13.3.1 等腰三角形 同步练习（含解析）2022-2023学年上学期广西各地八年级数学期末试题选编

13.3.1 等腰三角形
一、单选题
1．（2022秋·广西防城港·八年级统考期末）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
2．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）若等腰三角形的顶角度数是一个底角度数的4倍，则底角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·广西梧州·八年级统考期末）在等腰中，若，则的度数不可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022秋·广西玉林·八年级期末）已知：如图，在， 中， ， ， ，点 三点在同一直线上，连接 ， ；以下四个结论： ；；； ；其中结论正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022秋·广西来宾·八年级统考期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交、边于点、．若点为的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．11
6．（2022秋·广西崇左·八年级统考期末）如图，在中，，于点D．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．平分
7．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①当AB=BC时，AF=CF；②∠AOB＝90°+∠C；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①④ C．③④ D．①②③④
8．（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）如图，是的角平分线，交BC于点E，垂足为F，连接DE．若，，则的度数为（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
9．（2022秋·广西崇左·八年级统考期末）如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从海岛B到灯塔C的距离为（　　）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
10．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
11．（2022秋·广西百色·八年级统考期末）已知一个等腰三角形的两条边长分别是4和8，则它的周长是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
二、填空题
12．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，在中，，且平分，如果，，那么的度数等于 ．
13．（2022秋·广西贺州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，∠BAC=30 ，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
三、解答题
14．（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）如图，四边形中，，，连接．
(1)求证：；
(2)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交，于点E，F；
(3)连接，若，求的度数．
15．（2022秋·广西崇左·八年级统考期末）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
16．（2022秋·广西柳州·八年级统考期末）如图，已知中，．是的中点，、分别是、边上的且．
求证：．
17．（2022秋·广西钦州·八年级统考期末）小明在学了尺规作图后，通过“三弧法”作了一个，其作法步骤是：
①作线段，分别以为圆心，取长为半径画弧，两弧的交点为C；
②以B为圆心，长为半径画弧交的延长线于点D；
③连结．
画完后小明说他画的的是直角三角形，你认同他的说法吗，请说明理由．
18．（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．（2022秋·广西百色·八年级统考期末）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，在每张方格纸中均画有线段，点A，B均在格点上．
(1)在图1中画一个以为斜边的等腰直角三角形，使点C在格点上；
(2)在图2中画一个以为对角线且面积为40的菱形，使点D，E均在格点上．
20．（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB；垂足为E．求证：
(1)CD=BE．
(2)
21．（2022秋·广西北海·八年级统考期末）（1）已知线段c，求作△ABC，使，，AB边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
（2）求∠A的度数．
22．（2022秋·广西河池·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，，其中于点D，于点E，，交于点F，H为的中点，连接，，．
(1)求和的度数；
(2)求证：
(3)求证：
23．（2022秋·广西柳州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且a，b满足，连接．
(1)求点A，B点的坐标；
(2)如图1，动点C从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AC，过点C作，且，点D在第一象限，请用含有t的式子表示点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长交x轴于点E，连接和，过点B作线段交x轴于点F，使得，已知此时点F的坐标为，求的面积．
24．（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）如图，在等腰中， ，D是边上任一点，于E，交的延长线于F，于H，交于G；求证：．
25．（2022秋·广西梧州·八年级统考期末）如图，在中，，，点F是线段上的一点，作，，且交点是E，过点E作的延长线的垂线，垂足为D．若，求证：．
26．（2022秋·广西玉林·八年级统考期末）如图，以为原点的直角坐标系中，点的坐标为，直线交轴于点为线段上一动点，作直线，交直线于点过点作直线平行于轴，交轴于点，交直线于点．
(1)当点在第一象限时，求证：≌；
(2)当点在第一象限时，设长为，三角形的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当点在线段上移动时，点也随之在直线上移动，能否成为等腰三角形？如果能，求出所有能使成为等腰三角形的点的坐标；如果不能，请说明理由．
27．（2022秋·广西百色·八年级统考期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AD与EF相交于点M．
