九年级下 第二章 二次函数辅导教程

九年级下 第二章 二次函数辅导教程三
专题一：二次函数的三种表达方式
[知识点1]：二次函数的三种表达方式各自的特点
函数的表格表示可以清楚、直接的表示出变量之间的数值对应关系；
函数的图像表示可以直观的表示出函数的变化过程和变化趋势；
函数的表达式可以比较全面、完整、简洁的表示出变量之间的关系。
[知识点2]：二次函数解析式的确定
二次函数解析式有三种形式：
（1）一般式：（a、b、c为常数，a≠0）；
（2）顶点式：（a、h、k为常数，a≠0）；
（3）交点式：
要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数（常数），由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式需要已知三个独立条件。
当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为，然后列出三元一次方程组求解；
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式求解；
当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为交点式求解。
经典例题讲解：
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．
【例2】 一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．
（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
【例3】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
【例4】分别根据下列条件，求二次函数的解析式：
（1）图象经过点（0，0），（1，1），（2，5）；
（2）图象的顶点坐标是（-2，1），且经过点（1，-2）；
（3）图象与x轴交点的横坐标分别是-2和3，且函数有最小值-3。
专题一配套练习
1．若抛物线y=ax2＋b不经过第三、四象限，则抛物线y=ax2＋bx＋c（ ）
A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴
C．开口向上，对称轴平行于y轴 D．开口向下，对称轴平行于y轴
2．二次函数y=－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（ ）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4．
3．二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．两个数的和为8，则这两个数的积最大可以为________，若设其中一个数为x，积为y，则y与x的函数表达式为__________________．
5．一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为_______________________．
6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积y与x的函数表达式为______________，它有最___值，即当x=_____________时，y=____________．
7．边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数表达式为_________________________．
8．等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为______________________________．
9．抛物线y=x2＋kx－2k通过一个定点，这个定点的坐标为_________________________．
10．已知抛物线y=x2＋x＋b2经过点（a，－）和（－a，y1），则y1的值是___________．
11.当m=_____时，抛物线y=mx2+2(m+2)x+m+3的对称轴是y轴；当m=_____时，图象与y轴交点的纵坐标是1；当m=_____时，函数的最小值是－2.
12.二次函数y=mx2+2x+m－4m2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.
13.函数y=mx2+x－2m(m是常数)，图象与x轴的交点有_____个.
14.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.
15.二次函数y=x2+kx+1与y=x2－x－k的图象有一个公共点在x轴上，则k=______.
16.已知抛物线y=ax2+bx+c，其中a<0，b>0，c>0，则抛物线的开口方向______；抛物线与x轴的交点是在原点的______；抛物线的对称轴在y轴的______.
17.二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中
A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1)
18．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
专题二：利用二次函数求实际问题中的最大值和最小值
[知识点]：如何求二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时， 最值=
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内。若在此范围内，则当时， 最值=；若不在此范围内，则需考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果此时y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大值=；当x=x1时，y最小值=；如果此时y随x的增大而减小，则当x=x1时，y最大值=；当x=x2时，y最小值=；
利润问题：
（一）经典例题讲解：
【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
x 3 5 9 11
y 18 14 6 2
（1）在所给的直角坐标系甲中：
①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；
②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．
（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：
①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．
②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．
【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．
（1）求y关于x的二次函数表达式，并注明x的取值范围．
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x＋）2＋的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？
(二)利润问题配套练习
1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？
3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；
（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）
（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，
（4）平均每天的利润最大？最大利润是多少？
4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．
（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．
（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．
（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）
5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．
（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；
（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？
x（10万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
（1）求y与x的函数表达式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；
（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
面积问题
(1) 例题讲解
例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
例2、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
(二)面积问题配套练习
1． 在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym2，则y与x之间的函数表达式是 ______________，自变量x的取值范围是_______．y有最大值或最小值吗？若有，其最大(小)值是_______________.
