大约需要分钟
C. 若，则
D. 这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短
13. 已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为______ ．
14. 函数的最大值为______ ．
15. 已知函数，求的值域______ ．
16. 已知函数恰有三个正整数，使得，，，，则实数的取值范围为______ ．
17. 已知函数，且是奇函数，且．
求，的值；
若对于，不等式成立，求的取值范围．
18. 已知正方形的边长为，为等边三角形如图所示，沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面，是棱的中点如图所示．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值．
19. 为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如表．
上市时间天
市场价元
根据表数据，从，，中选
取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价与上市时间的变化关系无需说明理由，并求出该函数的解析式；
利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价．
20. 当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近个月的家乡特产收入单位：万元的情况，如表所示．
月份
时间代号
家乡特产收入
根据月至月的数据，求与之间的样本相关系数精确到，并判断相关性；
求出关于的经验回归方程结果中保留两位小数，并预测月收入能否突破万元，请说明理由．
附：样本相关系数若，则线性相关程度很强一组数据，，，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
21. 已知椭圆 ，离心率，它的长轴长等于圆的直径．
求椭圆 的方程；
若过点的直线交椭圆于，两点，是否存在定点，使得以为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由？
22. 已知函数，，其中．
求过点且与函数的图象相切的直线方程；
求证：当时，；
若函数有两个不同的零点，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，函数开口向上，且其对称轴为，
若该函数在上是减函数，必有，
解可得：，
即的取值范围为；
故选：．
根据题意，求出函数的对称轴，结合二次函数的性质可得，解可得的取值范围，即可得答案．
本题考查二次函数的性质，注意分析该二次函数的对称轴，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为在上单调递增，
所以，
所以是的必要不充分条件，即是“在上单调递增”的必要不充分条件．
故选：．
由分段函数在上为增函数列式，结合集合的包含关系即可求得结果．
本题分段函数的应用，函数的单调性的应用，充要条件的应用，是中档题．
3.【答案】
【解析】解：当为偶数时，恒大于，所以为奇数．
当时，，从图象可知此时，即．
故选：．
由图象和解析式可判断的奇偶，再由结合图象可判断的正负．
本题函数的图象的判断，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：设该品牌设置的质保期至多为年，
由题意可得，，则，
两边取对数，即，则，
即，则，
因为，所以，则，
又因为，所以．
故选：．
根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查对数的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：开始时沙漏上部分圆锥的高为，底面半径为，，对；错；
沙漏的一个沙时大约是，对；
细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约，，对；
故选：．
根据题意可知开始时沙漏上部分圆锥的高，底面半径，可求其体积，以及下落时的时间，可求落下时的高度．
本题考查圆锥的有关知识，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意“函数、均为偶函数”可知，
的周期为．
从而，
，
，
．
故选C．
由条件“函数、均为偶函数”可知的周期为，根据周期性和偶函数将，，化到区间上，而当时，是减函数，大小关系很快见分晓．
本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数的周期性和比较大小，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：以坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
，
设，其中，
，，，
，其中，，
角的终边落在第一象限，存在，使得，
的最大值为．
故选：．
由题建立平面直角坐标系，再由平面向量的坐标运算得到关于的三角函数，最后求三角函数的最值即可．
本题考查三角函数的最值和平面向量的坐标运算，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，，，
，，
则，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，
所以；
令，，
当时，，
所以在时单调递增，
所以当时，，
所以在时单调递减，
所以，
所以；
综上，．
故选：．
令，，，，，利用导数研究函数和的单调性，由此可得，，的大小．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查实数的大小，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由于当时，，排除，，
当时，，此时函数图象对应的图形可能为，
当时，，此时函数图象对应的的图形可能为．
故选：．
通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可．
本题考查函数的图象的判断，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：由三角函数的变换可得：，，
由于图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，
所以，所以，
选项，函数的最小正周期为，选项正确．
选项，因为，选项正确．
选项，，所以选项错误．
选项，函数的对称轴方程满足：，，解得，，
当时，函数的对称轴的方程为，
所以，选项正确．
故选：．
化简的解析式，根据的对称轴和对称中心的最小距离求得，根据三角函数的周期性、零点、最值、对称轴等知识确定正确答案．
本题考查三角函数的变换及三角函数的性质的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项，因为函数是奇函数，所以，又，
所以，整理得，
所以的图象关于对称，故A正确；
对于选项，因为为定义在上的偶函数，
则，
由选项知，则，
所以，即得，
所以，即得，故B正确；
对于选项，因为，
由选项知，则，所以是奇函数，故C正确；
对于选项，因为，所以，所以与关于轴对称，
