第一单元长方体和正方体拔尖训练（单元练习）数学六年级上册苏教版（含答案）

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第一单元长方体和正方体拔尖训练（单元练习）数学六年级上册苏教版
一、选择题
1．如图，把这个长方体切成两个小长方体，下面说法不正确的是（ ）。
A．体积不变，表面积增加40平方厘米 B．体积不变，表面积增加48平方厘米
C．体积不变，表面积增加50平方厘米 D．体积不变，表面积增加60平方厘米
2．一个长方体的底面周长是20厘米，左面面积是20平方厘米，前面面积是30平方厘米，则下面面积是（ ）平方厘米
A．20 B．30 C．24 D．36
3．有10、8、5的小棒若干根，用橡皮泥做成不同的长方体或正方体框架（每条棱只用一根小棒），一共可以做（ ）种。
A．4 B．6 C．8 D．10
4．把下图中左边正方体的表面展开，得到的展开图是（ ）。
A． B． C． D．
5．下列说法正确的有（ ）个。
①一个正方体的棱长是6dm，它的体积和表面积相等。
②用12个棱长是1cm的小正方体摆成形状不同的长方体，可以摆成4种。
③用4个棱长都是2cm的小正方体可以拼成稍大一些的正方体。
④体积是1m3的长方体占地面积一定是1dm2。
⑤一个容器的容积就是它的体积。
A．1 B．2 C．3 D．以上都不对
6．一个长方体刚好切成3个相同的正方体，表面积增加了36dm2，原来长方体的体积是（ ）dm3。
A．108 B．81 C．432 D．648
二、填空题
7．至少用( )个棱长2厘米的小正方体可以拼成一个大正方体，拼成正方体的棱长和是( )厘米；如果用若干个棱长2厘米的小正方体拼成一个大正方体，用表示每条棱上小正方体的个数，那么拼成大正方体的体积是( )立方厘米。
8．长方体不同的三个面的面积分别为15平方厘米、10平方厘米和6平方厘米。这个长方体的体积是( )立方厘米。
9．用棱长1厘米的正方体摆长方体，像下面这样摆下去。
（1）把下表填完整。
摆小正方体的个数 1 2 3 …
摆成长方体的表面积 ( ) ( ) ( ) …
（2）当摆6个小正方体时，摆成的长方体的表面积是( )平方厘米。
（3）当摆成的长方体的表面积是50平方厘米时，一共摆了( )个小正方体。
（4）当摆个小正方体时，摆成长方体的表面积是( )平方厘米。
10．用棱长2厘米的小正方体依次摆出下面的长方体。照这样的摆法，用m（m＞3）个这样的小正方体摆成的长方体的表面积是( )平方厘米。
11．如图是用棱长1厘米的小正方体拼成的一个大长方体。
①这个长方体的长是( )厘米，宽是( )厘米，高是( )厘米，棱长总和是( )厘米，它是由( )个小正方体拼成的。
②这个长方体的6个面中，有( )个面是完全相同的长方形，每个面的面积是( )平方厘米。
12．一个底面是正方形的长方体铁箱，把它的侧面展开，如果正好得到一个边长是40厘米的正方形，那么这个铁箱的表面积是( )平方厘米；如果正好得到一个面积是320平方厘米的正方形，那么这个铁箱的表面积是( )平方厘米。
三、判断题
13．至少用4个小正方体可以拼成一个大长方体。( )
14．一个乒乓球的体积比1立方分米小。( )
15．一个棱长为6厘米的正方体，表面积和体积相等。( )
16．一个棱长是2分米的正方体，切成完全一样的两个长方体，表面积增加8平方分米。( )
17．如果将一个长方体的长宽高分别减少1分米，那么它的体积减少1立方分米。( )
四、解答题
18．一个长方体，若高减少4cm，则表面积会减少96cm ，这时长方体正好变成一正方体。原来长方体的体积是多少立方厘米？
19．一个长方体玻璃缸长7dm，宽5dm，高4dm，缸中水深2.8dm。如果放入一块棱长为4dm的正方体铁块，那么缸里的水溢出多少升？
20．一个正方体容器的棱长是40厘米，容器内的水面高35厘米，现将一根长60厘米、横截面的面积是400平方厘米的长方体铁棒垂直插入水中，会溢出多少升水？
21．为了引水灌溉，张圩村修建了一个长80米的水槽，水槽的横截面是一个边长8分米的正方形。
（1）如果要在水槽内壁的底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