2.周长为16cm的矩形的最大面积为_______，此时矩形的边长为________，实际上此时矩形是__________．
3.当n=______时，抛物线y=－5x2＋（n2－25）x－1的对称轴是y轴．
4.已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1，则m的值是_________．
5．如果一条抛物线与抛物线y=－x2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是____________
6.若抛物线y=3x2＋mx＋3的顶点在x轴的负半轴上，则m的值为_______________．
7．将抛物线y=3x2－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ）
A．y=3（x＋2）2＋1 B．y=3（x－2）2－1 C．y=3（x＋2）2－5 D．y=3（x－2）2－2
8．二次函数y=x2＋mx＋n，若m＋n=0，则它的图象必经过点（ ）
A．（－1，1） B．（1，－1） C．（－1，－1） D．（1，1）
9．如图是二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，点P（a＋b，bc）是坐标平面内的点，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知：如图1，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交A C于F，设DF=x．
（1）求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；
2）当x为何值时，△EDF的面积最大？最大面积是多少；
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD长．
11．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？
12．如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？
13．如图4，在一直角三角形中建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN．其中DE在AB上，AC=8，BC=6．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85处有一棵大树，问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？
14.如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
15.如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
16.如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
17.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
18.一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
19.某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？
专题三：二次函数与一元二次方程
[知识点1]：二次函数与一元二次方程的关系
抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2是一元二次方程的根。
当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，此时方程无实数根；
当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点，此时方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，其解析式可写交点式的形式
抛物线与x轴的两个交点间的距离：
即
[知识点2]：利用图象求一元二次方程的近似根的方法
1.画出二次函数的图象；
2.根据图象确定出方程根的范围；
3.在所确定的范围内，利用计算器探索，从而求出方程的近似根。
经典例题讲解：
【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为_______________．
【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．
【例3】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式：_______________
专题三同步练习：
1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为_______________．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为_______________
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过_______________象限．
4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是_______________．
5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m=_______________．
6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=_______________．
7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点_______________．
8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围_______________．
9．抛物线y=x2－2x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是_______________．
10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无
11．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则的值是（ ）
A．－3 B．3 C． D．－
12．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
13．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图
16．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．
17．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．
（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？
（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？
18．已知抛物线y=x2－（k＋1）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．
第二章回顾与思考
一、填空题：
⑴．抛物线的对称轴是 .这条抛物线的开口向 .
⑵.用配方法将二次函数化成的形式是 .
⑶．已知二次函数的图象的顶点的横坐标是1，则b= .
⑷. 二次函数的图象的顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y随x的增大而
⑸．已知抛物线的顶点坐标是（-2，3），则= .
⑹．若抛物线的顶点在x轴上，则c= .
⑺. 已知二次函数的最小值是1,那么m的值是 .
⑻. 若抛物线经过原点，则m= .
⑼. 已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负半轴，则m的取值范围是 .
⑽. 若抛物线的顶点在y轴上, 则 m的值是
二、选择题：
若直线y=ax+b不经过一、三象限，则抛物线（ ）.
(A)开口向上，对称轴是y轴; (B) 开口向下，对称轴是y轴;
(C)开口向上, 对称轴是直线x=1; (D) 开口向下，对称轴是直线x=-1;
⑵. 抛物线的顶点坐标是( ).
(A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);
⑶. 若二次函数的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的正半轴; 则点在（ ）.
A第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;
⑷. 对于抛物线,下列结论正确的是（ ）.
A对称轴是直线x=3,有最大值为1; B对称轴是直线x=3,有最小值为-1;
C对称轴是直线x=-3,有最大值为1; D对称轴是直线x=-3,有最小值为-1;
⑸．已知直线y=x+m与抛物线相交于两点，则实数m的取值范围是( ).
A、m﹥; (B)m﹤; (C)m﹥; (D) m﹤.
⑹.若一条抛物线的顶点在第二象限，交于y轴的正半轴，与x轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.
