教学内容 椭圆
教学目标考点分析 椭圆定义，性质，常用结论；直线与椭圆位置关系处理。
教学重点难点 直线与椭圆位置关系。
内容回顾 问题反馈
一、基础知识1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标 (a,0)，(－a,0)， (0，b)，(0，－b) (b,0)，(－b,0)， (0，a)，(0，－a)焦点坐标(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b 离心率e＝ a，b，c的关系a2＝b2＋c2 长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心． 离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁．二、常用结论 (1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.(3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
教学设计 问题反馈
【重难点例题启发与方法总结】 [典例] (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为( )A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1(2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3,0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为________． [题组训练]1．(2018·济南一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝12．已知椭圆中心在原点，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点，则椭圆的标准方程为________． [典例] (1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为( )A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1(2)已知点P(x，y)在椭圆＋＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积为18，则∠F1PF2的余弦值为________．[变透练清]1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为( )A．2 B．3 C．5 D．72.若本例(2)条件不变，则△PF1F2的内切圆的面积为________．考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围) [典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )A．1－ B．2－ C. D.－1(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.[解题技法] 求椭圆离心率的方法(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题[典例] 已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是( )A．4 B．6 C．8 D．10 [解题技法] 椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．[题组训练]1．(2018·贵阳摸底)P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为( )A. B. C. D.2．已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )A. B. C．5 D．23．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.考点四 弦中点问题 [典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.[解题技法]1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤 2．解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． [题组训练]已知椭圆：＋y2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )A．9x＋y－5＝0 B．9x－y－4＝0 C．x＋9y－5＝0 D．x－9y＋4＝0考点五 弦长问题 [典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值． [解题技法] 弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(k为直线斜率)．[提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[题组训练]椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．
课堂练习 问题反馈教学内容 椭圆
教学目标考点分析 椭圆定义，性质，常用结论；直线与椭圆位置关系处理。
教学重点难点 直线与椭圆位置关系。
内容回顾 问题反馈
一、基础知识1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标 (a,0)，(－a,0)， (0，b)，(0，－b) (b,0)，(－b,0)， (0，a)，(0，－a)焦点坐标(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b 离心率e＝ a，b，c的关系a2＝b2＋c2 长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心． 离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁．二、常用结论 (1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴．(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.(3)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)．(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
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【重难点例题启发与方法总结】 [典例] (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为( )A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1(2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3,0)，且离心率e＝，则椭圆的标准方程为________．[答案] (1)C (2)＋＝1或＋＝1 [题组训练]1．(2018·济南一模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1解析：选B 椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝·2a＝2，得c＝1，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为＋＝1.故选B.2．已知椭圆中心在原点，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点，则椭圆的标准方程为________．解析：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．依题意有解得∴所求椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝1 [典例] (1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为( )A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1(2)已知点P(x，y)在椭圆＋＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积为18，则∠F1PF2的余弦值为________．[解析] (1)由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－8)，F2(0,8)，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝20，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝162，两式相减得2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝144.又S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18，所以1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2，解得cos∠F1PF2＝.[答案] (1)D (2)[变透练清]1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为( )A．2 B．3 C．5 D．7解析：选D 因为a2＝25，所以2a＝10，由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－|PF1|＝7.2.若本例(2)条件不变，则△PF1F2的内切圆的面积为________．解析：由椭圆的定义可知△PF1F2的周长的一半为a＋c＝18，所以由三角形的面积公式S＝pr(其中p，r分别为三角形的周长一半，内切圆的半径)，得r＝1，所以△PF1F2的内切圆的面积为π.答案：π考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围) [典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )A．1－ B．2－ C. D.－1(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.[解析] (1)在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝，由椭圆的定义可知，在方程＋＝1中，2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1，所以离心率e＝＝＝－1.(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝ ＝ .因为1≤b＜2，所以0＜e≤.[答案] (1)D (2)A[解题技法] 求椭圆离心率的方法(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题[典例] 已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是( )A．4 B．6 C．8 D．10[解析] 设M(x0，y0)，F1(－3,0)，F2(3,0)．则＝(－3－x0，－y0)，＝(3－x0，－y0)，所以＋＝(－2x0，－2y0)，|＋|＝＝＝ ，因为点M在椭圆上，所以0≤y≤16，所以当y＝16时，|＋|取最小值为8.[答案] C [解题技法] 椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．[题组训练]1．(2018·贵阳摸底)P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝，则椭圆的离心率e为( )A. B. C. D.解析：选D 不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即|PF|＝，则tan∠PAF＝＝＝，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选D.2．已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )A. B. C．5 D．2解析：选C 设P(x0，y0)，则由题意得＋y＝1，故x＝4(1－y)， 所以|PA|2＝x＋(y0－4)2 ＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－32＋，又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|最大值为5.故选C.3．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.解析：选C 如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c.∴a－c≤2c＜a＋c.∴e＝∈.考点四 弦中点问题 [典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.[解析] 设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得，＋＝0，所以＝ －·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝ ＝，故选C.[答案] C[解题技法]1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤 2．解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． [题组训练]已知椭圆：＋y2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )A．9x＋y－5＝0 B．9x－y－4＝0 C．x＋9y－5＝0 D．x－9y＋4＝0解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因为x2＋x1＝1，y2＋y1＝1，＝kAB，代入后求得kAB＝－，所以弦所在的直线方程为y－＝－，即x＋9y－5＝0.考点五 弦长问题 [典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值．[解] (1)由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|AB|＝＝＝＝ .当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为. [解题技法] 弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝ (k为直线斜率)．[提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[题组训练]椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线AB的斜率为，求△ABF2的面积．解：(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，又e＝，所以＝，c＝1，所以b2＝22－1＝3，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为y＝(x＋1)，由得5x2＋8x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以y1＝，y2＝－.所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×＝.
