2023-2024学年高一数学北师大版必修第一册第二章4.1函数的奇偶性 同步练习（含解析）

4.1　函数的奇偶性
课后训练巩固提升
一、A组
1.函数f(x)=(　　).
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
2.函数f(x)=x3+的图象关于(　　).
A.原点对称 B.y轴对称
C.直线y=x对称 D.直线y=-x对称
A.-3 B.-1 C.1 D.3
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且有f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是(　　).
A.f(-1)C.f(3)>f(2) D.f(2)>f(0)
5.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于(　　).
A.-26 B.-18 C.-10 D.10
6.(多选题)若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)图象上的是(　　).
A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a))
C.(-a,-f(-a)) D.(-a,f(-a))
7.已知函数f(x)的定义域为R,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2.若f(x)为奇函数,则f(2)=　　　　　,f(0)=　　　　　;若f(x)为偶函数,则f(2)=　　　　　.
8.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,求f(-2)的值.
二、B组
1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1-x),则当x<0时,f(x)=(　　).
A.-x(x-1) B.-x(x+1)
C.x(x-1) D.x(x+1)
2.(多选题)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=,g(x)=[f(x)],则下列叙述正确的有(　　).
A.g(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.g(x)的值域是{-1,0}
D.g(x)是R上的增函数
3.已知函数f(x)=在区间(a+,-b2+4b)上满足f(-x)+f(x)=0,则g(-)的值为(　　).
A.-2 B.2
C.- D.
4.已知偶函数f(x)满足f(x+2)=xf(x)(x∈R),则f(1)=　　　　　.
5.已知f(x)是定义在区间[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域是　　　　　　　.
6.已知函数y=f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和为　　　　　.
7.已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.
(1)试求f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数的图象,根据图象写出它的单调区间.
1.解析:因为函数f(x)=的定义域为R,且f(-x)==f(x),f(-x)≠-f(x),故f(x)为偶函数,但不是奇函数.
答案:B
2.解析:函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
又f(-x)=(-x)3+=-=-f(x),
所以f(x)是奇函数.故其图象关于原点对称.
答案:A
3.设f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)等于(　　).
3.解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x2-x,
∴f(1)=f(-1)=2×(-1)2-(-1)=2+1=3.
故选D.
答案:D
4.解析:因为f(x)为定义在R上的偶函数,
所以f(-1)=f(1).
又f(3)>f(1),所以f(3)>f(-1).
而B,C,D项中的各式大小关系不确定.
答案:A
5.解析:令g(x)=x5+ax3+bx,则函数g(x)的定义域为R,且g(-x)=-g(x),即g(x)为奇函数.
∵f(-2)=10,f(x)=g(x)-8,
∴f(-2)=g(-2)-8=10,解得g(-2)=18.
∴g(2)=-18.
∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
答案:A
6.解析:∵f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),
∴点(-a,-f(a))和点(-a,f(-a))一定在函数y=f(x)的图象上.
答案:BD
7.解析:当f(x)为奇函数时,f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12,f(0)=0.
当f(x)为偶函数时,f(2)=f(-2)=-12.
答案:12　0　-12
8.解:因为当x>0时,f(x)=x2+,
所以f(2)=22+.
又因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=-.
1.解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x(1+x).
又f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-f(x)=-x(1+x),所以f(x)=x(1+x).
答案:D
2.解析:因为f(x)=,所以f(x)为偶函数,当x2+1≥2,即x≤-1或x≥1时,f(x)∈[0,),g(x)=[f(x)]=0,当x2+1<2,即-1答案:AC
3.解析:由题意知,区间(a+,-b2+4b)关于原点对称,
∴a+-b2+4b=0,且a<0,
∴(b-2)2+=0,
解得b=2,a=-2,
∴g(-)=-f()=-2-a+b=2.
答案:B
4.解析:令x=-1,则f(-1+2)=-f(-1),
即f(1)=-f(-1).
又f(x)为偶函数,
所以f(-1)=f(1),
所以f(1)=-f(1),得f(1)=0.
答案:0
5.解析:由题中图象可知,当x∈(0,2]时,2因为f(x)为奇函数,
所以当x∈[-2,0)时,有-3≤f(x)<-2,
所以函数f(x)的值域为[-3,-2)∪(2,3].
答案:[-3,-2)∪(2,3]
6.解析:由于偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称,所以方程f(x)=0的四个实根之和为0.
答案:0
7.解:(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.
设x<0,则-x>0,又当x>0时,f(x)=x2-2x+3,所以当x<0时,有f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3.
于是有f(x)=
(2)画出函数f(x)的图象,如图.
由图象可知,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间是[-1,0),(0,1].
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