12.3.1 角的平分线的性质 同步讲练（含答案）
文档属性
| 名称 | 12.3.1 角的平分线的性质 同步讲练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-18 19:03:54 | ||
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文档简介
12.3角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
【知识重点】
知识点1 角的平分线的作法
1. 角的平分线的作法
(1)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线.
(2)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线.
(3)尺规作图法：保留作图痕迹，并指出结论.
2. 尺规作图步骤与图示
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径
画弧，交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M，N为圆心， 大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC. 射线OC即为所求(如图).
特别解读
1. “大于MN的长为半径画弧”是因为若以小于MN的长为半径，则画出的两弧不能相交；
2.“画射线OC” 不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段.
知识点2 角的平分线的性质
1. 性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的平分线的性质的两个必要条件：
(1)点在角平分线上；
(2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可.
2. 几何语言 如图，
∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，
∴ PD＝PE.
特别提醒
●角的平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线) 得到一个结论(线段相等).
●利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.
知识点3 证明几何命题的一般步骤
1. 证明一个几何命题的一般步骤
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
2. 推理证明中常见的分析方法
(1)综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论.
(2)分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合.
(3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证.
特别提醒
●证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须“步步有据”.
●证明几何命题所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性. 在画图时，要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形， 再分别进行证明.
【经典例题】
【例1】如图，已知：∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB.
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可.
【例2】如图，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM＝PN.
解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证线段相等.
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E. 若AB＝8 cm，求△DEB的周长.
解题秘方：运用角的平分线的性质及全等三角形的性质，将△ DEB的周长转化为线段AB的长.
【例4】如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，求DE的长.
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解.
【例5】求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等.
解题秘方：紧扣证明几何命题的一般步骤进行解答.
【同步练习】
一、选择题
1．如图是利用尺规作∠AOB的平分线OC. 在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( )
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
第1题图 第3题图 第4题图
2．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB.①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为( )
A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③
3．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D. 若PD＝2，则点P到边OA的距离是( )
A. 1 B. 2 C. D. 4
4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是 ( )
A．PM＞PN B．PM＝PN C．PM＜PN D．无法确定
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，已知在四边形ABCD中， ∠BCD＝90 °，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4， 则四边形ABCD的面积是( )
A. 24 B. 30 C. 36 D. 42
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
8．【2021·青海】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于 ( )
A．10 B．7 C．5 D．4
第8题图 第9题图 第10题图
10．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
11．如图，在△ABC中，∠C＝90 °，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：
① CD＝ED；② AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④ DA平分∠CDE.
其中正确的结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第11题图 第13题图 第14题图
二、填空题
12．“全等三角形对应边上的中线相等”这个命题的已知是________________，结论是___________________.
13．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是(0，－3)，AB的长是10，则△ABD的面积为 .
14．【2021·长沙】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为________．
15．如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE＝2 cm，则AB与CD之间的距离是___cm.
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ABD＝∠CBD.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 .
17．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC，若∠PCB＝75°，则∠BAP＝ .
第15题图 第16题图 第17题图
三、解答题
18．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上，且PM＝PN.
(1)求证：BM＝CN；
(2)写出线段AM，AN与AC之间的数量关系：____________，并说明理由．
19．如图，已知∠MON，点A，C在射线OM上，请按要求完成下列作图(保留画图痕迹)及证明．
(1)在射线ON上分别截取OD＝OA，OE＝OC，连接AE，DC交于点P，作射线OP；
(2)求证：OP平分∠MON.
20．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， 且DB＝DC. 求证：BE＝CF.
21．求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半.
22．【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB＝DC.
① ② ③
【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠B＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC；
【应用】如图③，在四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC，DE⊥AB，且BE＝α，则AB－AC＝______(用含α的式子表示)．
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图，已知：∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB.
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可.
解：作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F；(2)分别以点E，F 为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；(3)画射线OC；(4)同理，作∠AOC的平分线OM. ∠AOM 即为所求作的角(如图).
【例2】如图，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM＝PN.
解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证线段相等.
证明：∵OD平分∠EOF，∴∠BOD＝∠AOD.
在△BOD和△AOD中，
∴△BOD≌△AOD(SAS).
∴∠BDO＝∠ADO，即DO平分∠BDA.
又∵ P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴ PM＝PN.
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E. 若AB＝8 cm，求△DEB的周长.
解题秘方：运用角的平分线的性质及全等三角形的性质，将△ DEB的周长转化为线段AB的长.
解：在△ABC中，∠C＝90°，∴ DC⊥AC.
又∵ DE⊥AB，AD平分∠CAB，∴ DC＝DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴ Rt△ACD≌ Rt△AED(HL). ∴ AC＝AE.
∵ AC＝BC，∴ AE＝BC.
∴△DEB的周长＝DE＋DB＋EB＝DC＋DB＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB＝8 cm.
