2023-2024学年高一数学北师大版必修第一册第二章2.2函数的表示法 同步练习（含解析）

2.2　函数的表示法
课后训练
一、A组
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式为(　　).
A.f(x)=(x-a)2(b-x)
B.f(x)=(x-a)2(x+b)
C.f(x)=-(x-a)2(x+b)
D.f(x)=(x-a)2(x-b)
2.(多选题)已知f(2x+1)=4x2,则下列结论正确的是(　　).
A.f(3)=36 B.f(-3)=16
C.f(x)=16x2+16x+4 D.f(x)=x2-2x+1
3.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为(　　).
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
(第3题)
A.3 B.2 C.1 D.0
4.已知函数g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),则f(0)等于(　　).
A.-3 B.- C. D.3
5.设函数f(x)=则f的值为(　　).
A. B.4 C. D.18
6.已知函数f(x)对任意x∈R,且x≠0均有f(x)+2f()=3x,则f(1 024)=　　　　　.
7.已知函数f(x-1)=x2-4x,求函数f(x),f(2x+1)的解析式.
8.(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x-1,求f(x);
(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).
二、B组
1.数学家狄利克雷曾提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数”.这个定义较清楚地说明了函数的内涵:只要有一个法则,使得x在取值范围中的每一个值,都有一个确定的y和它对应就行了,不管这个对应法则是公式、图象、表格,还是其他形式.已知函数f(x)由下表给出,则f的值为(　　).
x x≤1 1f(x) 1 2 3
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的解析式是(　　).
A.f(x)=x2+6x B.f(x)=x2+8x+7
C.f(x)=x2+2x-3 D.f(x)=x2+6x-10
3.如图,☉O的半径为2,点A,B,C,D为☉O的四等分点,在☉O内有两条半圆弧,一质点M自点A开始沿弧按A-B-C-O-A-D-C的顺序做匀速运动,则其在水平方向(向右为正)的速度v=v(t)的图象大致为(　　).
4.(多选题)设f(x)=,则下列结论错误的是(　　).
A.f(-x)=-f(x) B.f()=-f(x)
C.f(-)=f(x) D.f(-x)=f(x)
5.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,则y关于x的函数解析式为　　　　　　　.
6.已知函数F(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且F=16,F(1)=8,则F(x)的解析式为　　　　　　　　　.
7.某客运公司确定车票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是每千米0.5元;如果超过100 km,超过部分按每千米0.4元定价,则客运车票价格y(元)与行程数x(km)之间的函数关系式是　　　　　　　　　　.
8.已知f(x)对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.
(1)求f(0)与f(1)的值;
(2)求证:f=-f(x);
(3)若f(2)=p,f(3)=q(p,q均为常数),求f(36).
1.解析:由题中图象知,当x=b时,f(x)=0,故排除B,C;又当x>b时,f(x)<0,故排除D.
答案:A
2.解析:当2x+1=3时,x=1,因此f(3)=4×12=4;当2x+1=-3时,x=-2,因此f(-3)=4×(-2)2=16;
令2x+1=t,则x=,因此有f(t)=t2-2t+1,即f(x)=x2-2x+1.
答案:BD
3.解析:由题中y=g(x)的图象与y=f(x)的对应关系表可知g(2)=1,f(1)=2,所以f(g(2))=f(1)=2.
答案:B
4.解析:令g(x)=1-2x=0,得x=,
则f(0)==3.故选D.
答案:D
5.解析:∵f(2)=22+2-2=4,
∴,
∴f=f=1-.
答案:A
6.解析:分别令x=1和x=1 024,得
解得f(1 024)=-1 022.
答案:-1 022
7.解:已知f(x-1)=x2-4x,令x-1=t,则x=t+1,所以f(t)=(t+1)2-4(t+1)=t2-2t-3,即f(x)=x2-2x-3.
因此f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)-3=4x2-4.
8.解:(1)∵f(x)是一次函数,
∴可设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
又f(f(x))=4x-1,∴a2x+ab+b=4x-1.
则解得
∴f(x)=2x-,或f(x)=-2x+1.
(2)∵f(x)是二次函数,
∴可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1,知c=1.
又f(x+1)-f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x.
整理得2ax+(a+b)=2x.
∴解得∴f(x)=x2-x+1.
1.解析:因为∈(-∞,1],所以f=1,
则10f=10,所以f10f=f(10).
又因为10∈[2,+∞),所以f(10)=3.
答案:D
2.解析:令x-1=t,则x=t+1,
所以f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t.
所以f(x)=x2+6x.
答案:A
3.解析:因为×π×2×2=π,×π×2×1=π,所以质点M自点A开始沿弧按A-B-C-O-A-D-C的顺序做匀速运动时,走每一段弧所用的时间比为1∶1∶1∶1∶1∶1.又因为在水平方向上向右的速度为正,所以在段速度为负,段速度为正,段速度先正后负,段速度先负后正,段速度为正,段速度为负,所以满足条件的函数图象是B.
答案:B
4.解析:因为f(x)=,
所以f(-x)==f(x),
f()==-f(x),
f(-)==-f(x),
所以AC错误.
答案:AC
5.解析:因为周长为20,腰长为x,所以底边长y=20-2x,又20-2x>0,所以x<10,又三边长必须构成三角形,所以2x>y,即2x>20-2x,所以x>5,故y=20-2x(5答案:y=20-2x(56.解析:由题意设f(x)=k1x(k1≠0),g(x)=(k2≠0,x≠0),则由F=16,F(1)=8,得解得故F(x)=3x+(x≠0).
答案:F(x)=3x+(x≠0)
7.解析:当0≤x≤100时,y=0.5x;当x>100时,y=100×0.5+(x-100)×0.4=10+0.4x.
所以y=
答案:y=
8.(1)解:令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;
令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.
(2)证明:令a=,b=x,得f(1)=f+f(x)=0,即f=-f(x).
(3)解:令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q.
令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.
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