2023-2024学年河北省石家庄市新乐市第一中学高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省石家庄市新乐重点中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. “，使得”的否定是( )
A. ，使得 B. ，使得
C. ， D. ，
2. 设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
3. 已知数列是等差数列，若，，则等于( )
A. B. C. D.
4. “”是“函数存在零点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6. 在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
7. 若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
10. 下列不等式一定成立的有( )
A.
B. 当时，
C. 已知，，则
D. 正实数，满足，则
11. 从有大小和质地相同的个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出个球，摸出的球不再放回，则( )
A. 第一次摸到红球的概率为
B. 第二次摸到红球的概率为
C. 在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为
D. 在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球的概率为
12. 已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是( )
A. B. 使的的最大值为
C. 公差 D. 当时，最大
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知数列对任意正整数都有，且，是方程的两个实根，则 ______ ．
14. 记函数的导函数为，且满足，则 ______ ．
15. 已知甲箱内有个白球个黑球，乙箱内有个白球个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为______ ．
16. 若函数在上有最小值，则的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，，．
求；
若，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知．
若的解集为，求关于的不等式的解集；
解关于的不等式．
19. 本小题分
已知数列满足，．
求证：数列是等差数列；
求数列的通项公式．
20. 本小题分
已知三次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行．
求的解析式；
若函数在区间上单调递增，求的取值范围．
21. 本小题分
某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了名男生和名女生，通过调查得到如下数据：名女生中有人课间经常进行体育活动，名男生中有人课间经常进行体育活动．
请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男
女
合计
以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差．
附表：
附：，其中．
22. 本小题分
口袋中共有个质地和大小均相同的小球，其中个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将个黑球全部取出时停止．
记总的抽取次数为，求；
现对方案进行调整：将这个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装个小球，其中个是黑球；乙袋装个小球，其中个是黑球采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的个黑球也全部取出后停止记这种方案的总抽取次数为，求并从实际意义解释与中的的大小关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：“，使得”的否定是：，使得．
故选：．
根据特称命题的否定为全称命题即可得出．
本题考查了特称命题的否定为全称命题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：全集，集合，
，
或，
．
故选：．
解不等式化简集合，根据补集与交集的定义计算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，
则，
，
，
解得，
，
故选：．
根据等差数列的性质求出，再根据通项公式求出，可得．
本题考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，函数，
又，，在上为增函数，求存在零点，
要求，必须要求，
在上存在零点；
若，代入函数，
可得，令，可得，
的零点存在，
“”是“函数存在零点”充分不必要条件，
故选：．
利用特殊值法，令，代入可以求出函数的零点，从而进行判断；
此题以对数函数为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．
5.【答案】
【解析】解：，的第项为，，
，
的系数为．
故选：．
直接运用二项展开式的通项公式赋值计算即可．
本题考查的知识要点：二项展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由已知递推关系可得此数列是周期为的数列，即可得出．
【解答】
解：由已知可得：，，，，，，，
数列是以为周期的数列，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：关于的不等式，
可化为，
该不等式的解集中恰有个正整数，
故不等式的解集为，且；
故选：．
利用一元二次不等式的解法，得到与的大小，进而求解结论．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，解题的关键是得到与的大小关系，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
，
，
所以令，则，，，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
因为，
所以，
所以，
故选：．
，，，令，则，，，求导分析单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：依题意，命题“，”是真命题，
所以对任意上恒成立，所以，
其必要不充分条件是或．
故选：．
先求得原命题是真命题时的取值范围，再结合充分、必要条件的知识确定正确答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了二次函数的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A：当时，显然错误；