【例4】如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，求DE的长.
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解.
解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图12.3-6.
∵ BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴ DE＝DF.
又∵ S△ABC＝S△ABD＋S△BDC＝×18×DE＋×12×DF＝90(cm2)，
∴ DE＝6 cm，即DE的长为6 cm.
【例5】求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等.
解题秘方：紧扣证明几何命题的一般步骤进行解答.
解： 已知：如图，在△ABC和△A ′B ′C′中，AD，A′D′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线，且∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AD＝A′D′. 求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵ AD，A′D′分别平分∠BAC，∠B′A′C′，
∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠B′A′C′. ∵∠BAC＝∠B′A′C′，
∴∠1＝∠2. 在△ABD和△A′B′D′中，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS). ∴ AB＝A′B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
【同步练习】
一、选择题
1．如图是利用尺规作∠AOB的平分线OC. 在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( A )
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
第1题图 第3题图 第4题图
2．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB.①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为( A )
A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③
3．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D. 若PD＝2，则点P到边OA的距离是( B )
A. 1 B. 2 C. D. 4
4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是 ( B )
A．PM＞PN B．PM＝PN C．PM＜PN D．无法确定
6．如图，已知在四边形ABCD中， ∠BCD＝90 °，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4， 则四边形ABCD的面积是( B )
A. 24 B. 30 C. 36 D. 42
第5题图 第6题图 第7题图
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( A )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
8．【2021·青海】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( B )
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于 ( C )
A．10 B．7 C．5 D．4
第8题图 第9题图 第10题图
10．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( D )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
11．如图，在△ABC中，∠C＝90 °，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：
① CD＝ED；② AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④ DA平分∠CDE.
其中正确的结论的个数是( D )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第11题图 第13题图 第14题图
二、填空题
12．“全等三角形对应边上的中线相等”这个命题的已知是________________，结论是___________________.
【答案】两个三角形全等 对应边上的中线相等
13．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是(0，－3)，AB的长是10，则△ABD的面积为 .
【答案】15
14．【2021·长沙】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为________．
【答案】2.4
15．如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE＝2 cm，则AB与CD之间的距离是___cm.
【答案】4
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ABD＝∠CBD.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 .
【答案】4
17．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC，若∠PCB＝75°，则∠BAP＝ .
【答案】105°
第15题图 第16题图 第17题图
三、解答题
18．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上，且PM＝PN.
(1)求证：BM＝CN；
证明：∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB＝PC，∠PBM＝∠PCN＝90°.
在Rt△PBM和Rt△PCN中，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)．
∴BM＝CN.
(2)写出线段AM，AN与AC之间的数量关系：____________，并说明理由．
解：AM＋AN＝2AC 理由如下：
在Rt△PAB和Rt△PAC中，
∴Rt△PAB≌Rt△PAC(HL)．∴AB＝AC.
又∵BM＝CN，
∴AM＋AN＝(AB＋MB)＋(AC－CN)＝AB＋AC＝2AC.
19．如图，已知∠MON，点A，C在射线OM上，请按要求完成下列作图(保留画图痕迹)及证明．
(1)在射线ON上分别截取OD＝OA，OE＝OC，连接AE，DC交于点P，作射线OP；
(2)求证：OP平分∠MON.
解：(1)如图所示．
(2)证明：在△DOC和△AOE中，
∴△DOC≌△AOE(SAS)．∴∠OCD＝∠OEA.
∵OD＝OA，OE＝OC，
∴OE－OD＝OC－OA，即DE＝AC.
在△APC和△DPE中，
∴△APC≌△DPE(AAS)．∴CP＝EP.
在△POC和△POE中，
∴△POC≌△POE(SSS)．
∴∠COP＝∠EOP，即OP平分∠MON.
20．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， 且DB＝DC. 求证：BE＝CF.
证明：∵DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴BE＝CF.
21．求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半.
已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点．
求证：AD＜.
证明：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BED和△CAD中，
∴△BED≌△CAD(SAS)．
∴BE＝AC.
在△ABE中，AE＜AB＋BE，
∵AE＝AD＋DE＝2AD，∴2AD＜AB＋BE，
∴2AD＜AB＋AC，即AD＜.
即三角形一边上的中线小于其他两边和的一半．
22．【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB＝DC.
① ② ③
【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠B＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC；
【应用】如图③，在四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC，DE⊥AB，且BE＝α，则AB－AC＝______(用含α的式子表示)．
【答案】2α
解：【探究】证明：如图②，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，则∠F＝∠DEB＝90°.
∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF.
∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD. 在△DEB和△DFC中，
∴△DEB≌△DFC(AAS)．∴DB＝DC.
【应用】提示：如图③，连接AD，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F.
第1课时 角的平分线的性质
【知识重点】
知识点1 角的平分线的作法
1. 角的平分线的作法
(1)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线.
