18.九年级数学（上）第24章《圆》专题卷A——核心考点归纳一点通（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
18.九年级数学（上）第24章《圆》专题卷A
核心考点归纳一点通
核心考点1 圆的有关概念
1．下列说法，①相等的圆心角所对的弦相等，②等弧所对的弦相等，③相等的圆心角所对的弧相等，①相等的弦所对的弧相等，其中错误的有 .
2．下列说法：①三点确定一个圆，②三角形的外心到三角形三边的距离的距离相等，
③三角形的外心一定在三角形外部，④三角形的内心一定在三角形内部，
⑤圆的切线垂直于半径，其中错误的有 .
核心考点2 垂径定理的应用
3．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 .
4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD＝2，则AM的长为 .
核心考点3 弧、弦、圆心角、圆周角之间的转化
一、角度计算
5.（课本题改）如图，在⊙O中，OA⊥BC．∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A.40° B.30° C.20° D.15°
6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝6，BC＝3，则∠BDC＝ 度
7.如图，点A，B，C，D在⊙O上，F是CD上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25，则∠E的度数为( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
二、长度计算
8．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC．若∠BAC与∠BCC互补，则弦BC的长为为（ ）
A. B. C. D.
9．如图，在⊙O中，弦AC＝4，点B是⊙O上一点，且∠ABC＝45°，∠BAO＝30°，则⊙O的半径R＝ ，AB＝ .
10．（课本题改）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，D为半圆的中点，若⊙O的半径为4，求CD的长
核心考点4：与圆有关的位置关系
11．△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，O为AB的中点，CD⊥AB于D，以C为圆心，3为半径作⊙C，下列说法：①点O在⊙C上，②点A在⊙C外，③点B在⊙C内，
④点D在⊙C上，其中正确的有 （填序号）
12．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C点为圆心，为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 .
13．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，以D为圆心，2为半径作⊙D，则⊙D与直线AB的位置关系是 .
核心考点5 切线的判定——证切线
14．如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切
15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作O的切线，交OC延长线于点F，连接BF，求证：BF是⊙O的切线
16．已知△ABC为⊙O的内接三角形，∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线.
核心考点6 切线的性质
（一）角度计算
17．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝40°，则∠ABC的度数为 .
18.如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠D＝40°，则∠ACE的度数为 .
19．如图，若以平行四边形ABCD的一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则∠C＝ 度，CD:AD＝ .
(二）长度计算
20.如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BE，AE交⊙O于点D，弦DC∥BE，且DA＝DC，若DE＝2，求OE的长
21．如图，△AEC中，AE＝CE＝13，以AE为直径的⊙O分别交CE，CA于B，D，过D作⊙O的切线DF交CE于F，若BE＝5，求AF的长
核心考点7 内切圆与切线长
22．如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，切点分别为E，F，求⊙O的半径长
23．如图，AB是⊙O的直径，CA，CD分别与⊙O相切于点A，D，若AB＝AC＝10,求AD的长
24.（课本题改）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆的中点，弦AD＝8，AB＝10，AE平分∠BAD交CD于点E，求AE的长
核心考点8 正多边形与圆
25．正三角形的边心距为3，则该正三角形的边长是 .
26.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 .
27，正六边形ACDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为 .
核心考点9 与长、扇形、圆锥有关的计算
28.如图，正方形ABCD内接于⊙O,M为上一点，连接BM，CM，BM＝CM，若⊙O的半径为2，则的长为 .
29．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝、则图中阴影部分的面积是 .
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，将△ABC绕A逆时针旋转60°后得到△ADE，若AC＝1，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 .
第28题 第29题 第30题
31.一个圆的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径长为 .
32．若用一张直径为20的半圆做成一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为 .
核心考点10 圆中的简单证明
一、证角度关系
33．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD．连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE,DF
（1）求证：∠E＝∠C
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数
二、证线段关系
34.如图正方形ABCD内接⊙O．在劣弧上取一点E，连接DE，BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，AF与DE相交于点G，求证：DG＝BE
35．（课本第90页13题改）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交AC于点F，交过点C的切线于点D
（1）求证：DC＝DP
（2）若∠CAB＝30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形，说明理由
18.九年级数学（上）第24章《圆》专题卷A
核心考点归纳一点通
核心考点1 圆的有关概念
1．下列说法，①相等的圆心角所对的弦相等，②等弧所对的弦相等，③相等的圆心角所对的弧相等，①相等的弦所对的弧相等，其中错误的有①③④.
2．下列说法：①三点确定一个圆，②三角形的外心到三角形三边的距离的距离相等，
③三角形的外心一定在三角形外部，④三角形的内心一定在三角形内部，
⑤圆的切线垂直于半径，其中错误的有①②③⑤ .
核心考点2 垂径定理的应用
3．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD＝2，则AM的长为.
【提示：证OD⊥BE】
核心考点3 弧、弦、圆心角、圆周角之间的转化
一、角度计算
5.（课本题改）如图，在⊙O中，OA⊥BC．∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（ C ）
A.40° B .30° C.2O ° D.15°
6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝6，BC＝3，则∠BDC＝30度
7.如图，点A，B，C，D在⊙O上，F是CD上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25，则∠E的度数为( B )
A.45° B.50° C.55° D.60°
二、长度计算
8．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC．若∠BAC与∠BCC互补，则弦BC的长为为（ B ）
A. B. C. D.
9．如图，在⊙O中，弦AC＝4，点B是⊙O上一点，且∠ABC＝45°，∠BAO＝30°，则⊙O的半径R＝，AB＝.