选项B：，
由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，显然等号无法取得，
故，B错误；
选项C：因为，，
所以，当且仅当时等号成立，
又，当且仅当即时等号成立，
所以，当且仅当，即时等号成立，C正确；
选项D：因为，，由，得，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，D正确；
故选：．
由已知利用基本不等式逐一检验各选项判断即可．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查古典概型，条件概率等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
根据古典概型判断；根据独立重复试验概率计算公式判断；利用条件概率判断．
【解答】
解：从有大小和质地相同的个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出个球，摸出的球不再放回，
对于，第一次摸到红球的概率为，故A正确；
对于，第二次摸到红球的概率为，故B正确；
对于，在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为：，故C错误；
对于，在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球，相当于从个红球中摸出个红球，概率为，故D错误．
故选AB．
12.【答案】
【解析】解：等差数列，，
所以，
因为，
所以，即，，C正确；
所以，A正确；
因为，B错误；
因为，，
故当时，最大，D正确．
故选：．
由已知结合等差数列的性质，通项公式及求和公式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式及性质的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为数列对任意正整数都有，
所以数列是等差数列，
因为，是方程的两个实根，由根与系数的关系可得，
所以．
故答案为：．
先由已知数列递推式，结合等差中项公式判断得是等差数列，再利用韦达定理结合条件得到，从而利用等差数列的性质即可得解．
本题考查的知识要点：递推函数的关系式，一元二次方程根和系数的关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
求导得出，然后即可求出的值．
本题考查了基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：记甲箱中取出白球的事件为，从乙箱中取出黑球的事件为，
依题意，，，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，利用全概率公式计算作答．
本题主要考查了全概率公式的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
；
故在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数；
；
故或；
故；
解得，
故答案为：．
由题意求导；从而得到函数的单调性，从而可得；从而解得．
本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．
17.【答案】解：，或，
，
或．
因为，所以，
当时，则，解得，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为
【解析】先利用补集的定义求出，再利用集合的并集的定义求解．
由题意可知，对集合是否等于空集分情况讨论，分别求出的取值范围，再取并集即可．
本题主要考查了集合的基本运算，同时考查了分类讨论思想，是基础题．
18.【答案】解：由题意得，解得．
故不等式等价于即，解得或．
所以不等式的解集为或；
当时，原不等式可化为，解得．
当时，原不等式可化为，解得或．
当时，原不等式可化为．
当，即时，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得．
综上所述，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【解析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，由根与系数的关系即可求解，由分式不等式的求解即可得解；
分类讨论即可求解含参数的一元二次型不等式．
本题主要考查了二次方程与二次不等式关系的应用，还考查了含参二次不等式的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
19.【答案】证明：因为
，
所以，
所以数列是以为公差的等差数列；
解：因为，所以，
由知，数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以．
【解析】结合等差数列的定义即可证明；
由等差数列的通项公式可得，计算即可求得．
本题考查等差数列的定义与通项公式，属于中档题．
20.【答案】解：，
由题意，解得，
所以；
由，，
因为在是递增，
则在上恒成立，
即在时恒成立，
当时，根据二次函数的性质可知，，
所以，
故的取值范围为．
【解析】先对函数求导，结合导数的几何意义及直线平行的斜率关系可求；
先对求导，然后结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数几何意义的应用，还考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：列联表如下：
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计
男
女
合计
，
根据小概率值的独立性检验，判性别与课间经常进行体育活动有关联．
由题意可得，经常进行体育活动者的频率为，
则在本校中随机抽取人为经常进行体育活动者的频率为，
随机变量的所有可能取值为，，，，，
由题意可得，，
，，，，，，
故的分布列为：


故E，．
【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式的应用，即可求解．
在本校中随机抽取人为经常进行体育活动者的频率为，随机变量的所有可能取值为，，，，，
由题意可得，，分别求出对应的概率，再结合期望与方差的公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：依题意，的可能取值有，，，，
，，，，
；
依题意，的可能取值有，，，，
，，，
，
，
，说明将球由题意分装在两个口袋中，摸出所有黑球将更容易．
【解析】依题意，的可能取值有，，，，求出相应的概率，再利用期望公式求解即可；
依题意，的可能取值有，，，，求出相应的概率，再利用期望公式求出，结合期望的实际意义作答即可．
本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及期望的实际应用，属于中档题．
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