2023-2024学年北师大版九年级数学上册1.1 菱形的性质与判定 同步练习 (含答案)

1.1 菱形的性质与判定
一、选择题
1．下列说法中错误的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形 B．菱形的对角线长度等于边长
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O.添加下列条件仍不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABD＝∠CBD D．∠BAC＝∠DCA
3．菱形的两条对角线的长分别为 6cm、8cm，则菱形的边长是（　　）
A．10cm B．7cm C．5cm D．4cm
4．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝6，则OH的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
5．如图，在菱形ABCD中，∠D＝110°，则∠1的度数是（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
6．如图所示，在菱形 中， ， ，则菱形 的周长是（　　）．
A．20 B．15 C．10 D．5
7．如图，菱形ABCD中， ，对角线AC等于8， ，则DE的长为（　　）
A．5 B．6 C．9.6 D．4.8
8．在菱形ABCD中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=（　　）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，若AE＝AC，∠B＝48°，则∠BAE的大小为　 　．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形 对角线的交点坐标是 ，点 的坐标是 ，且 ，则点 的坐标是　 　．
11．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝　 　．
12．如图，菱形ABCD中，分别以点C、D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF，且直线EF恰好经过点A，与边CD交于点M.连接BM，若AB＝6，则BM＝　 　.
13．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝　 　．
三、解答题
14．如图，在 ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，EF⊥AC于点O．
求证：四边形AFCE是菱形．
15．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB、DF⊥BC，垂足分别为E、F.求证：BE＝BF.
16．如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB＝21 cm，CA＝15cm，求菱形AMNP的周长.
17．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ，对角线 所在的直线绕点 顺时针旋转角 ，所得的直线 分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）当旋转角 为多少度时，四边形 为菱形？试说明理由．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作 且 ，连接AE交OD于点F，连接OE
（1）求证： ；
（2）若菱形ABCD的边长为4， ，求AE的长．
参考答案
1．B
2．D
3．C
4．C
5．A
6．A
7．D
8．D
9．114°
10．（2，0）
11．
12．
13．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝ AD，CF＝ BC，
∴AE＝CF
∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形
15．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AB＝BC，∠A＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠CFD＝90°.
∴△AED≌△CFD（AAS）.
∴AE＝CF.
∴AB﹣AE＝BC﹣CF.
即：BE＝BF.
16．解：∵AMNP是菱形，
∴PN//AB，∴△CPN∽△CAB，
∴CP：CA=PN：AB，
∵PN=PA，∴CP：CA=PA：AB，
即CP：15=PA：21，
∴CP：PA=15：21=5：7，
∴（CP+PA）：PA=（5+7）：7，
∴AC：PA=12：7，
即15：PA=12：7，
解得PA= ，
∴菱形AMNP的周长是： ×4=35cm
17．（1）证明： 四边形 是矩形，
， ，
，
在 和 中，
，
（2）解：当 时，四边形 为菱形，
理由： ，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，
又 ，
四边形 为菱形．
18．（1）证明：连接EC，
∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC= AC，AD=AB.
∵DE//AC且DE= AC
∴DE=OA=OC
∴四边形OADE、四边形OCED都是平形四边形，
∴OE=AD，
∴OE=AB；
（2）解：∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∴∠OCE=90°.
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=4，∴AO= AC=2，
∴在矩形OCED中，CE=OD= =2
∴在Rt△ACE中，AE= =2