10．（课本题改）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，D为半圆的中点，若⊙O的半径为4，求CD的长
解，连AD，BC，作AF⊥CDF，则AF＝CF＝AC＝2
∵∠ADC＝30°，∴DF＝AF＝，∴CD＝
核心考点4：与圆有关的位置关系
11．△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，O为AB的中点，CD⊥AB于D，以C为圆心，3为半径作⊙C，下列说法：①点O在⊙C上，②点A在⊙C外，③点B在⊙C内，
④点D在⊙C上，其中正确的有②（填序号）
12．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C点为圆心，为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是相切.
13．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，以D为圆心，2为半径作⊙D，则⊙D与直线AB的位置关系是相离.
核心考点5 切线的判定——证切线
14．如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切
解：过D作DF⊥OB于F，证DE＝DF即可
15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作O的切线，交OC延长线于点F，连接BF，求证：BF是⊙O的切线
解：接OD，四边形AOCO是平行四边形，而OA＝OC，
∴四边形AOCD是菱形，∴△OAD和△OCD都是等边角形，
∴∠AOD＝∠COD＝60°,∴∠FOB＝60°，
∵DF为切线，∴OD⊥DF，∴∠FDO＝90°，∴△FDO≌△FBO，
∴∠OD＝∠OBF＝90°，∴OB⊥BF，∴BF是⊙0的切线
16．已知△ABC为⊙O的内接三角形，∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线.
证：作直径CM，接接BM，∴∠BCE＝∠A＝∠M，
∵∠M＋∠BCM＝90°，
∴∠BCM＋∠BCE＝90°,
∴CE是⊙O的切线。
核心考点6 切线的性质
（一）角度计算
17．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝40°，则∠ABC的度数为25°
18.如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠D＝40°，则∠ACE的度数为65°
19．如图，若以平行四边形ABCD的一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则∠C＝45度，CD:AD＝
(二）长度计算
20.如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BE，AE交⊙O于点D，弦DC∥BE，且DA＝DC，若DE＝2，求OE的长
解，AC，BD，易证△ACD是等边三角形，易证∠DBE＝∠BAE＝30°，
BE＝2DE＝，∴BD＝∴AB＝2BD＝,∴OB＝,∴
21．如图，△AEC中，AE＝CE＝13，以AE为直径的⊙O分别交CE，CA于B，D，过D作⊙O的切线DF交CE于F，若BE＝5，求AF的长
解:连OD，AB，则∠ABE＝90，易证OD为△ACE的中位线.
∴OD∥CE，设OD交AB于M，则DFBM为矩形，∴OM＝BE＝2.5
∵OD＝6.5，∴DM＝4＝BF，又∵AB＝
核心考点7 内切圆与切线长
22．如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，切点分别为E，F，求⊙O的半径长
解:S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝＝S△ABO＋S△BOD ,∴
即5×OE＋2×OE＝2×3,解得OE＝，∴⊙O的半径是.
23．如图，AB是⊙O的直径，CA，CD分别与⊙O相切于点A，D，若AB＝AC＝10,求AD的长
解：连BD，OC，设OC交AD于E，则OC⊥AD，AE＝DE易证△AEC≌△BDA，
故设BD＝DE＝AE＝x，在△ABD中，x2＋（2x)2＝102，x＝，∴AD＝
24.（课本题改）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆的中点，弦AD＝8，AB＝10，AE平分∠BAD交CD于点E，求AE的长
解，连BD，易证E为△ABD的内心，设△ABD内切圆半径为R，
则2R＝AD＋BD－AB，R＝2，作EG⊥AD于G，∴EG＝DG＝2，
∴AG＝6.∴AE
核心考点8 正多边形与圆
25．正三角形的边心距为3，则该正三角形的边长是
26.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是
27，正六边形ACDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为
核心考点9 与长、扇形、圆锥有关的计算
28.如图，正方形ABCD内接于⊙O,M为上一点，连接BM，CM，BM＝CM，若⊙O的半径为2，则的长为
29．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝、则图中阴影部分的面积是
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，将△ABC绕A逆时针旋转60°后得到△ADE，若AC＝1，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是
第28题 第29题 第30题
31.一个圆的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径长为3
32．若用一张直径为20的半圆做成一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为
核心考点10 圆中的简单证明
一、证角度关系
33．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD．连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE,DF
（1）求证：∠E＝∠C
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数
解：（1）连AD，则AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AB＝AC，∴∠C＝∠B＝∠E
（2）∠E＝∠B＝55°，∠BAD＝35°＝∠CAD，∴∠BDF＝180－∠BAC＝110°
二、证线段关系
34.如图正方形ABCD内接⊙O．在劣弧上取一点E，连接DE，BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，AF与DE相交于点G，求证：DG＝BE
解:连BF，易证四边形BEDF为形形，∴BE＝DF，
证∠DFA＝45°，∴DG＝DF，∴DG＝BE
35．（课本第90页13题改）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交AC于点F，交过点C的切线于点D
（1）求证：DC＝DP
（2）若∠CAB＝30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形，说明理由
解:（1）略
（2）菱形，证△AOF和△OCF都是等边三角形即可
21世纪教育网(www.21cnjy.com)