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)求证：AD垂直平分EF．
28．（2022秋·广西南宁·八年级统考期末）在中，，．
(1)尺规作图：求作边的垂直平分线分别交，于点和点﹔（保留作图痕迹，不要求写出作图过程）
(2)直接写出的形状．
29．（2022秋·广西来宾·八年级统考期末）在中，、的角平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)过点作交于点，交于点，若，，求的周长．
30．（2022秋·广西北海·八年级统考期末）如图1，在△ABC中，，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得，过点G作分别交BC，AC于点F，D．
(1)求证：；
(2)若，，求AB的长度；
(3)如图2，过点D作于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若，，在（2）条件下，求△AFP周长的最小值．
参考答案：
1．C
【分析】连接，，先求出，进而求出，求出，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决．
【详解】解：如图，连接，
，为的平分线，
．
又，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
为的平分线，，
直线垂直平分，
，
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
．
；
在中，，
．
故选：C．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．
2．A
【分析】设底角度数为x，则顶角度数为，根据三角形内角和定理列出方程，即可求解．
【详解】解：设底角度数为x，则顶角度数为，根据题意得：
，
解得：，
即底角是．
故选：A
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用方程思想解答是解题的关键．
3．D
【分析】根据等腰三角形的定义分类讨论：①当为等腰三角形的顶角，为等腰三角形的底角时，②当为等腰三角形的底角，也为等腰三角形的底角时和③当为等腰三角形的底角，为等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】分类讨论：①当为等腰三角形的顶角，为等腰三角形的底角时，
∴；
②当为等腰三角形的底角，也为等腰三角形的底角时，
∴；
③当为等腰三角形的底角，为等腰三角形的顶角时，
∴．
综上所述，的度数不可能是．
故选D．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，三角形内角和定理．利用分类讨论的思想是解题关键．
4．D
【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案；
【详解】解： ，
即：
在 和 中
，本选项正确；
为等腰直角三角形，
，本选项正确；
即：，本选项正确；
，本此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
5．D
【分析】连接，由于是等腰三角形，点是的中点，根据三线合一可知，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】如图，连接，
∵是等腰三角形，点是的中点，
∴，
∴，解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∵，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短，
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三线合一等，三角形的面积，三角形的周长等知识点，熟悉掌握并运用以上知识点是解答本题的关键．
6．C
【分析】由在中，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，平分，
无法确定，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用等角对等边以及三线合一的性质是解答本题的关键．
7．D
【分析】由等腰三角形的性质与全等三角形可判断①正确；由角平分线的定义结合三角形的内角和可求解与的关系，判断②正确；在上取一点，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于点，于点，根据三角形的面积可得④正确．
【详解】解：当时，为等腰三角形
∵BF平分
∴ ，
∴
在和中，
∴
∴
∴①正确．
和的平分线相交于点，
，，
∴②正确；
，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，
是的角平分线，
，
在和中，，
∴
，
，
，
在和中，，
∴
，
，故③正确；
如图，作于点，于点
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
∴
∴
∴④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质与三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线是解题关键．
8．C
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC=95°，利用全等三角形的性质证明∠BED=∠BAD即可解决问题．
【详解】解：∵∠ABC=35°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-35°-50°=95°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠EBF，
∵BD⊥AE，
∴∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴AB=BE，
在△BDA和△BDE中，
∵AB=AE，∠ABD=∠EBD，BD=BD，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CED=180°-95°=85°．
故选：C
【点睛】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．C
【分析】由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，10时到达海岛B处，可求得AB的长，又由∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，可得∠C＝∠NAC，即可证得BC＝AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离．
【详解】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），
∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝30海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握等角对等边是解题的关键．
10．B
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：当长是3cm的边是底边时，
