12.3.2 角的平分线的判定 同步讲练（含答案）
文档属性
| 名称 | 12.3.2 角的平分线的判定 同步讲练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-18 19:05:18 | ||
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文档简介
12.3角的平分线的性质
第2课时 角的平分线的判定
【知识重点】
知识点1 角的平分线的判定
1. 判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
2. 角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论( 角平分线).
3. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据， 它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
2. 几何语言 如图，
∵ 点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为D，E，
且PD＝PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系
(1)如图，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；
(2)点在角的平分线上(角的内部的)
点到角两边的距离相等.
知识点2 三角形的角平分线（拓展点）
1. 性质定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心.
2. 几何语言 如图，在△ABC中，AD，BM，CN 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，AD，BM，CN交于一点O，且点O到三边BC，AB， AC的距离(OE，OG，OF的长)相等，即OE＝OG＝OF.
特别解读
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
【经典例题】
【例1】如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
解题秘方：利用角的平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.
【例2】如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
解题秘方：紧扣“到CA，CN的距离相等的点在∠ACN的平分线上”进行证明.
【例3】如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20. 过O作OD⊥BC 于点D. 且OD＝3, 求△ABC的面积.
解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，关键是内心到三边的距离相等.
【同步练习】
一、选择题
1．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是 ( )
A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB平分线的交点 D．以上均不对
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，DA⊥AC，DE⊥EC，若AD＝DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是( )
A．一定相等 B．当BD＝CD时相等 C．一定不相等 D．当DE＝DF时相等
5．如图，l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等．这个加油站的位置共有 ( )
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
7．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.能判定OC是∠AOB的平分线的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝2 cm.若△ABC的周长是26 cm，则△ABC的面积为( )
A．20 cm2 B．24 cm2 C．26 cm2 D．52 cm2
第8题图 第9题图 第10题图
9．【唐山市第十二中学校考期末】如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝66°，则∠BOC的度数为( )
A．120° B．130° C．123° D．125°
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝3，AB＝4，AC＝5，那么IH的值为( )
A．1 B． C．2 D．
11．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是30，40，50，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．角的内部到角的两边的________相等的点在角的__________上．因此，判定角平分线，需要满足两个条件：“________”和“_______”；其一般思路是“作垂线，证相等”．
13．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到______________相等．
14．如图，点P为△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.
15．如图，PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，PM＝2，当PN＝___时，点P在∠BAC的平分线上．
16．如图，点O在一块直角三角尺ABC上(其中∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝______°.
第16题图 第17题图
17．如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝_________.
三、解答题
18．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
19．如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河道AB与铁路分别交于点A处和点B处．若在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置．
20．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
21．【关注社会生活】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请用尺规作图找出符合实际要求的点．
22．如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
23．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE.
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
解题秘方：利用角的平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.
证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴ DE＝DF.
又∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴ AD平分∠BAC.
【例2】如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
解题秘方：紧扣“到CA，CN的距离相等的点在∠ACN的平分线上”进行证明.
证明： 如图， 过点D作DE⊥BM于点E，
DF⊥BN于点F，DG⊥AC于点G.
∵ BD平分∠ABC，∴ DE＝DF.
∵ AD平分∠MAC，
∴ DE＝DG. ∴ DG＝DF，
∴ CD平分∠ACN.
【例3】如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20. 过O作OD⊥BC 于点D. 且OD＝3, 求△ABC的面积.
解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，关键是内心到三边的距离相等.
解： 如图， 过点O作OE⊥AB于点E，
OF⊥AC于点F，连接OA.
∵点O是∠ABC的平分线与∠ACB的平分线
的交点，∴ OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD＝3.
∴ S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋ AC·OF＝×3×( AB＋BC＋AC)＝×3×20＝30.
【同步练习】
一、选择题
1．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是 ( C )
A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB平分线的交点 D．以上均不对
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，DA⊥AC，DE⊥EC，若AD＝DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为( A )
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是( D )
A．一定相等 B．当BD＝CD时相等 C．一定不相等 D．当DE＝DF时相等
5．如图，l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等．这个加油站的位置共有 ( D )
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠1与∠2的大小关系是( B )
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
7．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.能判定OC是∠AOB的平分线的有 ( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝2 cm.若△ABC的周长是26 cm，则△ABC的面积为( C )
A．20 cm2 B．24 cm2 C．26 cm2 D．52 cm2
第8题图 第9题图 第10题图
9．【唐山市第十二中学校考期末】如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝66°，则∠BOC的度数为( C )
A．120° B．130° C．123° D．125°
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝3，AB＝4，AC＝5，那么IH的值为( A )
A．1 B． C．2 D．
11．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是30，40，50，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( D )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．角的内部到角的两边的________相等的点在角的__________上．因此，判定角平分线，需要满足两个条件：“________”和“_______”；其一般思路是“作垂线，证相等”．
【答案】距离 平分线 垂直 相等
13．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到______________相等．
【答案】三边的距离
14．如图，点P为△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.