又不是常函数，则与不关于原点对称，故D错误．
故选：．
根据偶函数和函数对称性的定义可判断选项；
利用函数的周期性可判断选项；
利用奇函数的定义可判断选项；
利用对称性定义可判断选项．
本是考查了抽象函数的奇偶性、对称性及周期性，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于：，则，
，整理得，故A错误；
对于：由题意得，
则当时，，故B正确；
对于：，
，解得，
，故C正确；
对于：设这壶水从冷却到所需时间为分钟，
则，
设这壶水从冷却到所需时间为分钟，
则，
，
，故D正确．
故选：．
根据函数，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，
则，，
所以所求切线的方程为．
故答案为：．
根据导数的几何意义，求出，即可得出切线方程．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：令，则，
，
时，．
故答案为：．
利用换元法将函数变形为，再结合二次函数的性质求解即可．
本题考查换元法及二次函数的性质，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由，即，得，
当且仅当时，即时，等号成立，
即函数时，函数的值域是．
而当时，，函数的值域是，
可知函数的值域是．
故答案为：．
根据函数的解析式，分段求出每部分对应函数的值域，再求并集即可得到本题的答案．
本题主要考查函数的单调性、函数的值域求法等知识，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：的定义域为，
由可得
显然时，不等式在上无解，不符合题意；
当时，不等式为，
令，，则当时，，
故不等式 没有正整数解，不符合题意；
当时，不等式为 为增函数，
，令，则，
当时，，故在上单调递减，
而，
存在使得，
当时，，当时，，
即当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又，且时，，
故不等式 的三个正整数解为，，，
，即，解得：．
故答案为：．
将问题转化为 恰有三个正整数，对进行分类讨论，分别构造函数，，求导利用单调性即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为函数是奇函数，所以，
即，得，
所以，，得或舍，
综上，，；
由知，，
则，恒成立，
，，，
所以，对恒成立，
即恒成立，
设，函数由外层函数和内层函数复合而成，
当，，单调递增，当，单调递增，
所以根据复合函数的单调性可知，函数，单调递增，最小值为，
即，则，
所以的取值范围为．
【解析】根据函数是奇函数求，再代入，求；
利用指数幂的化简，将不等式恒成立转化为，转化为求函数的最小值问题．
本题考查了指数的基本运算、奇函数的性质、转化思想及复合函数的单调性、对勾函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：取的中点，连接，并过点作的平行线，交于点，
则．
因为为等边三角形，所以．
因为平面底面，且平面底面，
所以底面取的中点，连接，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，则，，，，
所以，，
所以，
所以．
由得，，
设平面的法向量为，
则即
令，得．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】先判定底面，再建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积计算即可；
利用建立的坐标系，通过空间向量计算夹角即可．
本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查运算求解能力，属中档题．
19.【答案】解：由题表知，随着时间的增大，的值随的增大，先减小后增大，
而所给的函数，在上显然都是单调函数，不满足题意，
故选择，
把，分别代入，得，
解得，，
，，
又，
当且仅当时，即当时，有最小值，且，
故当该纪念章上市天时，市场价最低，最低市场价为每枚元．
原不等式可以整理为：
因为对，都有不等式恒成立，
则，
当时，，
当且仅当时，，
，
解得，不符合假设条件，舍去．
当时，在单调递增，故，
只需，
整理得：，
舍去，
综上，实数的取值范围是．
【解析】从题表的单调性入手，选出，再用待定系数法求解；
不等式变形为在上恒成立，只需，分与两种情况，求出相应的函数最小值，列出不等式，求出实数的取值范围．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
20.【答案】解：由月至月的数据可知，
，
，
，
，
，
样本相关系数的绝对值，
认为与具有很强的线性相关关系；
由题得，，
，
，
关于的经验回归方程为，
当时，，
因为，所以月收入从预测看不能突破万元．
【解析】由已知求得、、、、，代入公式求出，与比较可得答案；
由最小二乘法求出、，可得关于的经验回归方程，代入可得答案．
本题考查相关系数与经验回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：圆方程化为，则圆的直径为，，
由得：，，
以椭圆的方程：．
过点作斜率为和斜率不存在的直线交椭圆的两个交点为直径的圆分别为和，这两个圆的交点为．
所以猜想存在点，使得以 为直径的圆经过这个定点．
设直线 的方程为，与椭圆，
联立方程组得：，
设交点，得，，
则
，
所以，
即以 为直径的圆经过这个定点．
【解析】求出圆的直径为，推出，由离心率求解，然后求解椭圆的方程．
猜想存在点，使得以 为直径的圆经过这个定点．设直线 的方程为，与椭圆，联立方程组得：，设交点，，利用韦达定理，向量的数量积转化求解即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，向量在几何中的应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．
22.【答案】解：，设切点的坐标为，
则切线方程为，由切线过点，
则，解得，
故切线方程为．
证明：令，，
则，
当时，，
故在上单调递增，
故，
故在上单调递增，
故，
即当时，；
，，
若，，则在上单调递增，
函数最多只有一个零点，不符合题意；
若，，
令，，，且，
当时，，故在上单调递增，
又当时，，当时，，
又，故恰有一解，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故为函数的唯一的极大值点，
当时，，
当时，，
故函数有两个不同的零点，等价于，
即，不妨设，
当，，所以，
由得，直线与函数切于原点得：当时，，
，当时，，
令，即当时，，
故一定存在两个不同的根，设为，，
，，
又，位于单调递减区间，，同理，
，，
，，
又，
，
．
【解析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程即可；
令，根据函数的单调性证明即可；
根据的单调性以及零点的个数得到，不妨设，结合不等式的放缩证明结论成立即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，零点问题，考查不等式的证明以及转化思想，是难题．
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