（2）引水灌溉时，如果水槽内的水深6分米，水流速度是25米/分，这个水槽1小时可以引水多少立方米？
22．一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？
23．一个长方体木块，从它的上部和下部分别截去高4厘米和5厘米的长方体后，成为一个正方体，这样表面积比原来减少了216平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？（提示：可以先画出示意图帮助理解）
参考答案：
1．C
【分析】由于切割的方向不同，表面积增加的多少也不相同，分情况讨论。
【详解】
按第①种方法切，增加的表面积是（平方厘米）；
按第②种方法切，增加的表面积是（平方厘米）；
按第③种方法切，增加的表面积是（平方厘米）；
A、B、D正确，C错误，故答案选C。
【点睛】长方体每切一次，增加两个面，每拼接一次，减少两个面。
2．C
【分析】根据长方体的底面周长＝（长＋宽）×2，左面面积＝宽×高，前面面积＝长×高，据此找出长宽高的关系，分别求出它们的长度，下面面积＝长×宽，代入数据计算即可。
【详解】根据题意可知，在长方体中，（长＋宽）×2＝20（厘米），宽×高＝20（平方厘米），长×高＝30（平方厘米），由此可知：
宽×高＋长×高
＝高×（长＋宽）
＝20＋30
＝50（平方厘米）
因为长＋宽＝20÷2＝10（厘米）
所以高＝50÷10＝5（厘米）
宽：20÷5＝4（厘米）
长：30÷5＝6（厘米）
则下面的面积＝长×宽＝6×4＝24（平方厘米）
故选择：C
【点睛】此题考查有关长方体表面积的计算，明确每个面的计算方法，先求出长方体的高是解题关键。
3．D
【解析】正方体的棱长相等，每种棱长都可以组成一个正方体，可以组成3种，长方体的长、宽、高可以不同，列举出所有可能，最后加起来即可得解。
【详解】如果搭成正方体，有三种搭法，也就是棱长分别为10、8、5；
如果搭成长方体，长宽高可以分别为：（10，8，5）；（10，8，8）；（10，5，5）；（10，10，8）；（10，10，5）；（8，8，5）；（8，5，5）；有7种搭法。
所以总共3＋7＝10（种）
故答案为：D。
【点睛】本题主要考查长方体正方体棱的关系，正方体每条棱都相等，长方体的长宽高可以不同。
4．D
【分析】分析图形可知，阴影三角形、圆形和黑色正方形是两两相邻的三个面，并且阴影三角形的一条直角边是圆形所在正方形的一条边，据此选择。
【详解】A． 阴影三角形与黑色正方形是相对面，不合题意。
B．阴影三角形的直角边不是圆形所在正方形中的一条边，不合题意。
C．阴影三角形与黑色正方形是相对面，不合题意。
D． 阴影三角形、圆形和黑色正方形是两两相邻的三个面，并且阴影三角形的一条直角边是圆形所在正方形的一条边，符合题意。
故选择：D。
【点睛】此题主要考查正方体的展开图，找出三个面的相对位置是解题关键。
5．A
【解析】依次分析5个说法，看正确的有几个。
【详解】①体积和表面积是两种不同的量，无法比较大小，此说法错误；
②用12个棱长是1cm的小正方体摆成形状不同的长方体，可以摆成4种，分别是：长12厘米，宽1厘米，高1厘米；长6厘米，宽2厘米，高1厘米；长4厘米，宽3厘米，高1厘米；长3厘米，宽2厘米，高2厘米，此说法正确；
③根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长可知，用小正方体拼成大正方体，棱长最少拼2块，最少要用2×2×2＝8块，此说法错误；
④长方体的体积＝长×宽×高，如长方体的长是2米，宽1米，高0.5米，体积是2×1×0.5＝1立方米，但它的占地面积是2×1＝2平方米，此说法错误；
⑤容器的容积是从里面量的有关数据，不包括容器材料的厚度；体积是从外面量的数据，容积和体积不同，此说法错误。
只有②说法正确。
故答案为：A
【点睛】本题考查体积和表面积的认识，立体图形的拼搭，容积等多种知识，要对体积和表面积的相关知识熟练掌握。
6．B
【分析】根据题意可知，切成3个相同的正方体需要切3－1＝2次，因为每切一次增加2个正方形，所以一共增加了2×2＝4个正方形，用36除以4即可求出每个正方形的面积，根据正方形的面积可以求出它的边长，而正方形的边长＝切成的正方体的棱长＝长方体的宽＝长方体的高，长方体的长＝长方体的宽×3，据此解答即可。