课堂练习 问题反馈教学内容 双曲线
教学目标考点分析 双曲线定义，性质，常用结论；直线与双曲线位置关系处理。
教学重点难点 直线与双曲线位置关系。
内容回顾 问题反馈
一、基础知识1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a (2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线 .这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 当|PF1|－|PF2|＝2a 2a＜|F1F2| 时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|－|PF2|＝－2a 2a＜|F1F2| 时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支. 若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝＝ ∈(1，＋∞) e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线y＝±xy＝±xa，b，c的关系a2＝c2－b2二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．(2)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
教学设计 问题反馈
【重难点例题启发与方法总结】 [典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是( )A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1(2)(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1[题组训练]1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为( )A.－y2＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝12．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为( )A.－＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D．x2－＝13．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.－＝1(x≥ ) B.－＝1(x≤－)C.＋＝1(x≥ ) D.＋＝1(x≤－)[解题技法]利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )A．2 B．4 C．6 D．8 [解题技法]在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF1|，|PF2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ，＝2a及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S△PF1F2＝·2c·|y0|来解决． [题组训练]1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0) C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0)2．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( )A．48 B．24 C．12 D．6考法(一) 求双曲线的离心率(或范围) [典例] (2018·长春二测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C． D.[解题技法]1．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳离心率，不用愁，寻找等式消b求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中． 考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0 C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0 [解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A．1 B. C．2 D．22．已知直线l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是直线l上一点，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为( )A. B. C．2 D.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝，则双曲线E的离心率为( )A. B. C. D.4．(2018·郴州二模)已知双曲线－＝1(m＞0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
课堂练习 问题反馈教学内容 双曲线
教学目标考点分析 双曲线定义，性质，常用结论；直线与双曲线位置关系处理。
教学重点难点 直线与双曲线位置关系。
内容回顾 问题反馈
一、基础知识1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a (2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线 .这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 当|PF1|－|PF2|＝2a 2a＜|F1F2| 时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|－|PF2|＝－2a 2a＜|F1F2| 时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支. 若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝＝ ∈(1，＋∞) e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线y＝±xy＝±xa，b，c的关系a2＝c2－b2二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．(2)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
教学设计 问题反馈
【重难点例题启发与方法总结】 [典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是( )A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1(2)(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1[解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得无解．故该双曲线的标准方程为x2－＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y＝x中的x＝2时，y＝2＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是－＝1(a＞0，b＞0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，即＝±x，所以可设双曲线的方程是x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－＝1，故选C.(2)法一：如图，不妨设A在B的上方，则A，B.又双曲线的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，所以b＝3.又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，所以a＝.所以双曲线的方程为－＝1.法二：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线 －＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.[答案] (1)C (2)C[题组训练]1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的标准方程为( )A.－y2＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－＝1解析：选A 由题意可得解得则该双曲线的标准方程为－y2＝1.2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为( )A.－＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D．x2－＝1解析：选A 因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，则双曲线的标准方程为－＝1.3．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线方程为－＝1.答案：－＝1考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A.－＝1(x≥ ) B.－＝1(x≤－)C.＋＝1(x≥ ) D.＋＝1(x≤－)[解析] 设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4 b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥ )． [答案] A[解题技法]利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )A．2 B．4 C．6 D．8[解析] 由双曲线的方程得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4. [答案] B [解题技法]在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF1|，|PF2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ，＝2a及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S△PF1F2＝·2c·|y0|来解决． [题组训练]1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0) C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0)解析：选B 由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．2．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( )A．48 B．24 C．12 D．6解析：选B 由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝24.考法(一) 求双曲线的离心率(或范围) [典例] (2018·长春二测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A. B. C． D.[解析] 由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF2|＝，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a，可得≥c－a，解得≤， 即e≤，又双曲线的离心率e＞1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选B.[解题技法]1．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳离心率，不用愁，寻找等式消b求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中． 考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0 C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0[解析] 由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝ ＝，∴双曲线的离心率为 ＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.[答案] A [解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)或－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a＞0，b＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A．1 B. C．2 D．2解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.2．已知直线l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是直线l上一点，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为( )A. B. C．2 D.解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，不妨设直线l的方程为y＝x，设P(x0，x0)．由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝，则双曲线E的离心率为( )A. B. C. D.解析：选B 根据|AB|＝6可知c＝3，又|BC|＝，所以＝，b2＝a，所以c2＝a2＋a＝9，解得a＝2(舍负)，所以e＝＝.4．(2018·郴州二模)已知双曲线－＝1(m＞0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x解析：选B 由双曲线－＝1(m＞0)的焦点在y轴上，且在直线x＋y＝5上，直线x＋y＝5与y轴的交点为(0,5)，有c＝5，则m＋9＝25，得m＝16，所以双曲线的方程为－＝1，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.
