数学人教A版(2019)必修第二册8.4.1平面（共16张ppt）

(共16张PPT)
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
前面我们初步认识了简单几何体的组成元素,知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素.我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系,从而得到了多面体的一些结构特征.为了进一步认识立体图形的结构特征,需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间的位置关系.
8.4.1 平面
一、平面的含义
在初中,由现实事物直观感觉抽象得到了点和直线,那下图中的桌面、黑板面、平静的水面给我们以什么样的直观感觉？
几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
①平
1.平面的特征：
②无厚薄
③无限延展的
2.平面的画法：
3.平面的表示：
①用希腊字母表示：平面a、平面β、平面γ等,
并写在平行四边形一个角内.
②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC.
平面
①水平放置：
②竖直放置：
A
B
C
D
α
β
二、平面的基本性质
下面，我们来研究平面的基本性质.
两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢 我们用日常生活中看到的现象来研究.
自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”,三脚架的三脚着地就可以支撑照相机. 由这些事实和类似经验说明什么？
过不在一条直线上
的三个点，有且只
有一个平面.
也可以简单说成
“不共线的三点确定一个平面”.
不在一条直线上三个点A、B、C所确定平面，可记为平面ABC.
基本事实1给出了
确定一个平面的依据
α
A
B
C
1.基本事实1
文字语言：
图形语言：
点A在直线l上,记作A∈l;点B在直线l外,记作B l.
点A在平面α内,记作A∈α；点P在平面α外,记作P α.
如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢
直线上有无数个点,平面内有无数个点，
直线、平面都可以看成是点的集合. 因此，
α
A
B
P
l
在实际生活中，我们有这样的经验:如果一根台球杆上任意两点在桌面上，那么台球杆就在桌面上，上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实:
二、平面的基本性质
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”,由基本事实1,给定不共线三点A、B、C,它们可以确定一个平面ABC;连接AB、BC、CA，由基本事实2,这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC.组成这个“直
α
l
利用基本事实2可以判断
直线是否在平面内
2.基本事实2
文字语言：
A
B
平面内有无数条直线,平面可以看成是直线的集合.如果直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l α；否则，就说直线l不在平面α内，记作l α.
图形语言：
符号语言：
A∈l，B∈l,且A∈α, B∈α l α.
二、平面的基本性质
线网”的直线的“直"和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.
利用信息技术工具，可以方便地作出这个图形，观察“直线网”的形成和编织成平面的过程，
想象直线和平面的关系.
A
B
C
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”， 可以得到下面三个推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
α
a
A
α
α
b
a
b
a
P
二、平面的基本性质
不共线的三点、一条直线和这条直线外一点、两条相交直线、两条平行直线，都能唯一确定一个平面，这些结论在后续研究直线和平面之间平行、垂直关系时也会用到.
经过A、B、C三点确定一个平面α.由基本事实2，
α
l
A
B
C
现在我们来证明一下推论1，如右图.
在直线l上任取两点B和C，由基本事实1得，
直线l也在平面α内,则平面α经过直线l和点A，即一条直线和这条直线外一点确定一个平面.
用类似的方法你能说明推论2和推论3成立吗
推论1~3给我们提供了确定“一个平面的另外几种方法.
如右下图,如何判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内？
可以用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内,
否则就不在同一个平面内,其依据就是推论2.
二、平面的基本性质
如下图,把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面.可以想象，两个平面相交于一条直线.教室里相邻墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线.由此我们又得到一个基本事实:
B
α
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
3.基本事实3
文字语言：
图形语言：
如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.
α
l
P
二、平面的基本性质
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个
公共点,那么这两个平面一定相交于过这个公共
点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，
使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.
α
l
P
平面α与β相交于直线l,记作α∩β=l.
符号语言：
P∈α，且P∈β a∩β=l,且P∈l.
在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些(如下图).
α
A
B
α
A
B
上述三个关于平面的基本事实,是人们长期观察与实践总结出来的,是几何推理基本依据,也是我们进一步研究立体图形的基础.
二、平面的基本性质
例1 如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，
并说明理由.
三、典型例题
(1)直线AC1在平面CC1B1B内( )
(2)平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1( )
(3)由A、O、C确定一个平面( )
(4)由A、C1、B1确定的平面是平面ADC1B1( )
(5)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一
平面( )
D
B
C
A
D1
C1
B1
A1
O
O1
三、典型例题

l
A
例2 根据下列语句画出图形，并用符号表示.
(1)点A在平面 内，点B不在平面 内，点A、B都在直线l上；
(2)平面 与平面 相交于直线m，直线n在平面 内，并且平行
于直线m.
B


n
m
解：(1)
(2)
在下列命题中，不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的
点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条
过该点的公共直线
四、高考集锦
A
五、课堂小结
1.平面的含义：
2.平面的性质：
(1)平面的特征：
(2)平面的表示：
①用希腊字母表示：平面a、平面β、平面γ.
②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC.
①平
②无厚薄
③无限延展的
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
(2)基本事实2
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”.
(1)基本事实1
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
(3)基本事实3
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
六、巩固提升
课堂练习: 第128页练习第1、2、3、4题
课堂作业: 第131页习题8.4第1、5、6、7题