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第四章综合能力测评卷
考试时间：90分钟 满分：120分
学校:___________姓名:___________班级:___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
阅卷人
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．下面几何体中，是圆柱的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据各个选项中的几何体的形体特征进行判断即可．
【详解】解：A．选项中的几何体是圆锥体，因此选项A不符合题意；
B．选项中的几何体是球体，因此选项B不符合题意；
C．选项中的几何体是圆柱体，因此选项C符合题意；
D．选项中的几何体是四棱柱，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体，圆锥体，棱柱，球的形体特征是正确判断的前提．
2．在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用直线的性质和线段的性质逐一分析，即可得到答案．
【详解】解：A、可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；
B、可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；
C、可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；
D、可以用“两点间线段最短”来解释，符合题意，选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了直线的性质和线段的性质，正确理解相关性质是解题关键．
3．下图中用量角器测得的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图形可直接得出．
【详解】解：由题意，可得，
故选：C．
【点睛】本题考查角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
4．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据左视图定义从左向右看得到的图形，从左面看看到壶嘴，画的全身，看不见弧把手，对各选项进行分析判断即可．
【详解】A. 是从上向下看得到的图形为俯视图，故选项A不合题意；
B. 是从左向右看得到的图形为左视图，故选项B符合题意；
C. 是从下往上看得到的图形是仰视图，故选项C不合题意；
D. 是从前往后看得到的图形是主视图，故选项D不合题意．
故选择B．
【点睛】本题考查物体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．
5．某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（ ）
A．传 B．承 C．文 D．化
【答案】D
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“红”字相对的面上的汉字是“化”．故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
6．如图，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，，可求出的度数，再根据角与角之间的关系求解．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和相比，多加了．
7．往返，两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】C
【分析】将车与两个车站之前的距离转化成线段，不同的距离表示为不同的线段，用列举法直接求线段数量即可．
【详解】解：设中间两个站分别为C、D，
∵客运站根据两站之间的距离确定票价，距离不相等票价就不同，
又∵有、、、、、，共6条不同的线段，
∴不同的票价共有6种．
故选：C．
【点睛】此题考查线段的数量问题，解题关键是直接使用列举法将所有情况表明出来即可．
8．在直线上取A，B，C三点，使得，如果O是线段的中点，那么线段的长为（ ）
A． B． C．或 D．以上结论都不对
【答案】C
【分析】分两种情况，即B在之间，C在之间，先求出的长度，再根据线段中点的定义求出的长度即可．
【详解】①如图，
∵，
∴，
∵O是线段的中点，
∴
②如图，
∵，
∴，
∵O是线段的中点，
∴
故选C．
【点睛】此题主要考查线段中点的定义和线段的和差，熟练掌握线段中点定义是解题关键．
9．如图，已知平分，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠AOD＝2∠DOM、∠BOC＝2∠NOC，
∵∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD，
∴∠AOB＝2∠DOM+2∠NOC﹣∠COD，即∠AOB＝2（∠DOM+∠NOC）﹣∠COD，
∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，
∴∠DOM+∠NOC＝90°，则∠MON＝∠DOM+∠NOC﹣∠COD＝50°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是角度计算，涉及到角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义并灵活运用是解答本题的关键．
10．如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（ ）
甲：当点B与点O重合时，；
乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；
丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变
A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙
【答案】D
【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法；
乙：画出图形，设点P表示的数为x，则，可判断乙的说法；
丙：设点B表示的数是m，则点C表示的数是，利用中点公式表示出M、N表示的数即可求解．
【详解】甲：如图1，当点B与点O重合时，
，故甲的说法错误；
乙：如图2，当点C与点A重合时，
设点P表示的数为x，则，
∴，故乙的说法正确；
丙：点B表示的数是m，则点C表示的数是，
∵O是原点，点A表示的数是4，M，N为线段的中点，
∴点M表示的数是，点N表示的数是，
∴，故丙的说法正确．
故选D．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键．
阅卷人
得分
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．如图，节日的焰火可以看成由点运动形成的，这可以说 ．
【答案】点动成线
【分析】由点，线，面，体的关系可得答案．
【详解】解：节日的焰火可以看成由点运动形成的，这可以说点动成线；
故答案为：点动成线．
【点睛】本题考查的是点，线，面，体，熟记点动成线，线动成面，面动成体是解本题的关键．
12．若一个角的补角是其余角的3倍，则这个角的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】设这个角的度数为x度，则其补角度数为度，余角度数为度，列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x度，则其补角度数为度，余角度数为度，，解得：，∴这个角的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际 ，余角和补角的定义，解题的关键是掌握相加等于的两个角互余，相加等于的两个角互补．
13．我们观察钟表可以发现钟表中有许多有趣的数学问题．若钟表从开始，设分针经过t分钟与时针第一次所成的角为，则t的值为 ．
【答案】4
【分析】先计算出时针和分针每分钟转动角度，以及时，时针分针夹角，再根据经过t分钟时针于分针夹角为，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
分针每分针转动角度，
时针每分钟转动角度，
时，时针分针夹角，
∴，解得：．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确计算出时针和分针每分钟转动角度，以及时，时针分针夹角，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
14．如图，两根木条的长度分别为6cm和10cm．在它们的中点处各打一个小孔M、N (小孔大小忽略不计)．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离MN= cm．
【答案】2或8
【分析】如图，设短的木条为AB，长的木条为CD，然后分B、C两点重合与A、C两点重合两种情况进一步分析求解即可.
