课 题 一元二次不等式及其解法
教学目标 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
重 难 点 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.
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教学流程
【基础知识网络总结与巩固】1．三个“二次”之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)有两个相等实根x1＝x2＝－没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x
x2}R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2} 2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或2.常用结论(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x|xb}{x|x≠a}{x|xa}(x－a)·(x－b)<0{x|a0(<0) f(x)·g(x)>0(<0)．(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．【重难点关联练习巩固与方法总结】考法一 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的方法和步骤[例1] (1)(2019·衡阳月考)不等式2x＋3－x2>0的解集是( )A．{x|－13或x<－1}C．{x|－31或x<－3}(2)(2019·深圳月考)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－1,1)C．(－2,1) D．(－1,2)[例2] (2019·六安阶段性考试)已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． 题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R上的恒成立问题典例 (1)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )A．(－3,0] B．[－3,0)C．[－3,0] D．(－3,0)(2)设a为常数，对于 x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是( )A．(0,4) B．[0,4)C．(0，＋∞) D．(－∞，4)命题点2 在给定区间上的恒成立问题典例 设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 题型三 由一元二次不等式恒成立求参数范围 ?考向一 在实数集R上恒成立[例3] (2019·大庆期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(－2,2] D．(－2,2)?考向二 在某区间上恒成立[例4] (2019·忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有( )A．m≤－3 B．m≥－3C．－3≤m<0 D．m≥－4解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题． 题型四 一元二次不等式的应用典例 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．跟踪训练 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________．【重难点关联练习巩固与方法总结】1．(2021·武汉武昌区调研)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若 x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3,1) D．(1，＋∞)2．(2020·江淮十校联考)|x|·(1－2x)>0的解集为( )A．(－∞，0)∪ B．C. D．3．（三地名校联考)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C. D．4．(2021·包头模拟)若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－20，则实数a的取值范围是________．9．(2021·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)<0，则实数k的取值范围是________．10．(2021·南昌摸底)已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.课 题 一元二次不等式及其解法
教学目标 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
重 难 点 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.
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教学流程
【基础知识网络总结与巩固】1．三个“二次”之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)有两个相等实根x1＝x2＝－没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|xx2}R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2} 2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或2.常用结论(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x|xb}{x|x≠a}{x|xa}(x－a)·(x－b)<0{x|a0(<0) f(x)·g(x)>0(<0)．(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．【重难点关联练习巩固与方法总结】考法一 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的方法和步骤[例1] (1)(2019·衡阳月考)不等式2x＋3－x2>0的解集是( )A．{x|－13或x<－1}C．{x|－31或x<－3}(2)(2019·深圳月考)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－1,1)C．(－2,1) D．(－1,2)[解析] (1)原不等式变形为x2－2x－3<0，即(x－3)(x＋1)<0，解得－1f(a)等价于2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2a2.[解] ∵12x2－ax>a2，∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.①当a>0时，－<，解集为xx<－，或x>；②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；③当a<0时，－>，解集为xx<，或x>－.综上所述：当a>0时，不等式的解集为xx<－，或x>；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． 题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R上的恒成立问题典例 (1)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )A．(－3,0] B．[－3,0)C．[－3,0] D．(－3,0)答案 D解析 ∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，∴k≠0，又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则必有解得－30，则a的取值范围是( )A．(0,4) B．[0,4)C．(0，＋∞) D．(－∞，4)答案 B解析 对于 x∈R，ax2＋ax＋1>0，则必有或a＝0，∴0≤a<4.命题点2 在给定区间上的恒成立问题典例 设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．解 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，所以00，又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是. 题型三 由一元二次不等式恒成立求参数范围 ?考向一 在实数集R上恒成立[例3] (2019·大庆期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(－2,2] D．(－2,2)[解析] 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；当a－2≠0时，则有解得－20恒成立，则实数a的取值范围是________．思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．解析 (1)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.∴f(x)＝2.又∵f(x)0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立．即当x≥1时，a>－(x2＋2x)恒成立．令g(x)＝－(x2＋2x)，则g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.∴实数a的取值范围是{a|a>－3}．答案 (1)9 (2){a|a>－3}【重难点关联练习巩固与方法总结】1．(2021·武汉武昌区调研)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若 x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3,1) D．(1，＋∞)解析：选A 依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.2．(2020·江淮十校联考)|x|·(1－2x)>0的解集为( )A．(－∞，0)∪ B．C. D．解析：选A 原不等式等价于解不等式组可得实数x的取值范围是(－∞，0)∪.3．（三地名校联考)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C. D．解析：选A ∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是，∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的两个根为－，－，∴－＝－－，＝，∴a＝－6，b＝5，又x2－bx－a<0，∴x2－5x＋6<0，∴(x－2)(x－3)<0，∴不等式的解集为(2,3)．4．(2020·包头模拟)若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2x·10%，且(x－200)×20%>30，解得x>400，选B.6．(2020南昌重点校联考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )A．(0,1) B．(－2,1)C．(－2,0) D．(－，)解析：选A 记f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，依题意有即解得00，则实数a的取值范围是________．解析：设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a.因为对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0，所以令f(x)＝0，有Δ<0或解得10.所以原不等式即为k(x－4)<0，等价于(x－4)<0，依题意应有3≤≤5且k>0，所以1≤k≤4.答案：[1,4]10．(2021·南昌摸底)已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；(2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.解：(1)由题意知a<0，且－1,3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两个根，则∴(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(ax－a＋2)(x＋1)，∵a>0，∴f(x)>0可化为(x＋1)>0，①当≥－1，即a≥1时，不等式的解集为；②当<－1，即0