【答案】＝ ＝
15．如图，PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，PM＝2，当PN＝___时，点P在∠BAC的平分线上．
【答案】2
16．如图，点O在一块直角三角尺ABC上(其中∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝______°.
【答案】15
第16题图 第17题图
17．如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝_________.
【答案】55°
三、解答题
18．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：如图，过点F分别作AE，BC，AD的垂线FP，FM，FN，P，M，N分别为垂足．
∵CF是∠BCE的平分线，∴FP＝FM.
同理FM＝FN.∴FP＝FN.
又∵FP⊥AE，FN⊥AD，∴点F在∠DAE的平分线上．
19．如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河道AB与铁路分别交于点A处和点B处．若在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置．
解：图略．提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置．
20．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
证明：(1)∵∠1＝∠2，
OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.
(2)在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(AAS)．∴OD＝OE.
又∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.
21．【关注社会生活】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请用尺规作图找出符合实际要求的点．
解：如图，P1为三角形两个内角平分线的交点，P2，P3，P4分别为三角形三个外角平分线的交点，所以P1，P2，P3，P4都可以为货物中转站的位置．
22．如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
证明：(1)过点O作OE⊥AC于点E.∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，
∴OB＝OE.
∵O为BD的中点，
∴OB＝OD.∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，∴CO平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)．
∴∠AOB＝∠AOE＝∠BOE.
同理，∠COD＝∠COE＝∠DOE.
∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝∠BOE＋∠DOE＝×180°＝90°.∴OA⊥OC.
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.
∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.
23．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE.
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
解：(1)∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°－50°＝40°.
∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°－100°－40°＝40°.
(2)证明：过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG.
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，∴EG＝EH.
∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC.
(3)∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG＋×CD×EH＝15.
即×4×EG＋×8×EH＝15.
又∵EG＝EH＝EF，∴EF＝EG＝EH＝.
∴S△ABE＝×AB×EF＝×7×＝.
第2课时 角的平分线的判定
【知识重点】
知识点1 角的平分线的判定
1. 判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.
2. 角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论( 角平分线).
3. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据， 它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
2. 几何语言 如图，
∵ 点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为D，E，
且PD＝PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系
(1)如图，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB都具备；
(2)点在角的平分线上(角的内部的)
点到角两边的距离相等.
知识点2 三角形的角平分线（拓展点）
1. 性质定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心.
2. 几何语言 如图，在△ABC中，AD，BM，CN 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线，AD，BM，CN交于一点O，且点O到三边BC，AB， AC的距离(OE，OG，OF的长)相等，即OE＝OG＝OF.
特别解读
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
【经典例题】
【例1】如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
解题秘方：利用角的平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.
【例2】如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
解题秘方：紧扣“到CA，CN的距离相等的点在∠ACN的平分线上”进行证明.
【例3】如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20. 过O作OD⊥BC 于点D. 且OD＝3, 求△ABC的面积.
解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，关键是内心到三边的距离相等.
【同步练习】
一、选择题
1．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是 ( )
A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB平分线的交点 D．以上均不对
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，DA⊥AC，DE⊥EC，若AD＝DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是( )
A．一定相等 B．当BD＝CD时相等 C．一定不相等 D．当DE＝DF时相等
5．如图，l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等．这个加油站的位置共有 ( )
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
7．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.能判定OC是∠AOB的平分线的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝2 cm.若△ABC的周长是26 cm，则△ABC的面积为( )
A．20 cm2 B．24 cm2 C．26 cm2 D．52 cm2
第8题图 第9题图 第10题图
9．【唐山市第十二中学校考期末】如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝66°，则∠BOC的度数为( )
A．120° B．130° C．123° D．125°
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝3，AB＝4，AC＝5，那么IH的值为( )
A．1 B． C．2 D．
11．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是30，40，50，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．角的内部到角的两边的________相等的点在角的__________上．因此，判定角平分线，需要满足两个条件：“________”和“_______”；其一般思路是“作垂线，证相等”．
13．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到______________相等．
14．如图，点P为△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.
15．如图，PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，PM＝2，当PN＝___时，点P在∠BAC的平分线上．
16．如图，点O在一块直角三角尺ABC上(其中∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝______°.
第16题图 第17题图
17．如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝_________.
