2023-2024学年高一数学北师大版必修第一册第二章2.3函数的单调性和最值 同步练习（含解析）

§3　函数的单调性和最值
课后训练
一、A组
1.(多选题)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于任意x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论正确的是(　　).
A.>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)D.f(x1)≠f(x2)
2.若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(　　).
A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
3.若函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,8]上是单调函数,则实数k的取值范围是(　　).
A.(-∞,40]
B.(40,64)
C.(-∞,40]∪[64,+∞)
D.[64,+∞)
4.函数g(x)=x2-4x+3,x∈(1,4]的值域是(　　).
A.[-1,+∞) B.[0,3]
C.(-1,3] D.[-1,3]
5.已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是　　　　　.
6.如图,在一块锐角三角形空地中,欲建一个内接矩形花园(阴影部分),设该矩形花园的一边长为x m,则当x=　　　　　时,该内接矩形花园的面积最大,最大面积为　　　　　m2.
7.函数y=的单调递增区间是　　　　　　　　　　.
8.已知函数f(x)=(x∈[2,6]).
(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)求函数的最大值和最小值.
9.已知函数f(x)=a-.
(1)若2f(1)=f(2),求a的值;
(2)判断f(x)在区间(-∞,0)上的单调性并用定义证明.
10.已知函数f(x)=-x2+2x-3.
(1)求f(x)在区间[2a-1,2]上的最小值g(a);
(2)求g(a)的最大值.
二、B组
1.(多选题)下列关于函数f(x)=x+|x-1|的说法正确的有(　　).
A.有最小值,且最小值为1
B.没有最小值
C.有最大值,且最大值为10
D.没有最大值
2.函数f(x)=是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是(　　).
A. B.
C. D.
3.函数f(x)=-x+在区间[-2,-]上的最大值是(　　).
A. B.-
C.-2 D.2
4.已知函数f(x)=x2+ax+2(a>0)在区间[0,2]上的最大值为8,则a=　　　　　,函数f(x)在区间[-2,1]上的取值范围为　　　　　.
5.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是　　　　　.
6.已知函数y=f(x)(x>0)满足:f(xy)=f(x)+f(y),当x<1时,f(x)>0,且f=1.
(1)证明:y=f(x)是区间(0,+∞)上的减函数;
(2)解不等式f(x-3)>f-2.
7.已知函数f(x)=.
(1)判断并证明函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;
(2)若x∈[1,m]时,函数f(x)的最大值与最小值的差为,求m的值.
8.已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
9.已知函数f(x)=x2-ax,a∈R.记f(x)在区间[1,2]上的最大值为M,最小值为m.
(1)若M=f(2),求实数a的取值范围;
(2)证明:M-m≥.
1.解析:由函数单调性的定义知,函数f(x)在给定区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;
对于C,若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故C不正确;
对于D,因为f(x)在区间[a,b]上单调,且x1≠x2,
所以f(x1)≠f(x2),故D正确.
答案:ABD
2.解析:因为函数f(x)=ax+1在R上是减函数,所以a<0,所以g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间.
又函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间为(-∞,2],故g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(-∞,2].
答案:B
3.解析:由f(x)=4x2-kx-8=4-8,得函数图象的对称轴为直线x=,又函数f(x)在区间[5,8]上是单调函数,则≤5或≥8,解得k≤40或k≥64.
答案:C
4.解析:g(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=2时,g(x)取得最小值-1;
当x=4时,g(x)取得最大值3,所以函数g(x)的值域为[-1,3].
答案:D
5.解析:依题意得
解得-2≤a<0.
故实数a的取值范围是[-2,0).
答案:[-2,0)
6.解析:设矩形花园的另一边长为y m,且0答案:20　400
7.解析:画出函数y=的图象(草图)如图,观察图象知函数的单调递增区间是.
答案:
8.解:(1)函数f(x)在区间[2,6]上是减函数.
证明:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1由2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=是区间[2,6]上的减函数.