课堂练习 问题反馈教学内容 抛物线
教学目标考点分析 抛物线定义，性质，常用结论；直线与抛物线位置关系处理。
教学重点难点 直线与抛物线位置关系。
内容回顾 问题反馈
一、基础知识1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 2．抛物线的标准方程和几何性质标准y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)方程图形p的几何意义：焦点F到准线l的距离顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋二、常用结论与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角．则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)|AF|＝，|BF|＝.(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.(4)＋＝.(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
教学设计 问题反馈
[典例] (1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为( )A. B．1 C. D．2(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． [变透练清]1．若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于( )A. B．1 C. D．22.若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．3．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________． [解题技法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决． [典例] (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A．y2＝－x B．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________． [解题技法]1．求抛物线标准方程的方法及注意点(1)方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．(2)注意点①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；③要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． [题组训练]1．(2019·哈尔滨模拟)过点F(40,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝－12y D．x2＝12y2．若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝4，则m的值是________．3．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________________．考法(一) 直线与抛物线的交点问题[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.若N在以AB为直径的圆上，则p的值为________．[解题技法] 直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．考法(二) 抛物线的焦点弦问题[典例] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．[解题技法]解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝( )A．5 B．6 C．7 D．82．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________.
课堂练习 问题反馈教学内容 抛物线
教学目标考点分析 抛物线定义，性质，常用结论；直线与抛物线位置关系处理。
教学重点难点 直线与抛物线位置关系。
内容回顾 问题反馈
一、基础知识1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 2．抛物线的标准方程和几何性质标准y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)方程图形p的几何意义：焦点F到准线l的距离顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋二、常用结论与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为弦AB的倾斜角．则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)|AF|＝，|BF|＝.(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.(4)＋＝.(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
教学设计 问题反馈
[典例] (1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为( )A. B．1 C. D．2(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．[解析] (1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2.∴xP＋1＝2，∴xP＝1.代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.[答案] (1)B (2)4 [变透练清]1．若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于( )A. B．1 C. D．2解析：选D 由抛物线y2＝2px知其准线方程为x＝－.又点A到准线的距离等于点A到焦点的距离，∴3x0＝x0＋，∴x0＝，∴A.∵点A在抛物线y2＝2px上，∴＝2.∵p＞0，∴p＝2.故选D.2.若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．解析：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2，即|PB|＋|PF|的最小值为2.答案：23．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝3，所以d1＋d2的最小值为3－1.答案：3－1 [解题技法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中，垂线段最短”解决． [典例] (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )A．y2＝－x B．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y(2)(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．[解析] (1)(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.(2)由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a>0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．[答案] (1)D (2)(1,0) [解题技法]1．求抛物线标准方程的方法及注意点(1)方法求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．(2)注意点①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；③要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． [题组训练]1．(2019·哈尔滨模拟)过点F(40,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝－12y D．x2＝12y解析：选D 由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.2．若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝4，则m的值是________．解析：y2＝16x的准线l：x＝－4，因为C与抛物线y2＝16x的准线l：x＝－4交于A，B两点，|AB|＝4，设A在x轴上方，所以A(－4,2)，B(－4，－2)，将A点坐标代入双曲线方程得2×(－4)2－(2)2＝m，所以m＝20.答案：203．已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________________．解析：由△FPM为等边三角形，得|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M，因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以解得因此抛物线方程为x2＝4y.答案：x2＝4y考法(一) 直线与抛物线的交点问题[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.若N在以AB为直径的圆上，则p的值为________．[解析] 设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.[答案] 2[解题技法] 直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．考法(二) 抛物线的焦点弦问题[典例] (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.[解题技法]解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝( )A．5 B．6 C．7 D．8解析：选D 由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，联立解得或不妨设M(1,2)，N(4,4)．又∵抛物线焦点为F(1,0)，∴＝(0,2)，＝(3,4)．∴·＝0×3＋2×4＝8.2．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________.解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根据焦半径公式|AF|＝x1＋＝x1＋4＝6，所以x1＝2，y1＝4，所以直线AB的斜率为k＝＝－2，所以直线方程为y＝－2(x－4)，与抛物线方程联立得x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以x2＝8，故|BF|＝8＋4＝12.答案：12
课堂练习 问题反馈
整理得－＋1＝0，解得k＝2. 答案：2