三、解答题
18．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
19．如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河道AB与铁路分别交于点A处和点B处．若在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置．
20．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
21．【关注社会生活】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请用尺规作图找出符合实际要求的点．
22．如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
23．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE.
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
解题秘方：利用角的平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.
证明：∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴ DE＝DF.
又∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴ AD平分∠BAC.
【例2】如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
解题秘方：紧扣“到CA，CN的距离相等的点在∠ACN的平分线上”进行证明.
证明： 如图， 过点D作DE⊥BM于点E，
DF⊥BN于点F，DG⊥AC于点G.
∵ BD平分∠ABC，∴ DE＝DF.
∵ AD平分∠MAC，
∴ DE＝DG. ∴ DG＝DF，
∴ CD平分∠ACN.
【例3】如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20. 过O作OD⊥BC 于点D. 且OD＝3, 求△ABC的面积.
解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，关键是内心到三边的距离相等.
解： 如图， 过点O作OE⊥AB于点E，
OF⊥AC于点F，连接OA.
∵点O是∠ABC的平分线与∠ACB的平分线
的交点，∴ OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD＝3.
∴ S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋ AC·OF＝×3×( AB＋BC＋AC)＝×3×20＝30.
【同步练习】
一、选择题
1．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
2．如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是 ( C )
A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB平分线的交点 D．以上均不对
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，DA⊥AC，DE⊥EC，若AD＝DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为( A )
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是( D )
A．一定相等 B．当BD＝CD时相等 C．一定不相等 D．当DE＝DF时相等
5．如图，l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等．这个加油站的位置共有 ( D )
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠1与∠2的大小关系是( B )
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定
7．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.能判定OC是∠AOB的平分线的有 ( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知O是△ABC的两条角平分线BO，CO的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝2 cm.若△ABC的周长是26 cm，则△ABC的面积为( C )
A．20 cm2 B．24 cm2 C．26 cm2 D．52 cm2
第8题图 第9题图 第10题图
9．【唐山市第十二中学校考期末】如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝66°，则∠BOC的度数为( C )
A．120° B．130° C．123° D．125°
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝3，AB＝4，AC＝5，那么IH的值为( A )
A．1 B． C．2 D．
11．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是30，40，50，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( D )
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
第11题图 第14题图 第15题图
二、填空题
12．角的内部到角的两边的________相等的点在角的__________上．因此，判定角平分线，需要满足两个条件：“________”和“_______”；其一般思路是“作垂线，证相等”．
【答案】距离 平分线 垂直 相等
13．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到______________相等．
【答案】三边的距离
14．如图，点P为△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.
【答案】＝ ＝
15．如图，PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，PM＝2，当PN＝___时，点P在∠BAC的平分线上．
【答案】2
16．如图，点O在一块直角三角尺ABC上(其中∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝______°.
【答案】15
第16题图 第17题图
17．如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝_________.
【答案】55°
三、解答题
18．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：如图，过点F分别作AE，BC，AD的垂线FP，FM，FN，P，M，N分别为垂足．
∵CF是∠BCE的平分线，∴FP＝FM.
同理FM＝FN.∴FP＝FN.
又∵FP⊥AE，FN⊥AD，∴点F在∠DAE的平分线上．
19．如图，铁路OA和铁路OB交于点O处，河道AB与铁路分别交于点A处和点B处．若在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出点M的位置．
解：图略．提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置．
20．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
证明：(1)∵∠1＝∠2，
OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.
(2)在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(AAS)．∴OD＝OE.
又∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.
21．【关注社会生活】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请用尺规作图找出符合实际要求的点．
解：如图，P1为三角形两个内角平分线的交点，P2，P3，P4分别为三角形三个外角平分线的交点，所以P1，P2，P3，P4都可以为货物中转站的位置．
22．如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
(2)OA⊥OC；
(3)AB＋CD＝AC.
证明：(1)过点O作OE⊥AC于点E.∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，
∴OB＝OE.
∵O为BD的中点，
∴OB＝OD.∴OE＝OD.
又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，∴CO平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)．
∴∠AOB＝∠AOE＝∠BOE.
同理，∠COD＝∠COE＝∠DOE.
∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝∠BOE＋∠DOE＝×180°＝90°.∴OA⊥OC.
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.
∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.
23．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE.
(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
解：(1)∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°－50°＝40°.
∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°－100°－40°＝40°.
(2)证明：过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG.
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，∴EG＝EH.
∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC.
(3)∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG＋×CD×EH＝15.
即×4×EG＋×8×EH＝15.
又∵EG＝EH＝EF，∴EF＝EG＝EH＝.
∴S△ABE＝×AB×EF＝×7×＝.