(2)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线.
(3)尺规作图法：保留作图痕迹，并指出结论.
2. 尺规作图步骤与图示
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径
画弧，交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M，N为圆心， 大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC. 射线OC即为所求(如图).
特别解读
1. “大于MN的长为半径画弧”是因为若以小于MN的长为半径，则画出的两弧不能相交；
2.“画射线OC” 不能叙述为“连接OC”，因为角平分线是射线而不是线段.
知识点2 角的平分线的性质
1. 性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的平分线的性质的两个必要条件：
(1)点在角平分线上；
(2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可.
2. 几何语言 如图，
∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，
∴ PD＝PE.
特别提醒
●角的平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线) 得到一个结论(线段相等).
●利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.
知识点3 证明几何命题的一般步骤
1. 证明一个几何命题的一般步骤
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
2. 推理证明中常见的分析方法
(1)综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论.
(2)分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合.
(3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证.
特别提醒
●证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须“步步有据”.
●证明几何命题所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性. 在画图时，要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形， 再分别进行证明.
【经典例题】
【例1】如图，已知：∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB.
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可.
【例2】如图，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM＝PN.
解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证线段相等.
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E. 若AB＝8 cm，求△DEB的周长.
解题秘方：运用角的平分线的性质及全等三角形的性质，将△ DEB的周长转化为线段AB的长.
【例4】如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，求DE的长.
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解.
【例5】求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等.
解题秘方：紧扣证明几何命题的一般步骤进行解答.
【同步练习】
一、选择题
1．如图是利用尺规作∠AOB的平分线OC. 在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( )
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
第1题图 第3题图 第4题图
2．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB.①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为( )
A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③
3．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D. 若PD＝2，则点P到边OA的距离是( )
A. 1 B. 2 C. D. 4
4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是 ( )
A．PM＞PN B．PM＝PN C．PM＜PN D．无法确定
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，已知在四边形ABCD中， ∠BCD＝90 °，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4， 则四边形ABCD的面积是( )
A. 24 B. 30 C. 36 D. 42
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
8．【2021·青海】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于 ( )
A．10 B．7 C．5 D．4
第8题图 第9题图 第10题图
10．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
11．如图，在△ABC中，∠C＝90 °，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：
① CD＝ED；② AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④ DA平分∠CDE.
其中正确的结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第11题图 第13题图 第14题图
二、填空题
12．“全等三角形对应边上的中线相等”这个命题的已知是________________，结论是___________________.
13．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是(0，－3)，AB的长是10，则△ABD的面积为 .
14．【2021·长沙】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为________．
15．如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE＝2 cm，则AB与CD之间的距离是___cm.
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ABD＝∠CBD.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 .
17．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC，若∠PCB＝75°，则∠BAP＝ .
第15题图 第16题图 第17题图
三、解答题
18．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上，且PM＝PN.
(1)求证：BM＝CN；
(2)写出线段AM，AN与AC之间的数量关系：____________，并说明理由．
19．如图，已知∠MON，点A，C在射线OM上，请按要求完成下列作图(保留画图痕迹)及证明．
(1)在射线ON上分别截取OD＝OA，OE＝OC，连接AE，DC交于点P，作射线OP；
(2)求证：OP平分∠MON.
20．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， 且DB＝DC. 求证：BE＝CF.
21．求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半.
22．【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB＝DC.
① ② ③
【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠B＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC；
【应用】如图③，在四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC，DE⊥AB，且BE＝α，则AB－AC＝______(用含α的式子表示)．
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图，已知：∠AOB，求作：∠AOM＝∠AOB.
解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可.
解：作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F；(2)分别以点E，F 为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；(3)画射线OC；(4)同理，作∠AOC的平分线OM. ∠AOM 即为所求作的角(如图).
【例2】如图，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA＝OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM＝PN.
解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证线段相等.
证明：∵OD平分∠EOF，∴∠BOD＝∠AOD.
在△BOD和△AOD中，
∴△BOD≌△AOD(SAS).
∴∠BDO＝∠ADO，即DO平分∠BDA.
又∵ P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD，∴ PM＝PN.
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E. 若AB＝8 cm，求△DEB的周长.
解题秘方：运用角的平分线的性质及全等三角形的性质，将△ DEB的周长转化为线段AB的长.
解：在△ABC中，∠C＝90°，∴ DC⊥AC.
又∵ DE⊥AB，AD平分∠CAB，∴ DC＝DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴ Rt△ACD≌ Rt△AED(HL). ∴ AC＝AE.
∵ AC＝BC，∴ AE＝BC.
∴△DEB的周长＝DE＋DB＋EB＝DC＋DB＋EB＝BC＋EB＝AE＋EB＝AB＝8 cm.
【例4】如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，求DE的长.
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解.
解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图12.3-6.
