12.3 角的平分线的性质 同步练习（含解析）2022-2023学年上学期广西各地八年级数学期末试题选编
文档属性
| 名称 | 12.3 角的平分线的性质 同步练习（含解析）2022-2023学年上学期广西各地八年级数学期末试题选编 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 818.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-17 16:03:14 | ||
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文档简介
12.3 角的平分线的性质
一、单选题
1．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）如图，是的平分线上一点，于，于，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2022秋·广西北海·八年级统考期末）如图，平分，垂直于E，，，则的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2022秋·广西崇左·八年级统考期末）已知BG是的平分线，点D为BG上任意一点，且于点E，于点F，，则DE的长度是（ ）．
A．3 B．6 C．8 D．9
5．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，已知在四边形ABCD中，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AB=6，DE=4，则△ABD的面积是（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
6．（2022秋·广西来宾·八年级统考期末）如图，在中，平分，交于点D，，垂足为点E，若，则的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．6
7．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．内错角相等 B．对顶角相等
C．两点之间线段最短 D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
8．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
9．（2022秋·广西玉林·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
10．（2022秋·广西柳州·八年级统考期末）在中，，的角平分线交于点，则点到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2022秋·广西桂林·八年级统考期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2022秋·广西玉林·八年级统考期末）如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D,则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
13．（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）如图，用尺规作图作已知角平分线，其根据是构造两个三形全等，它所用到的判别方法是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
15．（2022秋·广西玉林·八年级期末）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，在长方形中，平分交于点E，E是的中点，则的长为 ．
17．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）如图，在中，平分交于点，且，则的面积为 ．
18．（2022秋·广西来宾·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，在轴，轴上分别截取，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值是 ．
19．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）如图，已知△ABC的周长是18，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，于点D，若OD＝3，则△ABC的面积是 ．
20．（2022秋·广西崇左·八年级统考期末）△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积18，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 ．
三、解答题
21．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AE=CE.
（1）用尺规或只用无刻度的直尺作出的角平分线，保留作图痕迹，不需要写作法.
（2）设的角平分线交边AD于点F，连接CF，求证：四边形AECF为菱形.
22．（2022秋·广西梧州·八年级统考期末）已知、分别是内角和外角平分线，它们的交点为，过点D作，垂足为F点，作，垂足为E点，连接．求证：．
23．（2022秋·广西来宾·八年级统考期末）如图，已知是的角平分线，且为的中点，，．
(1)写出图中所有的全等三角形；
(2)求证：．
24．（2022秋·广西崇左·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
(1)求证：CF＝EB；
(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
25．（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90 ，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AB=AC+CD．
26．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，，，求证：平分．
27．（2022秋·广西北海·八年级统考期末） 已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．
28．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是矩形，求：
(1)作∠ABC的角平分线，交AD于点E，交CD的延长线于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
(2)在（1）作图中，若E是AD的中点，求证：．
29．（2022秋·广西来宾·八年级统考期末）如图，已知．
(1)按下面的步骤，利用尺规作出的平分线：①以为圆心，任意长为半径作弧，交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，则就是的平分线；（保留作图痕迹，标上相应字母）
(2)根据（1）的作图方法证明
30．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；
（2）作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（3）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．
参考答案：
1．C
【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，
由角平分线的性质定理得：，
的三边，，长分别是20，30，40，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
2．C
【分析】先根据角平分线的性质得出PE＝PF，再利用HL证明Rt△APE≌Rt△APF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE＝AF＝4．
【详解】解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE＝PF，∠AEP＝∠AFP＝90°，
在Rt△APE与Rt△APF中，，
∴Rt△APE≌Rt△APF（HL），
∴AE＝AF＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．
3．C
【分析】过点D作DF⊥BA交BA延长于F，利用角平分线的性质求得DF=DE=3，即可用三角形面积公式求解．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥BA交BA延长于F，
∵平分，垂直于E，DF⊥BA交BA延长于F，
∴DF=DE=3，
∴S△ABD==×6×3=9，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论．
【详解】解：∵BG是∠ABC的平分线
且DEAB，DFBC
∴DE=DF=3
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
5．C
【分析】过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，由角平分线的性质得出DF＝DE，可得出△ABD的面积．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝DF=4，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质熟练掌握性质是解题的关键．
6．B
【分析】根据∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，再根据角平分线的性质得到DE=BD=１．
【详解】∵，∴，又∵平分，，∴由角平分线的性质得．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，灵活运用角平分线的性质处理问题．
7．A
【分析】根据平行线的性质，对顶角的性质，线段公理，角平分线的性质定理逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】A、内错角相等，是假命题，
B、对顶角相等，是真命题，
C、两点之间线段最短，是真命题，
D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，是真命题．
故选：A．
【点睛】本题主要考查真假命题，掌握平行线的性质，对顶角的性质，线段公理，角平分线的性质定理，是解题的关键．
8．B
【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE是解题关键．
9．C
【详解】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，所以△BCE的面积等于，
故选：C．
10．B
【分析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质得出ED=DC，代入求出即可.