(A)a﹥0,bc﹥0; (B)a﹤0,bc﹤0; (C) a﹤0, bc﹥0; (D) a﹥0, bc﹤0
⑺. 抛物线不经过（ ）.
A、第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限
⑻. 已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是（ ）.
(A) , (B), (C) , (D) ,
⑼.在同一直角坐标系中，抛物线与直线y=2x-6的交点个数是( ).
(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个.
⑽．已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
三、解答下列各题：
（1）已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，求这个二次函数的解析式.
⑵.已知抛物线,①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
⑶.已知抛物线(a≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点.①如果抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围;②若对称轴为x=-1.求抛物线的解析式.
⑷.围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积.
⑸．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
⑹．已知抛物线的顶点A在直线y=-4x-1上，设抛物线与 x轴交于B,C两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△ABC的外接圆的面积（用准确值表示）.
⑺．如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。
⑴求△ABC中AB边上的高h;
⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
⑶实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。
A．
B．
C．
D．九年级下 第2章 二次函数辅导教程二
专题一：二次函数的图象
一、相关知识点
[知识点1]：二次函数的图象
1：二次函数 的图象可由抛物线的图象向左（或向右）平移而得到。
当h＞0时，抛物线向右平移|h|个单位，得到。
当h＜0时，抛物线向左平移|h|个单位，得到。
2：抛物线可由抛物线向左（或向右）平移|h|个单位，再向上（或向下）平移|k|个单位而得到。
一般地，抛物线与抛物线的形状相同，只是位置不同，抛物线有如下特点：①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
②对称轴是平行于y轴的直线x=h；
③顶点坐标（h，k）。
由于中可直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把叫做二次函数的顶点式。
3：二次函数的一般式与顶点式的互相转化
①通过去括号、合并同类项可将顶点式转化为一般式。
②利用配方法将一般式转化为顶点式
因此抛物线的对称轴是
[知识点2]：二次函数的图象的画法
因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征是：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向。所以，画二次函数的图象通常采用简化的描点法---五点法，其步骤是：
1、先根据函数解析式求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；
2、求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点是，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D，将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C，D，M三点可粗略的画出二次函数的图象的草图。
[知识点3]：二次函数的性质
函数 二次函数
图象 a＞0 a＜0
性质 （1）当a＞0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是（3）在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大，简记为左减右增；（4）抛物线有最低点，但时，y有最小值，最小值= （1）当a＜0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是（3）在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小，简记为左增右减；（4）抛物线有最高点，但时，y有最大值，最大值=
[知识点4]：求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法
1.配方法：将化为的形式，则顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，若a＞0，最小值=k；若a＜0，最大值=k。
2.公式法：直接利用顶点坐标公式求其顶点。对称轴是，若a＞0，y有最小值，当时，最小值=；若a＜0，y有最大值，当时，最大值=。
[知识点5]：二次函数的图象位置与a，b，c的关系
1.a的正、负决定抛物线开口方向，a＞0，开口向上；a＜0，开口向下，|a|的大小决定抛物线开口大小，|a|越大，抛物线开口越小，反之越大。
2.b=0时，抛物线的对称轴为y轴，若a、b同号，对称轴在y轴的左侧；若a、b异号，对称轴在y轴的右侧，简记口诀为“左同右异”。
3.抛物线与y轴交点为（0，c），当c=0时，抛物线经过原点；当c＞0时，抛物线与y轴正半轴相交；当c＜0时，抛物线与y轴负半轴相交。
[知识点6] 如何求二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，y最值=
二、例题讲解
【例1】二次函数y=ax2＋bx2＋c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝）．
【例2】二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）
【例3】在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=的图象大致是图中的（ ） 例1图
【例4】如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x2＋0．9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？
【例5】抛物线y=ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是 ．
【例6】已知二次函数y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
【例7】已知抛物线y=a（x－t－1）2＋t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y=x2－2x＋1的顶点是B（如图）．
（1）判断点A是否在抛物线y=x2－2x＋1上，为什么？
（2）如果抛物线y=a（x－t－1）2＋t2经过点B．①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【例8】如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H，作HM⊥AG于M．设HM=x，矩形AMHN的面积为y．（1）求y与x之间的函数表达式，（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？
【例9】已知点A（－1，－1）在抛物线y=（k2－1）x2－2（k－2）x＋1上．
（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．