三边为3cm，5cm，5cm，
等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，
底边长是：13－3－3＝7cm，
而3＋3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：3cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
11．A
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【详解】解：当腰长为4时，4+4=8，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8时，符合三边关系，其周长为8+8+4=20．
故该等腰三角形的周长为20．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．/107度
【分析】首先利用等腰三角形的性质及顶角的度数求得两底角的度数，然后利用角平分线的性质求得的度数，然后利用等腰三角形的性质求的度数，从而求得的度数．
【详解】解：，，
，
是角平分线，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及等腰三角形的性质；做题时两次运用了等边对等角的性质及三角形内角和定理，要熟练掌握并能灵活应用这些知识．
13．6
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．
【详解】如图，
①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC于点P2；
②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；
③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．
故符合条件的点有6个．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明，再结合已知条件可证明；
（2）分别以，为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两弧的交点画直线即可；
（3）证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
在和中，，
∴．
（2）如图1所示：直线即为所求．
（3）如图2．连接，
∵垂直平分，，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角的含义，掌握线段的垂直平分线的作图与性质的运用是解本题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由“”可证；
（2）由，，即可求得与的度数，即可得的度数，又由，即可求得的度数，则由即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴（）；
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
16．见详解
【分析】先根据等腰三角形的性质，得∠B=∠C，再证明 BDM CEM，进而即可得到结论．
【详解】∵，
∴∠B=∠C，
∵是的中点，
∴BM=CM，
又∵，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
∴ BDM CEM，
∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握SAS证明三角形全等，是解题的关键．
17．同意，理由见解析
【分析】利用等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可证明．
【详解】同意，理由如下:
解：∵AC=BC=BD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴∠ACD=90° ，即△ACD是直角三角形．
【点睛】本题考查等边对等角，三角形内角和定理．能利用等边对等角把相等的边转化为相等的角是解题关键．
18．（1）证明见解析；（2）=80°
【分析】（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵点D为BC的中点，
∴BD=CD，
∵，，
∴∠DEB=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中，
∴，
∴．
（2）∵
∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，
∴∠C=50°，
在△ABC中，=180°-（∠B+∠C）=80°，
故=80°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据要求做出图形即可
（2）利用数形结合的思想画出图形即可
【详解】（1）∵以为斜边的等腰直角三角形的直角顶点C在的中垂线上，且
∴以的中点向左或向右取4个格子，即可得到点C，连接，即可得到等腰三角形
（2）∵，且
∴
∵菱形的对角线垂直且平分，
∴以的中点向左和向右分别取5个格子，即可得到点D和E，连接，，，即可得到菱形
【点睛】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形及菱形的性质，剖析两个图形的特点，根据条件确定顶点位置是解题的关键
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE，再根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE=AC，再由CD=BE可得出结论．
【详解】（1）证明：在中，，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
．
是的角平分线，
，
．
（2）证明：是的角平分线，，
，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
，
由知，
．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
21．（1）见解析；（2）45°
【分析】（1）先作线段AB=c，再作上的中垂线，与交于点D，截取的长度，以D点为圆心的长度为半径作弧交于点C，连接与即可；
（2）由，，可知，．，进而可知，由此可得．
【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求，
（2）解：∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查尺规作图，作已知线段的中垂线，等腰三角形的性质，能够熟练掌握等腰三角形的相关性质是解决本题的关键．
22．(1)，
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质即可求解；
（2）通过证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得；
（3）过点H作于点M，作于点N，根据等腰直角三角形的性质，得出是边上的中线，平分，得出即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
，
，
．
（2）证明：，，
，
，
是等腰直角三角形，
为的中点，
；