(2)由(1)可知,函数f(x)=(x∈[2,6])在x=2处取得最大值,且最大值是2,在x=6处取得最小值,且最小值是.
9.解:(1)∵2f(1)=f(2),
∴2(a-2)=a-1,∴a=3.
(2)f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,证明如下:
任取x1,x2∈(-∞,0),且x1∵x1∴x1x2>0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)=a-在区间(-∞,0)上是增函数.
10.解:(1)由题意得,f(x)=-(x-1)2-2,f(2)=-3,f(0)=-3,2a-1<2.
所以当2a-1≤0,即a≤时,f(x)最小值=f(2a-1)=-4a2+8a-6.
当0<2a-1<2,即f(x)最小值=f(2)=-3.
所以g(a)=
(2)由(1)知,当a≤时,g(a)=-4a2+8a-6单调递增,所以g(a)≤g()=-3.
当1.解析:f(x)=x+|x-1|=
其图象如图所示:
由图象可知f(x)的最小值为1,没有最大值.
答案:AD
2.解析:由函数f(x)在R上是减函数,
知解得≤a<.
综上可知,实数a的取值范围是[).
答案:A
3.解析:因为函数f(x)=-x+在区间上单调递减,所以当x=-2时,f(x)取得最大值,且最大值为2-.
答案:A
4.解析:由题意知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-,且-<0,故f(x)的最大值为f(2)=6+2a=8,所以a=1,则f(x)=x2+x+2=(x+)2+,其图象的对称轴为直线x=-,又-∈[-2,1],且f(-)=,f(-2)=4,f(1)=4,所以函数f(x)在区间[-2,1]上的取值范围为[,4].
答案:1　[,4]
5.解析:在平面直角坐标系中画出函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.
由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.
答案:6
6.(1)证明:设00,即f(x1)>f(x2),
∴y=f(x)是区间(0,+∞)上的减函数.
(2)解:由函数f(x)的定义域知解得x>3.
又f=1,∴f=f=f+f=1+1=2.
由f(x-3)>f-2,得f(x-3)+2>f,即f(x-3)+f>f,即f>f,由(1)得,解得-1综上所述,所求不等式的解集为(3,4).
7.解:(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
证明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1因为x1,x2∈[0,+∞),且x1所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知f(x)在区间[1,m]上单调递增,
所以f(m)-f(1)=,即,
解得m=2.
8.解:∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.∴原不等式可化为f(3m2-m-2)任取x1,x2∈R,且x10,f(x2-x1)>1.∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.
∴f(x2)>f(x1).故f(x)在R上是增函数.
∴3m2-m-2<2,解得-1故原不等式的解集为.
9.(1)解:函数f(x)=x2-ax的图象开口向上,对称轴为直线x=,∵x∈[1,2],∴M为f(1),f(2)中较大者.
∵f(1)=1-a,f(2)=4-2a,
当1-a≥4-2a,即a≥3时,M=f(1)=1-a;
当1-a≤4-2a,即a≤3时,M=f(2)=4-2a.
∵M=f(2),
∴实数a的取值范围为(-∞,3].
(2)证明:①当>2,即a>4时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,
∴M=f(1)=1-a,m=f(2)=4-2a,
∴M-m=1-a-4+2a=a-3>1>.
②当<1时,即a<2时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,
∴M=f(2)=4-2a,m=f(1)=1-a,
∴M-m=4-2a-1+a=3-a>1>.
③当1≤,即2≤a≤3时,M=f(2)=4-2a,m=f=-a2,
∴M-m=4-2a+a2=(a-4)2,记函数y=4-2a+a2,其在区间[2,3]上单调递减,
∴ymin=,∴M-m≥.
④当≤2,即3≤a≤4时,M=f(1)=1-a,m=f=-a2,∴M-m=1-a+a2=(a-2)2,记函数y=1-a+a2,其在区间[3,4]上单调递增,∴ymin=,∴M-m≥.
综上所述,M-m≥.
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