【详解】如图，设短的木条为AB，长的木条为CD，
则：，，
①当B、C两点重合时，
此时；
②当A、C两点重合时，
此时；
综上所述，MN的长度为或，
故答案为：2或8.
【点睛】本题主要考查了线段的中点问题，熟练掌握相关方法是解题关键.
15．如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A的对应点为，点D的对应点为，且点在线段上．若，则的大小为 ．
【答案】/68度
【分析】根据折叠可知，，再根据平角可知：，进而可以求出．
【详解】解：由折叠知：，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查角的计算和折叠的性质，解题关键是结合图形熟练运用折叠的性质和平角的定义进行角的计算．
阅卷人
得分
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据角的四则混合运算法则计算即可，注意：；
【详解】（1）解：原式==
（2）解：原式==
【点睛】本题主要考查角的四则混合运算，明确是正确计算本题的关键．
17．如图，已知平面上四点，，，，请用尺规作图完成．（保留作图痕迹）
(1)画直线；
(2)画射线；
(3)反向延长线段；
(4)连接并延长到，使得；
(5)在四边形中寻找一点，使的值最小．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析(5)见解析
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）根据要求作图即可；
（3）根据要求作图即可；
（4）延长，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于一点，再以该点为圆心，的长为半径，画弧，交的延长线于点，即可；
（5）根据两点之间线段最短，连接，两条线段的交点即为点．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）如图，射线即为所求；
（3）如图，射线即为所求；
（4）如图，点即为所求；
（5）如图，点即为所求；
【点睛】本题考查画射线，线段和直线，尺规作图—作线段．熟练掌握射线，线段和直线的定义，是解题的关键．
18．如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．
(1)与互余的角是___________，互补的角是___________；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据得到，可得余角，再根据，可得补角；
（2）首先求出，再根据角平分线的定义求出，即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴与互余的角是；
∵，
∴与互补的角是．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，掌握互为余角、互为补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．
19．如图，已知线段，延长到，使得，反向延长到，使得．
(1)求线段的长；
(2)若为的中点，为线段上一点，且，求线段的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依据，，，即可得到B，进而得出的长；
（2）根据题意作出图形，分情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：，，
．
．
，
．
．
（2），为的中点，
．
．
．
当点在点右侧时，；
当点在点左侧时，．
即的长为或．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据线段的和差关系进行计算．
20．阅读材料并回答问题：数学课上，老师给出了如下问题：已知，如图1，，平分．若，请你补全图形，并求的度数．
同学一的解答如下：
解：如图2，作
因为，平分，
所以______________，
因为，
所以___________________________，
同学二说：“符合题目要求的图形还有一种情况．”
请你完成以下问题：
(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整；
(2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图中画出另一种情况对应的图形，并求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)正确，图见解析．
【分析】(1)根据角平分线的定义即可求得的度数；
(2)分为在直角内部和外部两种情况：再根据角平分线的定义即可求得的度数．
【详解】（1）解：如图2，作
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
（2）解：正确，理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差倍运算，理解角的平分线定义是解题的关键．
21．如图，P是线段上任一点，，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度，D点的运动速度为，运动的时间为．
(1)若，当D在线段上运动时，试说明；
(2)若，时，试探索的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）用t表示出、、的长度，即可证得；
（2）当时，求出、的长度，分点D在C的右边和点D在C的左边两种情况，分别根据线段的和差关系进行计算．
【详解】（1）解：由题意可知：，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：当时，，，
当点D在C的右边时，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点D在C的左边时，可得，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了列代数式，线段的和差计算，正确分类讨论是解题的关键．
22．【综合与实践】我们在《几何图形初步》这一章的课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”．小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究：
【动手操作】小明用一张正方形的纸板，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
小亮用一张长方形的纸张，按如图2所示的方式在纸板的四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒．
【问题解决】现有一块长为，宽为的长方形纸张，请探究：
(1)若，按图1所示的方式剪去的小正方形边长为，做成一个无盖的正方体纸盒，你发现与之间存在的数量关系为_________．
(2)若，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，你发现与之间存在的数量关系为_________．
(3)在（2）的条件下，若，求有盖正方体纸盒的表面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分析得出做成的无盖正方体纸盒的棱长是，进而可得；
（2）根据图形和正方体棱长都相等的性质可得，，化简得到，
（3）然后求出时的值，再根据正方体的表面积公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意可知，做成的无盖正方体纸盒的棱长是c，
故可得：，
故答案为：；
（2）如图所示
由图形可得：，，
∴，∴，故答案为：．
（3）∵，∴当时，，
