授课主题 函数的奇偶性
教学目标 掌握函数的奇偶性定义及奇偶性应用
教 学 内 容
1、函数奇偶性定义及奇偶性的直观认识（图像法和解析式法） 定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．
如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．2、奇偶性的特点（1）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内（x的取值范围）的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变，所以定义域必须关于原点对称．（2）奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，而偶函数刚好相反．（3）对于奇函数f(x) ，当f(0)有意义时，f(x)的图象一定过原点．例1：判断下列函数的奇偶性例2：判断下列函数是否具有奇偶性．f(x)＝x＋x3＋x5； (2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1； (4)f(x)＝x2，x∈[－1,3].总结：判断函数奇偶性的方法图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．随堂练习：1、判断函数的奇偶性：f(x)＝|x＋1|－|x－1|2、若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．例2：设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．随堂练习：1、已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是( )A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间（0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，使f(x)＜0的自变量范围是( )A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－∞，－4)∪(－1,0) D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)2、奇偶性应用例3：已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+,则=（ ）A.2 B.1 C.0 D.-2 随堂练习：1、已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝( )A．7 B．－7 C．12 D．172、已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3例4：已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，求当x∈(0，＋∞)时，f(x)的表达式．方法总结：求未知区间（与已知区间对称）的函数解析式设x在未知区间，则-x满足已知区间解析式；-x整体带入已知函数；（3）根据奇偶性变换，化简；：随堂练习：1、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．2、已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3课后作业：1、已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（ ）A．0； B．； C．1； D．2、设函数为奇函数，则___________。3、函数在其定义域内是( ) A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数4、已知是定义域为R的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围是 ．5、若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A．； B．； C．； D．6、已知奇函数是定义在上的减函数，若， 求实数的取值范围。
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1授课主题 函数的奇偶性
教学目标 掌握函数的奇偶性定义及奇偶性应用
教 学 内 容
1、函数奇偶性定义及奇偶性的直观认识（图像法和解析式法） 定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．
如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．2、奇偶性的特点（1）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内（x的取值范围）的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变，所以定义域必须关于原点对称．（2）奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，而偶函数刚好相反．（3）对于奇函数f(x) ，当f(0)有意义时，f(x)的图象一定过原点．例1：判断下列函数的奇偶性例2：判断下列函数是否具有奇偶性．(1)f(x)＝x＋x3＋x5； (2)f(x)＝x2＋1；(3)f(x)＝x＋1； (4)f(x)＝x2，x∈[－1,3].分析：先求定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．解析：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)． ∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R，－x∈R.∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)， ∴f(x)＝x2＋1是偶函数．(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R， 当x∈R时，－x∈R，∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)， f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，(x∈R)∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－3 [－1,3]． ∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也不是奇函数．总结：判断函数奇偶性的方法图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．随堂练习：1、判断函数的奇偶性：f(x)＝|x＋1|－|x－1|解析：函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．2、若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴k－1＝0，∴k＝1，∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)例2：设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．解析：(1)根据奇函数图象的特征：∴f(x)＜0的解集是{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5}．随堂练习：1、已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是( )A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：由图示可知：f(x)＜f(2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：D偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间（0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，使f(x)＜0的自变量范围是( )A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4，－1)∪(1,4)C．(－∞，－4)∪(－1,0) D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)解析：根据题目条件，想象函数图象如下：答案：B2、奇偶性应用例3：已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+,则=（ D ）A.2 B.1 C.0 D.-2 随堂练习：1、已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝( )A．7 B．－7 C．12 D．17解析：∵f(－7)＝－7， ∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7， ∴73a＋7b＝12.∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17. 答案：D2、已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( C ) A.-3 B.-1 C.1 D.3例4：已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，求当x∈(0，＋∞)时，f(x)的表达式．解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)， 因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4， 因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x－x4.方法总结：求未知区间（与已知区间对称）的函数解析式设x在未知区间，则-x满足已知区间解析式；-x整体带入已知函数；（3）根据奇偶性变换，化简；：随堂练习：1、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．分析：将x<0时，f(x)的解析式转化到x>0上，这是解决本题的关键． 解析：由f(x)是奇函数， 当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0. ∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)． 2、已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( C ) A.-3 B.-1 C.1 D.3课后作业：1、已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（ ）A．0； B．； C．1； D．[解析]B；由函数是定义域为的偶函数得，并且，即，所以的值是2、设函数为奇函数，则___________。[解析]0；由函数为奇函数得到，即所以3、函数在其定义域内是( ) A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数[解析]B； 因为，故是奇函数；又，可见是增函数，所以应选B4、已知是定义域为R的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围是 ．[解析]；当时，，由已知条件得，又是定义域为R的奇函数，故得，即当时由得；当时由得5、若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A．；B．； C．；D．[解析]D；因为为偶函数，故，又，在上是增函数，所以6、已知奇函数是定义在上的减函数，若， 求实数的取值范围。[解析] 是定义在上奇函数 对任意有 由条件得= 是定义在上减函数 ，解得 实数的取值范围是
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