【详解】36÷[（3－1）×2]
＝36÷4
＝9（平方分米）
9平方分米＝3分米×3分米
3×3×3×3＝81（立方分米）
故答案为：B
【点睛】主要考查立体图形的剪切问题，明确剪切后增加了几个面，以及增加的正方形的边长与原来长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键。
7． 8 48
【分析】根据正方体棱长相等的性质，则至少8个小正方体才能拼成较大的正方体；拼成的正方体棱长是2×2＝4厘米，根据棱长和公式即可求解；每条棱是2厘米，根据正方体体积公式即可求解。
【详解】2×2×2＝8（个）
2×2×12
＝4×12
＝48（厘米）
＝
【点睛】本题主要考查正方体的棱长和公式和体积公式的灵活运用。
8．30
【分析】由题意可得：长×宽＝15平方厘米，长×高＝10平方厘米，宽×高＝6平方厘米，所以（长×宽×高）2＝15×10×6＝900，900＝30×30，所以长方体的体积＝长×宽×高＝30立方厘米；据此解答。
【详解】设长方体的长、宽、高分别为：a、b、c
由分析得：a×b×a×c×b×c＝15×10×6
即（a×b×c）2＝900
由于900＝30×30
所以长方体的体积是30立方厘米。
【点睛】本题考查了长方体的体积，关键是要掌握长方体的特征以及长方体的体积公式。
9． 6 10 14 26 12 4n＋2
【分析】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×6，求出小正方体的表面积，即：1×1×6＝6平方厘米；根据题意，一个小正方体摆成长方体表面积是6平方厘米，可以写成：4×1＋2平方厘米；摆成2个小正方体，摆成长方体表面积是10平方厘米，可以写成：4×2＋2平方厘米；摆成3个小正方体，摆成长方体表面积可以写成：4×3＋2＝14平方厘米……；由此可以推出一般规律。
【详解】（1）根据分析可知，摆1个小正方体，摆成的长方体的表面积是：4×1＋2＝6（平方厘米）；
摆2个小正方体，摆成的长方体的表面积是：4×2＋2＝10（平方厘米）；
摆2个小正方体，摆成的长方体的表面积是：4×3＋2＝14（平方厘米）；
（2）摆6个小正方体，摆成的长方体的表面积是：6×4＋2＝26（平方厘米）；
（3）（50－2）÷4
＝48÷4
＝12（个）
当摆成的长方体的表面积是50平方厘米时，一共摆了12个小正方体；
（4）4×n＋2＝4n＋2（平方厘米）
当摆n个小正方体时，摆成长方体的表面积是：4n＋2平方厘米。
【点睛】根据题干中已知图形的排列特点，以及数量关系，推理得出一般规律进行解答，是此类问题的关键。
10．16m＋8
【分析】1个正方体由6个大小一样的面组成，根据正方体的拼接，2个正方体拼在一起会减少1×2＝2个面，3个正方体拼在一起减少2×2＝4个面，4个正方体拼在一起会减少3×2＝6个面，m个正方体拼在一起，会减少（m－1）×2个面，根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，即2×2×6＝24平方厘米，一个面的面积：2×2＝4平方厘米，则两个正方体拼成长方体的表面积：2×24－2×4；三个正方体拼成长方体的表面积：3×24－2×2×4；由此即可知道m个正方体拼成的长方体的表面积：m×24－2×（m－1）×4，化简即可。
【详解】正方体的表面积：
2×2×6
＝4×6
＝24（平方厘米）
一个面的面积：2×2＝4（平方厘米）
由分析可知，m个小正方体摆成的长方体的表面积：
24m－2×（m－1）×4
＝24m－8m＋8
＝16m＋8（平方厘米）
【点睛】本题主要考查正方体的表面积公式、立体图形的拼接以及用字母表示数，仔细的发现规律再解答。
11． 4 3 3 40 36 4 12
【分析】①由题意可知：长方体的长等于1×4厘米，宽等于1×3厘米，高等于1×3厘米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数值即可解答，用长方体的体积除以小正方体的体积即可求出小正方体的数量。