∴此时有盖正方体纸盒的表面积为：．
【点睛】本题考查了列代数式，基本几何图形的性质与正方体的展开图，熟练掌握并灵活运用相关性质，找到图中边长的数量关系是解答的关键．
23．如图1，为直线上一点，过点在直线上方作射线，．将直角三角板的直角顶点放在点处，一条边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．
(1)如图2，当时，___________，___________，___________；
(2)当三角板旋转至边与射线相交时如图，试猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出t的取值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】(1)先根据已知求出、，再求出当时的旋转角的度数，再利用角的和与差求解即可；
()设旋转角为用表示和，即可得出结论；
()分①为的平分线；②为的平分线；③为的平分线三种情况，利用角平分线定义和旋转性质求出旋转角即可．
【详解】（1）解：，，
，，
当时，旋转角，
，，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
设旋转角为当三角板旋转至边 与射线 相交时，
，
，，
；
（3）存在，理由如下：
①当为的平分线时，旋转角，解得：；
②当为的平分线时，旋转角，解得：；
③当为的平分线时，，解得：，
综上，满足条件的t 的取值为或或
【点睛】本题考查角平分线的定义、几何图形中角度的计算，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
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考试时间：90分钟 满分：120分
学校:___________姓名:___________班级:___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
阅卷人
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．下面几何体中，是圆柱的为（ ）
A． B． C． D．
2．在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
A． B． C． D．
3．下图中用量角器测得的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（ ）
A．传 B．承 C．文 D．化
6．如图，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．往返，两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
8．在直线上取A，B，C三点，使得，如果O是线段的中点，那么线段的长为（ ）
A． B． C．或 D．以上结论都不对
9．如图，已知平分，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（ ）
甲：当点B与点O重合时，；
乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；
丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变
A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙
阅卷人
得分
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．如图，节日的焰火可以看成由点运动形成的，这可以说 ．
12．若一个角的补角是其余角的3倍，则这个角的度数为 ．
13．我们观察钟表可以发现钟表中有许多有趣的数学问题．若钟表从开始，设分针经过t分钟与时针第一次所成的角为，则t的值为 ．
14．如图，两根木条的长度分别为6cm和10cm．在它们的中点处各打一个小孔M、N (小孔大小忽略不计)．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离MN= cm．
15．如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A的对应点为，点D的对应点为，且点在线段上．若，则的大小为 ．
阅卷人
得分
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16．计算：
(1)； (2)．
17．如图，已知平面上四点，，，，请用尺规作图完成．（保留作图痕迹）
(1)画直线；
(2)画射线；
(3)反向延长线段；
(4)连接并延长到，使得；
(5)在四边形中寻找一点，使的值最小．
18．如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．
(1)与互余的角是___________，互补的角是___________；
(2)若，求的度数．
19．如图，已知线段，延长到，使得，反向延长到，使得．
(1)求线段的长；
(2)若为的中点，为线段上一点，且，求线段的长．
20．阅读材料并回答问题：数学课上，老师给出了如下问题：已知，如图1，，平分．若，请你补全图形，并求的度数．
同学一的解答如下：
解：如图2，作
因为，平分，
所以______________，
因为，
所以___________________________，
同学二说：“符合题目要求的图形还有一种情况．”
请你完成以下问题：
(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整；
(2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图中画出另一种情况对应的图形，并求的度数．
21．如图，P是线段上任一点，，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度，D点的运动速度为，运动的时间为．
(1)若，当D在线段上运动时，试说明；
(2)若，时，试探索的值．
22．【综合与实践】我们在《几何图形初步》这一章的课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”．小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究：
【动手操作】小明用一张正方形的纸板，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
小亮用一张长方形的纸张，按如图2所示的方式在纸板的四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒．
【问题解决】现有一块长为，宽为的长方形纸张，请探究：
(1)若，按图1所示的方式剪去的小正方形边长为，做成一个无盖的正方体纸盒，你发现与之间存在的数量关系为_________．
(2)若，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，你发现与之间存在的数量关系为_________．
(3)在（2）的条件下，若，求有盖正方体纸盒的表面积．
23．如图1，为直线上一点，过点在直线上方作射线，．将直角三角板的直角顶点放在点处，一条边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．
(1)如图2，当时，___________，___________，___________；
(2)当三角板旋转至边与射线相交时如图，试猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出t的取值，若不存在，请说明理由．
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