九年级数学（上）第24章《圆》专题卷B——核心思想方法归纳一点通（选用）（含答案）

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19.九年级数学（上）第24章《圆》专题卷B 核心思想方法归纳一点通（选用）
一、常见基本图形和基本结论梳理（不含相似及三角函数）
模型一 两弦垂直
1．
模型二 直径垂直于弦
2．直径AB⊥CD
3．
模型三 两半径垂直
4．CA＝CD
模型四 对角互补＋角平分线＋内心
5．
6．
模型五 等腰图
7．
8．AB＝AC基本结论
模型六 切割线图
9．基本结论
10．DE＝BE＝CE
模型七 双切图
11．
模型八 三切图
12． r＝
(a＋b＋c)·r＝b·h（h可求）
13．
二、综合题
（一）求最值
1．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF的最小值为 ．
2．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（ ）
A．12＋6 B．6＋3 C．12＋3 D．6＋4
3．如图，□ABCD中，∠A＝60°，AD＝3，CD＝4，点P是边AB上的动点，将△APD沿PD折叠，点A的对应点为Q，则△BOC面积的最小值为 ．
4．如图，P为⊙O内的一个定点， A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．3
5．如图，△ABC中，AB＝4，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E，若∠DOE＝60°，则CD的最大值为 ．
（二）求路径长
6．如图， AB为⊙O的直径，C为半圆上一点，∠CAB＝45°，AC＝4，点D在⊙O上，P为CD的中点，当点D沿半圆从点B运动至点A时，点P运动的路径长是 ．
7．如图，⊙O的半径为8，圆心角∠AOB＝120°，P为上的动点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，设过P、E、O、F的圆的圆心为O ，当点F从点O开始运动时起，到点E到达点O时止，点O 运动的路径长为 ．
8．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别为AD、CD上一动点，AE＝DF，BE、AF交于点M，当点E从点A运动到点D时，点M运动的路径长是 ．
9．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
10．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 ．
（三）证明与计算
11．如图，在⊙O中，＝，CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，AO的延长线交CD于点E．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若＝，求的值．
12．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，BC⊥CD于点C，交⊙O于点E，F是半圆的中点，EF交BD于点G，连接AE、OG．
（1）求证：点G是△ABE的内心；
（2）若BE＝6，CD＝4，求OG的长．
19.九年级数学（上）第24章《圆》专题卷B 核心思想方法归纳一点通（选用）
一、常见基本图形和基本结论梳理（不含相似及三角函数）
模型一 两弦垂直
1．
模型二 直径垂直于弦
2．直径AB⊥CD
3．
模型三 两半径垂直
4．CA＝CD
模型四 对角互补＋角平分线＋内心
5．
6．
模型五 等腰图
7．
8．AB＝AC基本结论
模型六 切割线图
9．基本结论
10．DE＝BE＝CE
模型七 双切图
11．
模型八 三切图
12． r＝
(a＋b＋c)·r＝b·h（h可求）
13．
二、综合题
（一）求最值
1．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF的最小值为 ．
解：作直径EM，连MF，∠M＝60°，EF＝EM＝AD．要使EF最小，只需使AD最小，故AD⊥BC，∴AD＝2，EF＝．
2．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点P为优弧上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（ ）
A．12＋6 B．6＋3 C．12＋3 D．6＋4
提示：易求∠P＝60°，∠C＝30°，作△ABC的外接圆⊙O ，当AB边上的高最大，即高过⊙O 的圆心O 时，△ABC的面积最大，此时高垂直平分AB．
3．如图，□ABCD中，∠A＝60°，AD＝3，CD＝4，点P是边AB上的动点，将△APD沿PD折叠，点A的对应点为Q，则△BOC面积的最小值为 ．
解：点Q在以D为圆心，DA为半径的圆上运动，过Q作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，当EF与，⊙O相切时，EF与BC之间的距离最小，S△BOC最小为3－．
4．如图，P为⊙O内的一个定点， A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．3
答案：A
5．如图，△ABC中，AB＝4，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E，若∠DOE＝60°，则CD的最大值为 ．
解：易证∠C＝60°，连AD，则∠ADB＝90°，∴CD＝AC，当AC取最大值时，CD的值最大，作△ABC的外接圆⊙M，当AC为⊙M的直径时，AC最大，∴AC最大＝，∴CD的最大值为．
（二）求路径长
6．如图， AB为⊙O的直径，C为半圆上一点，∠CAB＝45°，AC＝4，点D在⊙O上，P为CD的中点，当点D沿半圆从点B运动至点A时，点P运动的路径长是 ．
答案：2π．
7．如图，⊙O的半径为8，圆心角∠AOB＝120°，P为上的动点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，设过P、E、O、F的圆的圆心为O ，当点F从点O开始运动时起，到点E到达点O时止，点O 运动的路径长为 ．
答案：．
8．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别为AD、CD上一动点，AE＝DF，BE、AF交于点M，当点E从点A运动到点D时，点M运动的路径长是 ．
解：易证AF⊥BE，故点M在以AB为直径的圆上运动，此时点M运动的路径长为的长，
∴的长为＝．
9．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
答案：C
10．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为 ．
答案：cm．
（三）证明与计算
11．如图，在⊙O中，＝，CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，AO的延长线交CD于点E．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若＝，求的值．
解：（1）延长AE交BC于M，则AM⊥BC，BM＝CM，
∴∠BAM＝∠BCD＝∠BAD，
又∵AB⊥CD，∴AD＝AE；
（2）连接BE，设CE＝5，DE＝6，
易证DF＝EF＝3，CE＝BE＝5，∴BF＝4，设AF＝x，
在Rt△AFC中，x2＋82＝(x＋4) 2，∴x＝6，∴AB＝10＝AC，
∵BC＝＝＝4，∴＝．
12．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，BC⊥CD于点C，交⊙O于点E，F是半圆的中点，EF交BD于点G，连接AE、OG．
（1）求证：点G是△ABE的内心；
（2）若BE＝6，CD＝4，求OG的长．
解：（1）由＝可得∠AEF＝∠BEF，故再证BD平分∠ABE即可；
（2）易证AE＝2CD＝8，AB＝10，作GH⊥AB于H，GM⊥BE于M，GN⊥AE于N，
易得正方形EMGN，设GH＝GM＝EM＝EN＝x，
则BM＝6－x＝BH，AN＝8－x＝AH，
∴(6－x)＋(8－x)＝10，Rt△AFC中，x＝2，
∴BH＝4，OH＝1，∴OG＝＝．
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