【例10】如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？
【例11】阅读材料，解答问题．
当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x2－2mx＋m2＋2m－1①，有y=（x－m）2＋2m－1②，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m－1），即
当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化．
把③代入④，得y=2x－1．⑤
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式y=2x－1．
解答问题：
（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是 ．
（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2－2mx＋2m2－3m＋1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的表达式．
专题一同步练习：
1．抛物线y=－2x2＋6x－1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
2．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（ ）
第五题图
3．已知二次函数y=x2－x＋6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．
5．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
6．已知点（－1，y1）、（－3，y2）、（，y3）在函数y=3x2＋6x＋12的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．二次函数y=－x2＋bx＋c的图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（ ）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=－4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4
8．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ）
A．abc＞0 B．a＋b＋c＜0 C．b＜a＋c D．2c＜3b
9．函数y=ax2＋bx＋c和y=ax＋b在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）
10．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A（4，2）和B（5，7）．（1）求抛物线的表达式；（2）用描点法画出这条抛物线．
11．如图，已知二次函数y=x2＋bx＋c，图象过A（－3，6），并与x轴交于B（－1，0）和点C，顶点为P．
（1）求这个二次函数表达式；
（2）设D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求D点坐标．
12．已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围．
13．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单位每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
14．欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把）．欣欣商店根据销售记录，这种雨伞以零售单价每把为14元出售时，月售销量为100把，如果零售单价每降低0．1元，月销售量就要增加5把．现在该公司的批发部为了扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部分每把按原批发单价九五折（即95%）付费，但零售单价每把不能低于10元．欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润=销售款额－进货款额）
15．如图2-4-24，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B、C），DE∥CA，交AB于E．设BD=x，△ADE的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）△ADE的面积何时最大，最大面积是多少？
（3）求当tan∠ECA=4时，△ADE的面积．
16．已知：如图2-4-25，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．若△A′B′C′与△ABC完全重合，令△ABC固定不动，将△A′B′C′沿CB所在的直线向左以1cm/s的速度移动．设移动xs后，△A′B′C′与△ABC的重叠部分的面积为ycm2．求：
（1）y与x之间的函数关系；
（2）几秒钟后两个三角形重叠部分的面积等于cm2？
x
y
O
x
y
O九年级下学期第二章 二次函数辅导教程一
专题一：二次函数的认识
1、 新的知识点
知识点1：二次函数的定义：一般的，如果，那么，y叫做x的二次函数。
注意：（1）、任何一个二次函数的解析式都可以化成的形式。因此，把叫做二次函数的一般式。
（2）、二次函数中，x，y是变量，a，b，c是常量。b和c可以是任意实数，a必须是不为0的实数。因为当a=0时，原式变成了一个一次函数。
（3）、二次函数的结构特征是：等号右边是一个关于自变量x的二次多项式。
（4）、二次函数与一元二次方程有密切的关系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程了。
知识点2：关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等。
2、 例题讲解
【例1】 函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m= ．
【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式．
【例4】（1）某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．
（2）如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y．
【例5】某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元，进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．
（1）试写出y与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（2）试写出z与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（3）计算销售单价为160元时的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？
【例6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中，第一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？
3、 专题一同步训练
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．
2．当m 时，y=（m－2）x是二次函数．
3．已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系．
4．已知：一等腰直角三角形的面积为S，请写出S与其斜边长a的关系表达式，并分别求出a=1，a=，a=2时三角形的面积．
5．下列不是二次函数的是（ ）
A．y=3x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2）
6．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
7．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（ ）
