2023-2024学年高一数学北师大版必修第一册第二章 2.2 函数 习题课——函数的概念与表示（含解析）

习题课——函数的概念与表示
课后训练
一、A组
1.(多选题)已知f(x)=则满足不等式xf(x)+x≤2的x的值有(　　).
A.1 B.2 C.3 D.-1
2.已知函数f(x)的定义域为[0,2],则的定义域为(　　).
A.{x|0C.{x|0≤x≤1} D.{x|03.函数y=x2+x(-1≤x≤3)的值域是(　　).
A.[0,12] B.
C. D.
4.对任意的实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y)+2恒成立,则f(2)+f(-2)=(　　).
A.-4 B.0 C.-2 D.2
5.若函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是　　　　　.
6.已知f(x)的定义域为,则f的定义域为　　　　　.
7.设函数f(x)=则f()=　　　　　,若f(x0)>1,则x0的取值范围是　　　　　.
8.若函数f(x)=的值域为[4,+∞),求实数a的取值范围.
二、B组
1.已知取整函数f(n)=([x]表示不超过x的最大整数),由f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(50)组成集合A,则集合A中的元素个数为(　　).
A.25 B.26 C.49 D.50
2.(多选题)设x∈R,定义符号函数sgn x=则(　　).
A.函数的定义域为R B.sgn(sgn(-5))=-1
C.函数的值域为[-1,1] D.|x|=xsgn x
3.若函数y=f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则实数m的取值范围是(　　).
A.(0,4) B.
C. D.
4.如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数.例如[3.27]=3,[0.6]=0.那么“[x]=[y]”是“|x-y|<1”的(　　).
A.充分条件,但不是必要条件
B.必要条件,但不是充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.若函数y=x2-4x的定义域为[-4,a],值域为[-4,32],则实数a的取值范围为　　　　　　.
6.已知函数f(x)=则f(f(2))的值为　　　　　.
7.若f(x)的定义域为[-3,5],求φ(x)=f(-x)+f(x)的定义域.
8.已知函数f(x)=
(1)求f,f,f的值;
(2)画出函数的简图;
(3)求函数的值域.
1.解析:当x≥0时,f(x)=1,代入xf(x)+x≤2,解得x≤1,所以0≤x≤1;
当x<0时,f(x)=0,代入xf(x)+x≤2,
解得x≤2,所以x<0.
综上可知x≤1.
结合选项可知,AD符合题意.
答案:AD
2.解析:要使函数有意义,需满足 解得0答案:D
3.解析:y=x2+x=,-1≤x≤3.
画出函数y=x2+x(-1≤x≤3)的图象(图略),由图可知,当x=-时,y取得最小值,此时y=-,当x=3时,y取得最大值,此时y=12.
故y=x2+x(-1≤x≤3)的值域为.
答案:B
4.解析:因为对任意的实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y)+2恒成立,所以取x=y=0,有f(0)=f(0)+f(0)+2,得f(0)=-2;
取x=2,y=-2,有f(0)=f(2)+f(-2)+2,得f(2)+f(-2)=-4.
答案:A
5.解析:∵函数f(x)=的定义域为R,
∴ax2+ax+1>0对任意实数x恒成立.
若a=0,有1>0,不等式成立;
若a≠0,需满足解得0答案:[0,4)
6.解析:因为f(x)的定义域为,
所以<1,得1故f的定义域为(1,2).
答案:(1,2)
7.解析:由题意得,f()=.
当x0≤0时,f(x0)>1,即-x0-1>1,解得x0<-2;当x0>0时,f(x0)>1,即>1,解得x0>1.
所以x0的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞).
答案:　(-∞,-2)∪(1,+∞)
8.解:当x≤2时,-x+6≥4成立,又函数f(x)的值域为[4,+∞),所以当x>2时,2+a2x的取值范围应是[4,+∞)的子集,因此2+a2x≥4,即a2x≥2,所以a2≥1,得a≥1或a≤-1,即实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞).
1.解析:∵f(n+1)=,而+1,
∴f(n+1)=或f(n+1)=+1,于是f(n+1)-f(n)=或f(n+1)-f(n)=+1,又当1≤n≤49时,=0,
∴当1≤n≤49时,有f(n+1)-f(n)=0或f(n+1)-f(n)=1.
又f(1)==0,f(50)==25,
∴集合A中的元素个数为25+1=26.
答案:B
2.解析:由题意得,函数的定义域为(0,+∞)∪{0}∪(-∞,0)=R;
∵sgn(-5)=-1,∴sgn(sgn(-5))=sgn(-1)=-1;函数的值域为{-1,0,1};当x>0时,|x|=x,xsgn x=x×1=x;
当x=0时,|x|=xsgn x=0;当x<0时,|x|=-x,xsgn x=x×(-1)=-x.∴|x|=xsgn x.
答案:ABD
3.解析:y=f(x)=,画出函数f(x)的图象,如图.因为函数的值域为,定义域为[0,m],而f=-,f(0)=f(3)=-4,所以结合图象知≤m≤3,所以实数m的取值范围为[,3].
答案:C
4.解析:当[x]=[y]时,有|x-y|<1,所以充分性成立;
当|x-y|<1时,不一定有[x]=[y],如取x=1.9,y=2.1,满足|x-y|=0.2<1,但[x]≠[y],所以必要性不成立.故选A.
答案:A
5.解析:y=x2-4x=(x-2)2-4,画出函数y=x2-4x的图象(图略),由图可知,当x=2时,y=-4;当x=-4或x=8时,y=32.
∵函数的定义域为[-4,a],值域为[-4,32],
∴2≤a≤8,即实数a的取值范围为[2,8].
答案:[2,8]
6.解析:∵f(2)=1-,
∴f(f(2))=f-2×=-.
答案:-
7.解:∵f(x)的定义域为[-3,5],
∴解得-3≤x≤3.
故函数φ(x)的定义域为[-3,3].
8.解:函数的定义域为[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]=[-1,2].
(1)因为-1≤x<0时,f(x)=-x,
所以f=-.
因为0≤x<1时,f(x)=x2,
所以f.
因为1≤x≤2时,f(x)=x,所以f.
(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象,如图所示.
(3)观察第(2)问中函数的图象可知,函数的值域为[0,2].
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