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE的长是点D到AB的距离
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=，DE⊥AB
∴DE=DC(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵BC=7，BD=4
∴DC=BC-BD=3
∴DE=3
故点D到AB的距离是3.
故选B.
【点睛】本题考查了角平分线的性质.
11．B
【详解】如图，作DF⊥AC交AC于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝AC·DF＋AB·DE＝DE（AC＋AB）＝9，
∴×2×（AC＋5）＝9，
∴AC＝4
故选：B．
12．B
【详解】试题分析：已知OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，根据角平分线的性质可得PC=PD，A正确；在Rt△OCP与Rt△ODP中，OP=OP,PC=PD，由HL可判定△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质可得∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．故答案选B．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质.
13．B
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解．
【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∵和的角平分线交于点O，，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OD=OE=OF=3cm，
∵的周长是，
∴AB+BC+AC=36cm，
∵，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键．
14．D
【分析】根据作图过程可知：OC=OD，PC=PD，又OP=OP，从而利用SSS判断出△OCP≌△ODP，根据全等三角形的对应角相等得出∠COP=∠DOP，即OP平分∠AOB，从而得出答案.
【详解】解：由画法得OC=OD，PC=PD，
而OP=OP，
所以△OCP≌△ODP（SSS），
所以∠COP=∠DOP，
即OP平分∠AOB.
故答案为：D.
【点睛】本题考查了用尺规作图作已知角平分线，三角形全等的判定，用尺规作图作已知角平分线，三角形全等的判定掌握是解题的关键．
15．C
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
16．
【分析】过E作于H，连接，根据角平分线的性质得到，证明，得到，再证明，得到，即可求出．
【详解】解：过E作于H，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵平分交于点E，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．
【分析】如图，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线达到性质可得DE=CD，利用三角形面积公式即可得答案．
【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵，BD平分交于点，
∴DE=CD=3，
∵AB=10，
∴S△ABD=AB·DE=×10×3=15．
故答案为：15
【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
18．±2
【分析】先由作图得出点P在∠AOB的平分线上，再根据象限角平分线上点的坐标特征横纵坐标绝对值相等，得出|a|=2，求解即可．
【详解】解：由作图可知，点P在∠AOB的平分线上，
∵OA在x轴上，OB在y轴上，点的坐标为
∴|a|=2，
∴a=±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查基本作图-作角平分线，象限角平分线上点的坐标特征，熟练掌握作角平分线、象限角平分线上点的坐标特征横纵坐标绝对值相等是解题的关键．
19．27
【分析】过点作于，于，连接，如图，根据角平分线的性质得，，由于，所以根据三角形的面积公式可计算出的面积．
【详解】解：过点作于，于，连接，如图，
平分，，，
，
同理可得，
，
的周长是18，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
20．4
【详解】试题分析：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，利用角平分线的性质可知OE=OF=OD=2，利用三角形的面积公式可解得结果．
解：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，
∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=2，
∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC
=
=
∵△ABC的面积18，
∴=18，
解得：BC=4，
故答案为4．
考点：角平分线的性质．
21．（1）见详解；（2）见解析.
