2023-2024学年高一数学北师大版必修第一册第二章 函数 单元测评（含解析）

第二章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列各组函数为同一个函数的是(　　).
A.f(x)=2,g(x)=
B.f(x)=x-2,g(x)=
C.f(x)=|x|,g(x)=
D.f(x)=,g(x)=
2.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=(　　).
A.2 B.1 C.0 D.-2
3.如图是函数y=f(x)的图象,则f(f(2))的值为(　　).
A.3 B.4 C.5 D.6
4.函数y=的定义域为(　　).
A.[-4,1] B.[-4,0)
C.(0,1] D.[-4,0)∪(0,1]
5.定义在R上的偶函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,将f(x)的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)在下列区间上一定单调递减的是(　　).
A.[3,4] B.[1,2]
C.[2,3] D.[-1,0]
6.已知f(x)=ax2+bx-2为定义在区间[1+a,2]上的偶函数,则函数f(x)在区间[1,2]上(　　).
A.单调递增
B.单调递减
C.先单调递增后单调递减
D.先单调递减后单调递增
7.若函数f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,又f(3)=0,则<0的解集为(　　).
A.(-3,3)
B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
8.定义区间(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,用[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.2]=3,[-2.3]=-3.记{x}=x-[x],设f(x)=[x]·{x},g(x)=x-1,若用d表示不等式f(x)A.1 B.2 C.3 D.4
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(1)=-1,则使不等式-1≤f(x-2)≤1成立的一个充分条件,但不是必要条件的是(　　).
A.[-2,2] B.[]
C.[1,2] D.[1,3]
10.下列说法正确的是(　　).
A.若f(x)的定义域为[-2,2],则f(2x-1)的定义域为[-]
B.函数y=2x+的值域为(-∞,]
C.函数f(x)=x2-2x+4在区间[-2,0]上的值域为[4,12]
D.函数y=的值域为(-∞,2)∪(2,+∞)
11.关于函数f(x)=的结论正确的是(　　).
A.定义域、值域分别是[-1,3],[0,+∞)
B.单调递增区间是(-∞,1]
C.定义域、值域分别是[-1,3],[0,2]
D.单调递增区间是[-1,1]
12.已知函数f(x)=x,g(x)=x-4,则下列结论正确的是(　　).
A.若h(x)=f(x)g(x),则函数h(x)的最小值为4
B.若h(x)=f(x)|g(x)|,则函数h(x)的值域为R
C.若h(x)=|f(x)|-|g(x)|,则函数h(x)有且仅有一个零点
D.若h(x)=|f(x)|-|g(x)|,则|h(x)|≤4恒成立
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数f(2x+1)的定义域为　　　　　.
14.已知函数f(x)=x2-|x|,若f(-m2-1)15.已知函数f(x)=,则当x∈[2,4]时,f(x)的最小值是　　　　　.
16.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则实数a的值为　　　　　,若函数f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(1)设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),求函数g(x)的解析式.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-(1+x),求函数f(x)的解析式.
18.(12分)已知函数f(x)=(a>0,x>0).
(1)求证:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)在区间上的值域是,求实数a的值.
19.(12分)已知幂函数y=f(x)=,其中m∈{x|-220.(12分)已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时,f(x)<0,f(2)=-4.
(1)求f(0),f(1),f(3)的值;
(2)证明函数f(x)在R上是减函数;
(3)解不等式f(x2)+f(2x)<-6.
21.(12分)在①一次函数y=ax+b的图象过A(0,2),B(3,5)两点,②关于x的不等式1问题:已知　　　　　,若对于任意x∈[1,2],都有ax2+2x+b≥2mx+1成立,求实数m的取值范围.
22.(12分)已知命题p:f(x)=是定义域为R的奇函数;命题q:g(x)=mx2+2x-1在区间上单调递减.
(1)若a=m,命题p是假命题,且命题q是真命题,求实数m的取值范围;
(2)若a=m-3k,且“命题p为真命题”是“命题q为假命题”的充分条件,但不是必要条件,求实数k的取值范围.
1.解析:A中,函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|x≠0},定义域不同,故两函数不是同一个函数;B中,函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|x≠-2},定义域不同,故两函数不是同一个函数;C中,因为g(x)==|x|=f(x),故两函数是同一个函数;D中,函数f(x)的定义域为{x|x≥2},函数g(x)的定义域为{x|x≤-2,或x≥2},定义域不同,故两函数不是同一个函数.