（3）解：如图，过点H作于点M，作于点N，
是等腰直角三角形，是边上的中线，
平分，
，
，，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据绝对值的非负性，得出，，即可得出答案；
（2）过D作轴于P，则，先证明，进而得出，求出，，则，即可得出答案；
（3）由知（2）知：，先证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，进而得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵a，b满足，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：如图所示，过D作轴于P，则，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：由知（2）知：，
∴，
而，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
又∵，
∴．
∵，
而，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．
24．见解析
【分析】根据题意得，，再等量代换可得，从而证明，因此．
【详解】证明：∵
∴
∵是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴
∴°，
∴
∵
∴，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查得是等腰三角形的性质、全等三角形的证明等，解题的关键在于从复杂的图形中找出正确的三角形，并找出足够的条件．
25．见解析
【分析】先证明，，再证明，即可得到结论．
【详解】∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)；
(3)能，点的坐标为或
【分析】（1）根据∠OPC=90°和同角的余角相等，我们可得出三角形OPM和PCN中两组对应角相等，要证两三角形全等，必须有相等的边参与，已知了OA=OB，因此三角形OAB是等腰直角三角形，那么三角形AMP也是个等腰三角形，AM=MP，OA=OB=MN，由此我们可得出OM=PN，由此我们可得出两三角形全等．
（2）根据是等腰直角三角形可得AM、OM；即可求得；
（3）要分两种情况进行讨论：当C在第一象限时，要想使PCB为等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°，因此此时P与A重合，那么P的坐标就是A的坐标．当C在第四象限时，要想使PCB为等腰三角形，那么PB=BC，在等腰直角三角形PBN中，我们可以用m表示出BP的长，也就表示出了BC的长，然后根据（1）中的全等三角形，可得出MP=NC，那么可用这两个含未知数m的式子得出关于m的方程来求出m的值．那么也就求出了PM、OM的长，也就得出了P点的坐标．
【详解】（1）证明：点的坐标为，直线交轴于点，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：是等腰直角三角形，
，
，
，
当点与重合时，，
；
（3）解：能成为等腰三角形，
当点与重合时，，此时，
当时，此时点在第四象限，
，
，
，
，
解得，
，
由题意知，不成立，
综上：能使成为等腰三角形的点的坐标为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形的性质；此题的设计比较精巧，将几何知识放在坐标系中进行考查，第1题运用相似形等几何知识不难得证，第2小题需利用第1小问的结论来建立函数解析式，第3小题需分类讨论，不要漏解，运用方程思想可以得到答案，分类讨论是正确解答本题的关键．
27．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由角平分线的性质定理可得DE＝DF，然后根据“HL”可进行求证；
（2）由（1）可得AE＝AF，然后根据等腰三角形的性质可求证．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）；
（2）证明：∵Rt△ADE≌Rt△ADF
∴AE＝AF
又∵AD是△ABC的角平分线
∴AD是线段EF的垂直平分线．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、“HL”及等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、“HL”及等腰三角形的性质是解题的关键．
28．(1)见解析
(2)等腰三角形
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点构造直线即可；
（2）通过三角形内角和定理及外角性质求得∠BEC=∠C=72°,得出结果．
【详解】（1）解:图中直线为所求．
（2）在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C= ，
又∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=36°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=72°,
∴BE=BC，
∴△BEC是等腰三角形；
故△BCE的形状是等腰三角形．
【点睛】本题考查垂直平分线的作法和等腰三角形的判定，掌握垂直平分线的尺规作图是解决问题的关键．
29．(1)130°
(2)7
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
（2）先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，，则的周长可求解
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∵、的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵∴，，
∵、的角平分线交于点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的周长，
．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质，整体思想的利用和有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
30．(1)证明见解析；
(2)2；
(3)．
【分析】（1）根据平行线的性质可证明，再根据题意利用AAS证明三角形全等即可．
（2）首先根据等腰三角形性质及平行线性质证明，求出FG的长，再利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）证明点F与点C关于直线PD对称，推出当点P与D重合时，△PAF的周长最小，最小值=△ADF的周长．
【详解】（1）证明：如图1中，∵，∴．
在△ABE和△GFE中，
∴．
（2）解：如图1中，∵，∴．
∵，∴，∴．
∴．
∵，∴．
∵，∴．
（3）解：如图2中，∵，
∴，∴．
∵，∴，即．
∵，，
∴，∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴点F与点C关于直线PD对称，
∴当点P与D重合时，△PAF的周长最小，最小值为的周长为：
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．