【分析】（1）只用无刻度直尺作图过程如下：①连接AC、BD交于点O，②连接EO，EO为∠AEC的角平分线；
（2）先根据AF=EC，AF∥CE，判定四边形AECF是平行四边形，再根据AE=EC，即可得出平行四边形AECF是菱形．
【详解】解：（1）如图所示，EO为∠AEC的角平分线；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE=∠FEC，
又∵∠AEF=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE=EC，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
22．见解析
【分析】过点D作于点G，利用角平分线的性质，得到，，再证明，利用全等三角形对应边相等，即可得证．
【详解】证明：如图，过点D作于点G，
∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质，以及全等三角形判定和性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
23．(1)△ADE≌△ADF，△BDE≌△CDF，△ABD≌△ACD
(2)见解析
【分析】（1）先由角平分线性质证DE=DF，则可由HL证Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE=AF，再证Rt△BDE≌Rt△CDF，得BE=CF，从而得AB=AC，即可用SSS证△ABD≌△ACD，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵是的角平分线，，，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∵为的中点，
∴BD=CD，
∵DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AC，
∵AD=AD，BD=CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴图中所有的全等三角形有：△ADE≌△ADF，△BDE≌△CDF，△ABD≌△ACD；
（2）证明：∵是的角平分线，，，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵为的中点，
∴BD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质与角平分线的性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)AF+BE＝AE，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；
（2）根据全等三角形的性质定理得到AC=AE，根据（1）的结论得到答案．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）解：AF+BE＝AE．理由如下：
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．
25．见解析
【分析】根据已知AC=BC，∠C=90，可得出DE=EB，再利用AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，可证明△ACD≌△AED，然后利用全等三角形的对应边相等和等量代换即可证明AB=AC+CD．
【详解】证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠ABC=45°，
又∵DE⊥AB，垂足为E，
∴∠B=∠EDB=45°，
∴DE=EB，
又∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，CD=DE，
∴AB=AE+EB=AC+CD．
【点睛】此题考查学生对等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，证明此题的关键是证明△ACD≌△AED，此题难度不大，属于基础题．
26．见解析
【分析】过点D作于点E，于点F，证明，得出，
【详解】证明：过点D作于点E，于点F，如图所示：
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴点D在的角平分线上，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
27．见解析
【分析】根据已知条件证明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可得到结论.
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，角平分线的判定定理，正确理解题意证明∴Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键.
28．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点B为圆心，以小于长为半径画弧，分别交AB、BC于两点，再分别以这两点为圆心，以这两点间距离的一半为半径画弧，交于一点，连接这点与B得到BF，即可求解；
（2）由E是AD的中点得到，由矩形的性质得到，根据“ASA”即可求解．
【详解】（1）解：根据角平分线作法画图如下，射线BF为所求作的角平分线，
（2）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△DFE中
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，作图-基本作图：熟练掌握角平分线的作法是解决问题的关键．
29．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）按步骤尺规作图即可；
（2）如图：连结、，由（1）作图可得、，然后再运用SSS证明≌，最后运用全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求的平分线．
（2）解：连结、
由（1）作图可知，
在和中，
，，（公共边）
∴
∴（全等三角形对应角相等）．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握尺规作图作角平分线成为解答本题的关键．
30．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；
（2）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；
（3）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，ED=ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．
试题解析：（1）作出∠B的平分线BD；
（2）作出AB的中点E.
（3）证明：
∵∠ABD=×60°=30°,∠A=30°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD，
在△ADE和△BDE中，
∴△ADE≌△BDE(SSS).
一、单选题
1．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）如图，是的平分线上一点，于，于，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2022秋·广西北海·八年级统考期末）如图，平分，垂直于E，，，则的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2022秋·广西崇左·八年级统考期末）已知BG是的平分线，点D为BG上任意一点，且于点E，于点F，，则DE的长度是（ ）．
A．3 B．6 C．8 D．9
5．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，已知在四边形ABCD中，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AB=6，DE=4，则△ABD的面积是（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
6．（2022秋·广西来宾·八年级统考期末）如图，在中，平分，交于点D，，垂足为点E，若，则的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．6
7．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．内错角相等 B．对顶角相等
C．两点之间线段最短 D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
8．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
9．（2022秋·广西玉林·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
10．（2022秋·广西柳州·八年级统考期末）在中，，的角平分线交于点，则点到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2022秋·广西桂林·八年级统考期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2022秋·广西玉林·八年级统考期末）如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D,则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
13．（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）如图，用尺规作图作已知角平分线，其根据是构造两个三形全等，它所用到的判别方法是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
15．（2022秋·广西玉林·八年级期末）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，在长方形中，平分交于点E，E是的中点，则的长为 ．
17．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）如图，在中，平分交于点，且，则的面积为 ．
18．（2022秋·广西来宾·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，在轴，轴上分别截取，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，若点的坐标为，则的值是 ．
19．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）如图，已知△ABC的周长是18，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，于点D，若OD＝3，则△ABC的面积是 ．
20．（2022秋·广西崇左·八年级统考期末）△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积18，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 ．
三、解答题
21．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AE=CE.
（1）用尺规或只用无刻度的直尺作出的角平分线，保留作图痕迹，不需要写作法.
（2）设的角平分线交边AD于点F，连接CF，求证：四边形AECF为菱形.