答案:C
2.解析:∵f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=-=-2.
答案:D
3.解析:由题中图象可得,当0≤x≤3时,y=f(x)=2x,
∴f(2)=4.
当3故f(f(2))=f(4)=9-4=5.
答案:C
4.解析:要使函数有意义,需满足解得-4≤x<0或0答案:D
5.解析:偶函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,则在区间[1,2]上单调递减,f(x)的图象沿x轴向右平移2个单位长度后,对应函数在区间[3,4]上单调递减,即g(x)在区间[3,4]上单调递减.
答案:A
6.解析:∵函数f(x)=ax2+bx-2是偶函数,
∴b=0.
又函数f(x)的定义域为[1+a,2],则1+a=-2,解得a=-3.
∴f(x)=-3x2-2,其图象开口向下,对称轴为y轴,则函数f(x)在区间[1,2]上单调递减.
答案:B
7.解析:∵函数y=f(x)为偶函数,
∴<0转化为xf(x)<0,(*)
当x>0时,由(*)知f(x)<0,即f(x)3,则x>3;
当x<0时,由(*)知f(x)>0,即f(x)>f(3)=f(-3),又f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,∴f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,∴x>-3,则-3综上可得,<0的解集是(-3,0)∪(3,+∞).
答案:C
8.解析:f(x)=[x]·{x}=[x]·(x-[x])=[x]x-[x]2,g(x)=x-1,f(x)当x∈[0,1)时,[x]=0,(*)式可化为x>1,则x∈ ;当x∈[1,2)时,[x]=1,(*)式可化为0·x<0,则x∈ ;当x∈[2,3)时,[x]=2,(*)式可化为x<3,则x∈[2,3);当x=3时,(*)式可化为2x<8,得x<4,
∴x=3.∴f(x)答案:A
9.解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又f(x)在R上是减函数,
∴-1≤x-2≤1,
∴1≤x≤3,结合选项可知,BC符合题意.
答案:BC
10.解析:对于A选项,由于函数f(x)的定义域为[-2,2],因此-2≤2x-1≤2,解得-≤x≤,
所以函数f(2x-1)的定义域为[-],A选项正确;
对于B选项,令t=≥0,则x=1-t2,y=2(1-t2)+t=-2(t-)2+,
所以函数y=2x+的值域为(-∞,],B选项正确;
对于C选项,当x∈[-2,0]时,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3∈[4,12],
所以函数f(x)=x2-2x+4在区间[-2,0]上的值域为[4,12],C选项正确;
对于D选项,y=-1≠-1,所以函数y=的值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),D选项错误.
答案:ABC
11.解析:f(x)=,则-x2+2x+3≥0,解得-1≤x≤3,即定义域为[-1,3].
考虑函数y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4在区间[-1,3]上有最大值4,最小值0,在区间[-1,1]上单调递增,在区间[1,3]上单调递减.故f(x)=的值域为[0,2],在区间[-1,1]上单调递增,在区间[1,3]上单调递减.故选CD.
答案:CD
12.解析:对于A选项,h(x)=x(x-4)=x2-4x=(x-2)2-4,当x=2时,函数h(x)取得最小值-4,故A选项错误.
对于B选项,h(x)=x|x-4|=画出h(x)的图象如图①所示.
由图可知,h(x)的值域为R,故B选项正确.
①
②
对于C选项,h(x)=|x|-|x-4|=画出h(x)的图象如图②所示.
由图可知,h(x)有唯一的零点2,故C选项正确.
对于D选项,由C选项的分析,结合h(x)的图象可知|h(x)|≤4恒成立,故D选项正确.故选BCD.
答案:BCD
13.解析:∵函数f(x)的定义域为(-1,1),
∴-1<2x+1<1,解得-1则函数f(2x+1)的定义域为(-1,0).
答案:(-1,0)
14.解析:因为f(x)=x2-|x|=|x|2-|x|=(|x|-)2-,所以f(x)为偶函数,且在区间(,+∞)上单调递增.所以f(-m2-1)所以m2+1<2,即m2<1,得-1答案:(-1,1)
15.解析:由题意可得,f(x)的定义域为{x|x≠1},
∴f(x)==2+.