②由图可知，它的上下前后4个面的形状相同，根据长方形的面积计算公式长×宽代入数值计算即可。
【详解】①这个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是3厘米，棱长总和为：
（4＋3＋3）×4
＝10×4
＝40（厘米）
长方体的体积：
4×3×3
＝12×3
＝36（立方厘米）
小正方体体积；
1×1×1＝1（立方厘米）
36÷1＝36（个）
②这个长方体的6个面中，有4个面是完全相同的长方形，每个面的面积为：
3×4＝12（平方厘米）
【点睛】此题考查了长方体的体积的计算应用，关键是结合图形明确长方体的长宽高的值。
12． 1800 360
【分析】第一个空，底面边长是40÷4厘米，高40厘米，据此求出原长方体表面积；第二个空，用侧面积÷4，求出一个侧面积，因为长方体的高＝底面边长×4，一个侧面积相当于4个底面积，用一个侧面积÷4，求出底面积，侧面积＋底面积×2即可。
【详解】40÷4＝10（厘米）
10×40×4＋10×10×2
＝1600＋200
＝1800（平方厘米）
320÷4÷4＝20（平方厘米）
320＋20×2
＝320＋40
＝360（平方厘米）
【点睛】关键是熟悉长方体特征，灵活运用长方体表面积公式。
13．×
【分析】根据长方体和正方体的特征可知，用2个小正方体就可以拼成一个大长方体。据此解答。
【详解】至少用2个小正方体可以拼成一个大长方体。如图：

原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题考查了小正方体拼组长方体的方法。
14．√
【分析】1立方分米的体积就是长、宽和高都是1分米的物体，根据生活实际，乒乓球的体积比1立方分米小，由此解答即可。
【详解】根据分析可知，一个乒乓球的体积比1立方分米小。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查在生活实际中，能够正确体验1立方分米的大小。
15．×
【分析】正方体的六个面的总面积叫做它的表面积；正方体的表面积＝棱长×棱长×6；物体所占空间的大小叫做物体的体积；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；表面积和体积是不同类量，所以它们不能比较大小，据此解答。
【详解】6×6×6
＝36×6
＝216（平方厘米）
6×6×6
＝36×6
＝216（立方厘米）
正方体的表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米，它们的单位不同，所以不能比较大小。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】正方体的表面积和体积是两个不同的概念，明确不是同类量不能比较大小是解答本题的关键。
16．√
【分析】根据题意可知，把棱长是2分米的正方体切成完全一样的两个长方体，这两个长方体的表面积和比原来正方体的表面积增加了两个切面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式求出这两个切面的面积与8平方分米进行比较即可。
【详解】2×2×2
＝4×2
＝8（平方分米）
8＝8
因此，题干中的说法是正确的。
故答案为：√
【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体的表面积的意义，以及正方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
17．×
【分析】假设长方体的长是4分米，宽是3分米，高是2分米，则根据长方体的体积公式，求出原来的体积和减少后的体积，由此即可比较。
【详解】假设长方体的长是4分米，宽是3分米，高是2分米
体积：4×3×2
＝12×2
＝24（立方分米）
减少后的长：4－1＝3（分米）
减少后的宽：3－1＝2（分米）
减少后的高：2－1＝1（分米）
减少后的体积：3×2×1
＝6×1
＝6（立方分米）
故答案为：×。
【点睛】本题主要考查长方体的体积公式，熟练掌握长方体的体积公式并灵活运用。
18．360立方厘米