22．（2022秋·广西梧州·八年级统考期末）已知、分别是内角和外角平分线，它们的交点为，过点D作，垂足为F点，作，垂足为E点，连接．求证：．
23．（2022秋·广西来宾·八年级统考期末）如图，已知是的角平分线，且为的中点，，．
(1)写出图中所有的全等三角形；
(2)求证：．
24．（2022秋·广西崇左·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
(1)求证：CF＝EB；
(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
25．（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90 ，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AB=AC+CD．
26．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，，，求证：平分．
27．（2022秋·广西北海·八年级统考期末） 已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．
28．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是矩形，求：
(1)作∠ABC的角平分线，交AD于点E，交CD的延长线于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）
(2)在（1）作图中，若E是AD的中点，求证：．
29．（2022秋·广西来宾·八年级统考期末）如图，已知．
(1)按下面的步骤，利用尺规作出的平分线：①以为圆心，任意长为半径作弧，交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，则就是的平分线；（保留作图痕迹，标上相应字母）
(2)根据（1）的作图方法证明
30．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．
（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；
（2）作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（3）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．
参考答案：
1．C
【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，
由角平分线的性质定理得：，
的三边，，长分别是20，30，40，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键．
2．C
【分析】先根据角平分线的性质得出PE＝PF，再利用HL证明Rt△APE≌Rt△APF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE＝AF＝4．
【详解】解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE＝PF，∠AEP＝∠AFP＝90°，
在Rt△APE与Rt△APF中，，
∴Rt△APE≌Rt△APF（HL），
∴AE＝AF＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．
3．C
【分析】过点D作DF⊥BA交BA延长于F，利用角平分线的性质求得DF=DE=3，即可用三角形面积公式求解．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥BA交BA延长于F，
∵平分，垂直于E，DF⊥BA交BA延长于F，
∴DF=DE=3，
∴S△ABD==×6×3=9，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论．
【详解】解：∵BG是∠ABC的平分线
且DEAB，DFBC
∴DE=DF=3
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
5．C
【分析】过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，由角平分线的性质得出DF＝DE，可得出△ABD的面积．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝DF=4，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质熟练掌握性质是解题的关键．
6．B
【分析】根据∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，再根据角平分线的性质得到DE=BD=１．
【详解】∵，∴，又∵平分，，∴由角平分线的性质得．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，灵活运用角平分线的性质处理问题．
7．A
【分析】根据平行线的性质，对顶角的性质，线段公理，角平分线的性质定理逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】A、内错角相等，是假命题，
B、对顶角相等，是真命题，
C、两点之间线段最短，是真命题，
D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，是真命题．
故选：A．
【点睛】本题主要考查真假命题，掌握平行线的性质，对顶角的性质，线段公理，角平分线的性质定理，是解题的关键．
8．B
【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE是解题关键．
9．C
【详解】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，所以△BCE的面积等于，
故选：C．
10．B
【分析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质得出ED=DC，代入求出即可.
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，则DE的长是点D到AB的距离
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=，DE⊥AB
∴DE=DC(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵BC=7，BD=4
∴DC=BC-BD=3
∴DE=3
故点D到AB的距离是3.
故选B.
【点睛】本题考查了角平分线的性质.
11．B
【详解】如图，作DF⊥AC交AC于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝AC·DF＋AB·DE＝DE（AC＋AB）＝9，
∴×2×（AC＋5）＝9，
∴AC＝4
故选：B．
12．B
【详解】试题分析：已知OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，根据角平分线的性质可得PC=PD，A正确；在Rt△OCP与Rt△ODP中，OP=OP,PC=PD，由HL可判定△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质可得∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．故答案选B．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质.
13．B
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解．
【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∵和的角平分线交于点O，，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OD=OE=OF=3cm，
∵的周长是，
∴AB+BC+AC=36cm，
∵，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键．
14．D
【分析】根据作图过程可知：OC=OD，PC=PD，又OP=OP，从而利用SSS判断出△OCP≌△ODP，根据全等三角形的对应角相等得出∠COP=∠DOP，即OP平分∠AOB，从而得出答案.
【详解】解：由画法得OC=OD，PC=PD，
而OP=OP，
所以△OCP≌△ODP（SSS），
所以∠COP=∠DOP，
即OP平分∠AOB.
故答案为：D.
