2023-2024学年高一数学北师大版必修第一册第二章4.2简单幂函数的图象和性质 同步练习（含解析）

4.2　简单幂函数的图象和性质
课后训练巩固提升
一、A组
1.下列说法正确的有(　　).
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0);
②幂函数的图象不可能在第四象限;
③n=0时,函数y=xn的图象是一条直线;
④当n>0时,幂函数y=xn是增函数;
⑤当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内函数值y随自变量x的增大而减小.
A.①④ B.④⑤ C.②③ D.②⑤
2.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　).
(第2题)
A.nB.mC.n>m>0
D.m>n>0
3.已知点在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是(　　).
A.奇函数
B.偶函数
C.定义域内的减函数
D.定义域内的增函数
4.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m的值是　　　　　.
5.为了保证信息的安全传输,有一种密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),若“4”通过加密后得到密文“2”,现接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　　　.
6.已知函数f(x)=-xm,且f(4)=-.
(1)求m的值;
(2)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
二、B组
1.已知f(x)=,若0A.f(a)B.fC.f(a)D.f2.幂函数y=xα中α的取值集合C是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C可以为(　　).
A. B.
C. D.
3.若函数f(x)是幂函数,且满足,则f的值为(　　).
A.-2 B.- C.2 D.
4.(多选题)已知函数f(x)=,则下列说法正确的有(　　).
A.若x>1,则f(x)>1
B.若0f()
C.若0D.若05.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表:
x 1
f(x) 1
则函数f(x)的单调递增区间是　　　　　.
6.已知幂函数f(x)=(m3-m+1)的图象与x轴和y轴都无交点.
(1)求f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x+1)>f(x-2).
1.解析:y=的图象不过(0,0)点,所以①错误,排除A;当n=0时,y=xn的图象为直线除去一点,③错误,排除C;当n=2时,y=x2在整个定义域上不具有单调性,④错误,排除B.因此答案选D.
答案:D
2.解析:由题中图象可知,两函数在第一象限内单调递减,故m<0,n<0,且2m>2n,则m>n.
答案:A
3.解析:∵f(x)=(a-1)xb是幂函数,
∴a-1=1,解得a=2.
∵点在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,
即点在幂函数f(x)=xb的图象上,
∴f(2)=2b=,解得b=-1,∴f(x)=.
故函数f(x)是奇函数,在定义域内不是单调函数.
答案:A
4.解析:由题意知,m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.经检验m=1或m=2均符合题意,即m=1或m=2.
答案:1或2
5.解析:由题意得2=4α,解得α=,则y=.
由=3,得x=9.
答案:9
6.解:(1)∵f(4)=-,∴-4m=-,解得m=1.
(2)由(1)知,f(x)=-x,其在区间(0,+∞)上单调递减.
证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1∵00,+1>0.
∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)=-x在区间(0,+∞)上单调递减.
1.解析:因为函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调递增,又0答案:C
2.解析:根据幂函数y=,y=x0,y=,y=x,y=x2,y=x3的图象和解析式可知,当α=-1,,1,3时,相应幂函数的值域与定义域相同.
答案:C
3.解析:设f(x)=xα(α为常数).
∵,∴,解得α=-1.
∴f(x)=.于是f=2.
答案:C
4.解析:f(1)=1且函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f(x)>1,A正确;
当0答案:AC
5.解析:因为f,所以,得α=,所以f(x)=,它的单调递增区间是[0,+∞).
答案:[0,+∞)
6.解:(1)由f(x)是幂函数,得m3-m+1=1,解得m=0或m=±1.
又f(x)的图象与x轴和y轴都无交点,所以m=1,此时f(x)=x-4.
(2)由(1)知,f(x)=x-4.
f(x)=x-4是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,所以要使得f(x+1)>f(x-2),只需|x+1|<|x-2|,解得x<.
又f(x)的定义域为{x|x≠0},所以x≠-1,且x≠2,
综上所述,不等式的解集为{x,且x≠-1}.
1