2023-2024学年高一数学北师大版必修第一册第二章 函数 习题课——函数性质的综合应用 同步练习（含解析）

习题课——函数性质的综合应用
课后训练
一、A组
1.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系成立的是(　　).
A.f(-3)>f(0)>f(1) B.f(-3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(-3) D.f(1)>f(-3)>f(0)
2.(多选题)已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1,x2都成立,则下列结论正确的是(　　).
A.f(a2+2a+5)>f(1)
B.f(a-1)C.f(-3)>f(-5)
D.f(-3)3.若对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),则函数f(x)满足(　　).
A.f(0)=0且f(x)为奇函数
B.f(0)=0且f(x)为偶函数
C.f(x)为增函数且为奇函数
D.f(x)为增函数且为偶函数
4.已知定义在区间[-1,1]上的函数y=f(x)是增函数,且是奇函数,若f(a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.
二、B组
1.已知f(x)是定义在区间[a,b]上的奇函数,且f(x)在区间[a,b]上的最大值为m,则函数F(x)=f(x)+3在区间[a,b]上的最大值与最小值之和为(　　).
A.2m+3 B.2m+6
C.6-2m D.6
2.已知函数y=f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在区间[1,+∞)上单调递增,若x1<0,x2>0,且x1+x2<-2,则f(-x1)与f(-x2)的大小关系是(　　).
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)C.f(-x1)=f(-x2)
D.无法确定
3.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则函数g(x)=kx2+2x-3的单调递减区间是　　　　　.
4.设函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)在区间[-3,3]上,f(x)是否有最值 如果有,求出最值;如果没有,请说明理由.
1.解析:由题意知f(-3)=f(3),且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,故f(-3)>f(1)>f(0).
答案:B
2.解析:设0由>0,得f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
∴f(x)在区间(-∞,0)上也单调递增.
∴由-3>-5,可得f(-3)>f(-5).
∵a2+2a+5=(a+1)2+4>1,
∴f(a2+2a+5)>f(1).而f(a-1)与f(2a-3)的大小关系无法判定,故选AC.
答案:AC
3.解析:∵对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),∴令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.
答案:A
4.解:f(a-1)+f(4a-5)>0,
即f(a-1)>-f(4a-5).
又因为函数y=f(x)为奇函数,
所以f(a-1)>f(5-4a).
又函数y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,
所以解得所以实数a的取值范围是.
1.解析:因为奇函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为m,所以它在区间[a,b]上的最小值为-m,所以函数F(x)=f(x)+3在区间[a,b]上的最大值与最小值之和为m+3+(-m+3)=6.
答案:D
2.解析:因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),即f(-x)=f(x+2),由x1<0,x2>0,且x1+x2<-2,得-x1>2+x2>2.
又y=f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
所以f(-x1)>f(2+x2)=f(-x2).
答案:A
3.解析:由函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,可得k=1,
所以函数g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.
故函数g(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=-1.
因而函数g(x)的单调递减区间是(-∞,-1].
答案:(-∞,-1]
4.(1)证明:令x=y=0,则有f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=2f(0),所以f(0)=0.
令y=-x,则有0=f(x-x)=f(x)+f(-x),所以f(x)为奇函数.
(2)解:任取x1,x2∈[-3,3],且x10.
由题意,得f(x2-x1)<0,且f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)>0,
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在区间[-3,3]上为减函数.
所以函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值为f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6,最小值为f(3)=-f(-3)=-6.
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