【分析】根据题意可知，长方体的底面是一个正方形，表面积减少的面积除以高减少的长度求出底面周长，再除以4，求出底面边长，长方体原来的高＝底面边长＋4厘米，根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据计算即可。
【详解】96÷4÷4
＝24÷4
＝6（cm）
6×6×（6＋4）
＝36×10
＝360（立方厘米）
答：原来长方体的体积是360立方厘米。
【点睛】此题考查长方体的体积计算，根据表面积的减少量，求出长方体的底面边长是解题关键。
19．22升
【分析】先求出玻璃缸内水面以上部分的体积，用长×宽×（高－水深）来计算，再用正方体铁块的体积－玻璃缸内水面以上部分的体积即可。
【详解】4×4×4－7×5×（4－2.8）
＝64－42
＝22（立方分米）
22立方分米＝22升
答：缸里的水溢出22升。
【点睛】此题考查了长方体、正方体的体积公式的灵活运用，找准数量关系，认真解答即可。注意体积单位和容积单位的换算。
20．8升
【分析】先求出正方体容器剩余的容积，再和铁棒垂直插入水中部分的体积作对比，看水是否会溢出，如果溢出，则用铁棒垂直插入水中排出水的体积，即水中部分的铁棒体积减去容器剩余部分的体积即可求出溢出水的体积。
【详解】正方体容器剩余的体积：
40×40×（40－35）
＝1600×5
＝8000（立方厘米）
铁棒垂直插入水中部分的体积：
400×40＝16000（立方厘米）
16000立方厘米＞8000立方厘米
所以，水会溢出，则溢出水的体积：
16000－8000＝8000（立方厘米）＝8升
答：会溢出8升水。
【点睛】本题考查体积公式的应用，关键是要判断铁棒插入水中后会不会溢出，再进行后面的计算。
21．（1）192平方米
（2）720立方米
【分析】（1）通过题目可知，这个水槽的长是80米，宽是8分米，高是8分米，这个水槽的前面和后面不需要水泥的，由于要往水槽里引水，在底面和侧面抹上水泥，则求这个水槽的3个面的面积，即长×高×2＋长×宽，把数代入公式即可求解。
（2）由于6分米＝0.6米，1分钟能引水：0.6×0.8×25，则1小时的引水量，把1分钟引水量乘60即可。
【详解】（1）8分米＝0.8米
80×0.8×2＋80×0.8
＝128＋64
＝192（平方米）
答：抹水泥的面积是192平方米。
（2）1小时＝60分
0.6×0.8×25×60
＝0.48×25×60
＝12×60
＝720（立方米）
答：这个水槽1小时可以引水720立方米
【点睛】本题主要考查长方体的表面积和体积的公式，要注意这个水槽只有3个面是解题的关键。
22．245立方厘米
【分析】由题意可知：高增加2厘米，就变成一个正方体。说明长方体的底面是正方形且高比底面边长少2厘米，这时表面积比原来增加56平方厘米。表面积增加的部分是高为2厘米的4个侧面的面积，由此可以求出一个侧面的面积，进而求出原来长方体的底面边长，再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】底面边长：56÷4÷2＝7（厘米）
高：7－2＝5（厘米）
7×7×5＝245（立方厘米）
答：原来长方体的体积是245立方厘米。
【点睛】此题关键是根据增加的面积求出长方体的底面边长。
23．540立方厘米
【分析】如图，由题意可知，这是一个上、下面为正方形的长方体，从上部和下部分别截去高为4厘米和5厘米的长方体后，把截去的部分拼在一起，新增加的部分是一个展开后长为上、下底边长4倍，宽为（4＋5）厘米的长方形；根据长方形的面积计算公式“S＝ab”，即可求出这个长方形的长，长方形的长除以4就是中间剩下的正方体的棱长，即原长方体的长、宽，高是长加上（4＋5）厘米；根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可求出原长方体的体积
【详解】如图：
根据分析得：
216÷（4＋5）÷4
＝216÷9÷4
＝6（厘米）
6×6×（6＋4＋5）
＝36×15
＝540（立方厘米）
答：原来长方体的体积是540立方厘米。
【点睛】解答此题的关键，也是难点是求出中间所剩正方体的棱长，也就是原长方体的长、宽。
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