2023-2024学年京改版八年级数学上册 12.3 三角形中的主要线段教学设计

课程基本信息
课题 三角形中的主要线段
教学目标
教学目标： 1.理解三角形中线、角平分线、高线的概念； 2.通过画图、动手操作探索三角形的三条主要线段的特征，积累数学活动经验，发展几何直观，培养严谨地数学思维； 3.运用三角形的中线，角平分线，高线及其相关知识进行边、角的计算. 教学重点：能够画出任意三角形的中线，角平分线，高线. 教学难点：三角形的中线，角平分线，高线的性质.
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
情境引入 前面我们学习了三角形定义，三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形。以及三角形的基本元素，包括顶点、边、角，并探究了它们的性质。三角形的重要线段有哪些，它们分别是什么？今天我们一起来学习三角形中的主要线段。
探求新知 活动一：动手操作，探究三角形中线的概念及其特征 请你画出一个任意△ABC，找到BC边上的中点，标为点D，并说明你是如何找到中点的？ 方法一： 度量法：用刻度尺度量线段BC的长，找到线段BC的中点D. 方法二： 折叠法：对折，使点B与点C重合，折痕直线与BC边的交点为BC边上的中点D. 连接一个顶点A与它对边中点D，得到线段AD，线段AD是三角形的中线。 1.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. （1）三角形的中线是一条线段，它的一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点。 根据图形可以写出符号语言： ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=DC=BC 三角形有三条边，请你画出△ABC的其它中线，观察图形，并说明它们之间存在怎样的位置关系. 预设：三角形有三条中线，并且交于一点，交点在三角形内部. 问题1：这种说法准确吗？ 分析：三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，仅根据锐角三角形的情况下结论是不准确的。 问题2：有同学画出的三角形是直角三角形或是钝角三角形吗？ 问题3：它们的中线是否具备与锐角三角形中线相同的特点呢？ 锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的三条中线。 通过画图、观察发现：直角三角形和钝角三角形的三条中线也相交于一点，交点在三角形内部。 任意三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形内部。 实操：找一块质地均匀的三角形硬纸板，画出它的三条中线，用笔尖托住这个交点，观察硬纸板能否保持平衡。 通过实验操作发现：用笔尖托住三角形三条中线的交点，三角形硬纸板可以保持平衡。 把三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 已知三角形的中线可以得到相等的相等关系。
活动二：动手操作，探究三角形角平分线的概念及其特征 请你画出一个任意△ABC，及∠BAC的角平分线，并说明你是如何画出角平分线的？ 方法一： 度量法： 用量角器度量∠BAC的大小，画出∠BAC的角平分线AT，点T是角平分线与BC边的交点. 方法二： 折叠法：折叠，使AB与AC重叠，折痕直线是∠BAC的角平分线所在的直线. 若连接顶点A和∠BAC角平分线与之对边的交点T之间的线段AT，这条线段是三角形的角平分线. 1.三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做这个角的角平分线。 三角形的角平分线与前面所学的一个角的平分线有所不同。一个角的平分线是一条射线，根据三角形的角平分线定义可知三角形的角平分线是一条线段。 ∵AT是△ABC的角平分线 ∴∠BAT=∠CAT=∠BAC 请你画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线，并观察图形有什么特点？ 锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的三条角平分线。 通过画图、观察得到结论：2.任意三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部. 例题讲解： 如图，BD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线， EF是△ 的中线；BF是△ 的角平分线； 解：ABF，BCE 现在我们学习了三角形中的两条主要线段有三角形的中线和角平分线，他们的其中一个端点都为三角形的一个顶点，另一个端点为对边上的一点。同学们思考从三角形的一个顶点出发的特殊线段还有吗 根据同学们小学的学习经验，知道还有三角形的高。
活动二：动手操作，探究三角形角平分线的概念及其特征 请画任意一个△ABC，并过顶点A向它对边所在的直线画垂线段，垂足为H。 用三角板的一条直角边贴紧顶点A的对比BC，另一条直角边过点A，画出垂线段，并标出垂足H. 顶点A与垂足H之间的垂线段AH，是三角形的高线. 1.三角形的高线:由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做这个三角形的高线，简称三角形的高。 三角形的高是一条线段。 符号语言： ∵AH是△ABC的高 ∴∠AHB=∠AHC=90° 画图1：已知△ABC，BC边上的高。 根据三角形高的定义，我们要过BC边所对的顶点A向BC边画垂线，用三角板的一条直角边贴紧BC，另一条直角边过点A，我们会发现：此时贴紧BC的直角边在BC边的延长线上，要想找到垂足需延长BC，垂足H在BC的延长线上，然后画出BC边上的高AH。 画图2：请同学们画一画AC边上的高。 问题1：有的同学说图中CE是△ABC，AC边上的高。你认为他说的正确吗？ 分析：根据三角形高的定义：三角形的高是过三角形一顶点，向它对边所在的直线引垂线。AC边上的高应过AC所对的顶点B画AC所在直线的垂线段，即BF。BF为△ABC，AC边上的高。 问题2：EC不是AC边上的高，那它是AB边上的高线吗？ 分析：根据三角形高的定义，AB边上的高应过AB边所对的顶点C作AB所在直线的垂线，所得的垂线段是AB边上的高。通过观察CE不与AB垂直，所以CE不是AB边上的高。 小结：我们在画三角形一边上的高时，要根据三角形高的定义，过这边所对顶点画这边的垂线段。 画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高，并观察图形有什么特点？ 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高线。 通过画图、观察发现： （1）三角形的高的垂足可能在三角形的边上，也可能在边的延长线上。 （2）锐角三角形三条高交于三角形内部一点，直角三角形的三条高交于直角的顶点，钝角三角形的三条高没能交于一点。 若延长钝角三角形的三条高线，我们会发现：它们所在的直线相交于一点，交点在三角形外部。 2.任意三角形的三条高所在的直线相交于一点， 锐角三角形的三条高线交点在三角形内部， 直角三角形的三条高线交点是直角顶点， 钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部. 例题讲解： 如图，AD⊥CD，BE⊥AF，CF⊥AF，在△ABC中，BC边上的高是 ，在△AFC中CF边上的高是 . 解：AD，AF 思考：三角形的中线能得到线段等，它还有什么作用呢？ 分析：三角形的一条中线可以将三角形分成两个三角形，这两个三角形有一条边相等，即BD=CD；且有相同的高，即AH=AH；根据三角形的面积公式可得，。 让我们小结三角形中线的性质： 三角形中线定义： 三角形三条中线交于一点，交点在三角形内部： 3.三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形。 例题讲解： 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD 的中点，且=16，则= . 分析：由已知条件：点D、E分别为BC、AD的中点可知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，根据我们得到的结论：三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形，可得，，，所以可知。由已知条件=16，可得=8
课堂小结 三角形的主要线段 中线角平分线高线图形共同点（1）它们都是线段，并且其中一个端点是三角形的顶点； （2）三角形有三条中线，三条角平分线、三条高线，它们所在的直线交于一点。用途举例（1）得到相等的线段 （2）构造相等面积的三角形得到相等的角得到线段间的垂直 进行面积有关计算
2.准确作图，有助于对图形准确深入的研究.
课后作业 如图，已知AD，AE分别为△ABC的中线，高线，且AB=5cm，AC=3cm， 求△ABD与△ACD的周长之差； 判断△ABD与△ACD的面积关系. 2.如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，BC=6,AD=4,AB=7.求CE的长.