∵ BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴ DE＝DF.
又∵ S△ABC＝S△ABD＋S△BDC＝×18×DE＋×12×DF＝90(cm2)，
∴ DE＝6 cm，即DE的长为6 cm.
【例5】求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等.
解题秘方：紧扣证明几何命题的一般步骤进行解答.
解： 已知：如图，在△ABC和△A ′B ′C′中，AD，A′D′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线，且∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AD＝A′D′. 求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵ AD，A′D′分别平分∠BAC，∠B′A′C′，
∴∠1＝∠BAC，∠2＝∠B′A′C′. ∵∠BAC＝∠B′A′C′，
∴∠1＝∠2. 在△ABD和△A′B′D′中，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS). ∴ AB＝A′B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
【同步练习】
一、选择题
1．如图是利用尺规作∠AOB的平分线OC. 在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( A )
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
第1题图 第3题图 第4题图
2．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB.①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为( A )
A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③
3．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D. 若PD＝2，则点P到边OA的距离是( B )
A. 1 B. 2 C. D. 4
4．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是 ( B )
A．PM＞PN B．PM＝PN C．PM＜PN D．无法确定
6．如图，已知在四边形ABCD中， ∠BCD＝90 °，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4， 则四边形ABCD的面积是( B )
A. 24 B. 30 C. 36 D. 42
第5题图 第6题图 第7题图
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，则△DBE的周长是( A )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
8．【2021·青海】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( B )
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于 ( C )
A．10 B．7 C．5 D．4
第8题图 第9题图 第10题图
10．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( D )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
11．如图，在△ABC中，∠C＝90 °，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：
① CD＝ED；② AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④ DA平分∠CDE.
其中正确的结论的个数是( D )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第11题图 第13题图 第14题图
二、填空题
12．“全等三角形对应边上的中线相等”这个命题的已知是________________，结论是___________________.
【答案】两个三角形全等 对应边上的中线相等
13．如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，已知点D的坐标是(0，－3)，AB的长是10，则△ABD的面积为 .
【答案】15
14．【2021·长沙】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为________．
【答案】2.4
15．如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，PE⊥AC于点E，且PE＝2 cm，则AB与CD之间的距离是___cm.
【答案】4
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ABD＝∠CBD.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 .
【答案】4
17．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC，若∠PCB＝75°，则∠BAP＝ .
【答案】105°
第15题图 第16题图 第17题图
三、解答题
18．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上，且PM＝PN.
(1)求证：BM＝CN；
证明：∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB＝PC，∠PBM＝∠PCN＝90°.
在Rt△PBM和Rt△PCN中，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)．
∴BM＝CN.
(2)写出线段AM，AN与AC之间的数量关系：____________，并说明理由．
解：AM＋AN＝2AC 理由如下：
在Rt△PAB和Rt△PAC中，
∴Rt△PAB≌Rt△PAC(HL)．∴AB＝AC.
又∵BM＝CN，
∴AM＋AN＝(AB＋MB)＋(AC－CN)＝AB＋AC＝2AC.
19．如图，已知∠MON，点A，C在射线OM上，请按要求完成下列作图(保留画图痕迹)及证明．
(1)在射线ON上分别截取OD＝OA，OE＝OC，连接AE，DC交于点P，作射线OP；
(2)求证：OP平分∠MON.
解：(1)如图所示．
(2)证明：在△DOC和△AOE中，
∴△DOC≌△AOE(SAS)．∴∠OCD＝∠OEA.
∵OD＝OA，OE＝OC，
∴OE－OD＝OC－OA，即DE＝AC.
在△APC和△DPE中，
∴△APC≌△DPE(AAS)．∴CP＝EP.
在△POC和△POE中，
∴△POC≌△POE(SSS)．
∴∠COP＝∠EOP，即OP平分∠MON.
20．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， 且DB＝DC. 求证：BE＝CF.
证明：∵DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴BE＝CF.
21．求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半.
已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点．
求证：AD＜.
证明：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BED和△CAD中，
∴△BED≌△CAD(SAS)．
∴BE＝AC.
在△ABE中，AE＜AB＋BE，
∵AE＝AD＋DE＝2AD，∴2AD＜AB＋BE，
∴2AD＜AB＋AC，即AD＜.
即三角形一边上的中线小于其他两边和的一半．
22．【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB＝DC.
① ② ③
【探究】如图②，AD平分∠BAC，∠B＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证：DB＝DC；
【应用】如图③，在四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC，DE⊥AB，且BE＝α，则AB－AC＝______(用含α的式子表示)．
【答案】2α
解：【探究】证明：如图②，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，则∠F＝∠DEB＝90°.
∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF.
∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD. 在△DEB和△DFC中，
∴△DEB≌△DFC(AAS)．∴DB＝DC.
【应用】提示：如图③，连接AD，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F.