【点睛】本题考查了用尺规作图作已知角平分线，三角形全等的判定，用尺规作图作已知角平分线，三角形全等的判定掌握是解题的关键．
15．C
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
16．
【分析】过E作于H，连接，根据角平分线的性质得到，证明，得到，再证明，得到，即可求出．
【详解】解：过E作于H，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵平分交于点E，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
17．
【分析】如图，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线达到性质可得DE=CD，利用三角形面积公式即可得答案．
【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵，BD平分交于点，
∴DE=CD=3，
∵AB=10，
∴S△ABD=AB·DE=×10×3=15．
故答案为：15
【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
18．±2
【分析】先由作图得出点P在∠AOB的平分线上，再根据象限角平分线上点的坐标特征横纵坐标绝对值相等，得出|a|=2，求解即可．
【详解】解：由作图可知，点P在∠AOB的平分线上，
∵OA在x轴上，OB在y轴上，点的坐标为
∴|a|=2，
∴a=±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查基本作图-作角平分线，象限角平分线上点的坐标特征，熟练掌握作角平分线、象限角平分线上点的坐标特征横纵坐标绝对值相等是解题的关键．
19．27
【分析】过点作于，于，连接，如图，根据角平分线的性质得，，由于，所以根据三角形的面积公式可计算出的面积．
【详解】解：过点作于，于，连接，如图，
平分，，，
，
同理可得，
，
的周长是18，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
20．4
【详解】试题分析：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，利用角平分线的性质可知OE=OF=OD=2，利用三角形的面积公式可解得结果．
解：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，
∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=2，
∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC
=
=
∵△ABC的面积18，
∴=18，
解得：BC=4，
故答案为4．
考点：角平分线的性质．
21．（1）见详解；（2）见解析.
【分析】（1）只用无刻度直尺作图过程如下：①连接AC、BD交于点O，②连接EO，EO为∠AEC的角平分线；
（2）先根据AF=EC，AF∥CE，判定四边形AECF是平行四边形，再根据AE=EC，即可得出平行四边形AECF是菱形．
【详解】解：（1）如图所示，EO为∠AEC的角平分线；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE=∠FEC，
又∵∠AEF=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE=EC，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及菱形的判定，解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
22．见解析
【分析】过点D作于点G，利用角平分线的性质，得到，，再证明，利用全等三角形对应边相等，即可得证．
【详解】证明：如图，过点D作于点G，
∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质，以及全等三角形判定和性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
23．(1)△ADE≌△ADF，△BDE≌△CDF，△ABD≌△ACD
(2)见解析
【分析】（1）先由角平分线性质证DE=DF，则可由HL证Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE=AF，再证Rt△BDE≌Rt△CDF，得BE=CF，从而得AB=AC，即可用SSS证△ABD≌△ACD，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵是的角平分线，，，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∵为的中点，
∴BD=CD，
∵DE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AC，
∵AD=AD，BD=CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴图中所有的全等三角形有：△ADE≌△ADF，△BDE≌△CDF，△ABD≌△ACD；
（2）证明：∵是的角平分线，，，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵为的中点，
∴BD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质与角平分线的性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)AF+BE＝AE，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；
（2）根据全等三角形的性质定理得到AC=AE，根据（1）的结论得到答案．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）解：AF+BE＝AE．理由如下：
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．
25．见解析
【分析】根据已知AC=BC，∠C=90，可得出DE=EB，再利用AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，可证明△ACD≌△AED，然后利用全等三角形的对应边相等和等量代换即可证明AB=AC+CD．
【详解】证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠ABC=45°，
又∵DE⊥AB，垂足为E，
∴∠B=∠EDB=45°，
∴DE=EB，
又∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE，CD=DE，
∴AB=AE+EB=AC+CD．
【点睛】此题考查学生对等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，证明此题的关键是证明△ACD≌△AED，此题难度不大，属于基础题．
26．见解析
【分析】过点D作于点E，于点F，证明，得出，
【详解】证明：过点D作于点E，于点F，如图所示：
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴点D在的角平分线上，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明．
27．见解析
【分析】根据已知条件证明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可得到结论.
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，角平分线的判定定理，正确理解题意证明∴Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键.
28．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点B为圆心，以小于长为半径画弧，分别交AB、BC于两点，再分别以这两点为圆心，以这两点间距离的一半为半径画弧，交于一点，连接这点与B得到BF，即可求解；
（2）由E是AD的中点得到，由矩形的性质得到，根据“ASA”即可求解．
【详解】（1）解：根据角平分线作法画图如下，射线BF为所求作的角平分线，
（2）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△DFE中
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，作图-基本作图：熟练掌握角平分线的作法是解决问题的关键．
29．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）按步骤尺规作图即可；
（2）如图：连结、，由（1）作图可得、，然后再运用SSS证明≌，最后运用全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求的平分线．
（2）解：连结、
由（1）作图可知，
在和中，
，，（公共边）
∴
∴（全等三角形对应角相等）．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握尺规作图作角平分线成为解答本题的关键．
30．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；
（2）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；
（3）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，ED=ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．
试题解析：（1）作出∠B的平分线BD；
（2）作出AB的中点E.
（3）证明：
∵∠ABD=×60°=30°,∠A=30°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD，
在△ADE和△BDE中，
∴△ADE≌△BDE(SSS).