∵x∈[2,4],∴x-1∈[1,3].
∴1≤≤3,∴3≤2+≤5.
故函数f(x)=,x∈[2,4]的最小值是3.
答案:3
16.解析:由题意得,函数f(x)在区间(-∞,-]上单调递减,在区间[-,+∞)上单调递增,则-=3,即a=-6.
由f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,得-≤3,
所以a≥-6,即实数a的取值范围为[-6,+∞).
答案:-6　[-6,+∞)
17.解:(1)令x+2=t,则x=t-2,
∴g(t)=f(t-2)=2(t-2)+3=2t-1,把t换成x可得函数g(x)的解析式为g(x)=2x-1.
(2)∵当x>0时,f(x)=-(1+x),
∴当x<0时,-x>0,f(-x)=-(1-x).
又f(x)是定义在R上的奇函数,
∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=(1-x),f(0)=0.
综上可得,f(x)=
18.(1)证明:设x1,x2是区间(0,+∞)上的任意两个实数,且x1则f(x1)-f(x2)=.
∵0∴x1-x2<0,x1x2>0.
∴<0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
(2)解:∵f(x)在区间上的值域是,又由(1)知,f(x)在区间上单调递增,
∴解得a=.
19.解:{x|-2∵函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
∴-2m2-m+3>0,
即2m2+m-3<0,解得-又m∈{-1,0,1},∴m=-1或m=0.
又对任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0,
∴f(x)是奇函数.
当m=-1时,f(x)=x2,为偶函数,舍去.
当m=0时,f(x)=x3,为奇函数.
∴f(x)=x3.
当x∈[0,3]时,函数f(x)在区间[0,3]上单调递增,∴f(x)的值域为[0,27].
20.(1)解:因为对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n),所以令m=n=0,有f(0)=f(0)+f(0),则f(0)=0.
令m=n=1,得f(2)=f(1)+f(1)=-4,则f(1)=-2,令m=1,n=2,得f(3)=f(1)+f(2)=-2-4=-6.
(2)证明:设x1,x2是两个任意的实数,且x1因为f(m+n)=f(m)+f(n),
所以f(m+n)-f(m)=f(n).
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).
又当x>0时,f(x)<0,而x2-x1>0,
所以f(x2-x1)<0,
所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)所以f(x)在R上是减函数.
(3)解:因为对任意m,n有f(m+n)=f(m)+f(n),所以f(x2)+f(2x)<-6,即f(x2+2x)<-6,又由(1)知f(3)=-6,所以f(x2+2x)由(2)知,f(x)在R上是减函数,
所以x2+2x>3,解得x>1,或x<-3.
故不等式f(x2)+f(2x)<-6的解集为{x|x>1,或x<-3}.
21.解:若选①.由题意得解得将其代入ax2+2x+b≥2mx+1,得x2-2(m-1)x+1≥0.
设g(x)=x2-2(m-1)x+1,x∈[1,2].
则当m-1≤1时,g(x)min=g(1)=4-2m≥0,解得m≤2;当1当m-1≥2,即m≥3时,g(x)min=g(2)=9-4m≥0,此时无解.
综上可知,实数m的取值范围是(-∞,2].
若选②.因为不等式1将其代入ax2+2x+b≥2mx+1,得x2-2(m-1)x+1≥0.
设g(x)=x2-2(m-1)x+1,x∈[1,2].
则当m-1≤1时,g(x)min=g(1)=4-2m≥0,解得m≤2;当1综上可知,实数m的取值范围是(-∞,2].
22.解:若f(x)=的定义域为R,必有a>0,且f(x)一定为奇函数,故当命题p为真命题时,有a>0;若g(x)=mx2+2x-1在区间上单调递减,必有解得m≤-2,故当命题q为真命题时,m≤-2.
(1)因为a=m,且命题p是假命题,命题q是真命题,所以
从而实数m的取值范围是(-∞,-2].
(2)命题p为真命题时,m-3k>0,即m>3k;命题q为假命题时,m>-2,因为“命题p为真命题”是“命题q为假命题”的充分条件,但不是必要条件,所以3k>-2,解得k>-,即实数k的取值范围是.
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