A．S=2π（x＋3）2 B．S=9π＋x C．S=4πx2＋12x＋9 D．S=4πx2＋12x＋9π
8．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
9．下列函数中，二次函数是（ ）
A．y=6x2＋1 B．y=6x＋1 C．y=＋1 D．y=＋1
10．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．
11．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？
12．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．
13．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．
专题二：二次函数的图象
1、 新的知识点：
知识点1：二次函数的图象
二次函数的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
注意：（1）抛物线是轴对称图形，其对称轴是y轴。例如：平行于x轴
的直线l交抛物线于A、B，由对称性可知A、B两点关于y轴对称，即线段AB的垂直平
分线就是y轴。
（2）由于二次函数的图象是抛物线，所以也叙述为抛物线
（3）二次函数和抛物线中均隐含着一个重要的条件。
（4）由于抛物线与对称轴的交点有且只有一个，故抛物线的顶点只有一个。的顶点坐标为（0，0），即坐标原点。
（5）抛物线的几个主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。这也是我们学习和探究抛物线的三个重要内容。
知识点2：二次函数图象的画法
1、 列表：先取原点（0，0），然后在原点两侧对称的取4个点；
2、 描点：先将y轴右侧的两个点描出来，然后按照对称关系找到y轴左侧的两个对应点；
3、 连线：按一定顺序将这5个点用平滑曲线连接起来。
知识点3：二次函数的图象性质
1、 二次函数的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点在原点处，开口方向由a的符号决定：当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴的上方，并且向上无限延伸。顶点（0，0）是最低点，即当x=0时，y有最小值为0。在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴的下方，并且向下无限延伸。顶点（0，0）是最高点，即当x=0时，y有最大值为0。在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
抛物线 y=ax2（a＞0） y=ax2（a＜0）
图象
对 称 轴
顶点坐标
开口方向
位 置
增 减 性
最 值
2、 抛物线开口大小由|a|决定：|a|越大，抛物线的开口越窄，|a|越小，抛物线的开口越宽。
3、 几条抛物线的解析式中，若|a|相等，则其形状相同。即若a相等，则开口及形状相同；若a互为相反数，则形状相同，开口方向相反。
2、 例题讲解：
【例1】请在同一平面直角坐标系中画出函数y=x2，y=-x2，
【例2】求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．
【例3】已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
三、专题二同步训练
1．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ．
2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= ．
3．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到．
4．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．
5．函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．
6．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．
7．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
8．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
9．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．
专题三：二次函数的图象及性质
1、 新的知识点
知识点1：二次函数的图象
二次函数的图象可由抛物线y=ax2向上（或向下）平移而得到。
当c＞0时，抛物线y=ax2向上平移|c|个单位可得到；
当c＜0时，抛物线y=ax2向下平移|c|个单位可得到；
知识点2：二次函数的性质
抛物线 （a＞0，c＞0） （a＞0，c＜0） （a＜0，c＞0） （a＜0，c＜0）
图象
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
2、 例题讲解
【例1】已知抛物线y=（m＋1）x开口向下，求m的值．
【例2】k为何值时，y=（k＋2）x是关于x的二次函数？
【例3】已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．
（1）求a、m的值； （2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；
（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．
【例4】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为k的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
3、 专题三同步训练
1．抛物线y=－4x2－4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2．当m= 时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= ．
4．当m= 时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ．
5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k= ，b= ．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．
7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）
A． B． C．y=－2x2 D．y=－x2
8．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（ ）
A． B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
9．对于抛物线和在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）
A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（ ）
11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
12．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：
（1）y=ax2经过（1，2）； （2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．
13．如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．
14．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m．
（1）在如下图所示的坐标系中求抛物线的表达式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
A
B
O
x
y
（0，c）
（0，c）
（0，c）
（0，c）
O
x
O
x
y
y