海口嘉勋高级中学
2023 年 9 月高二年级开学考数学试卷
一、单选题(本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分)
1．下列说法：
①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任意一个向量共线． 其中，正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图所示，已知 AD，BE 分别为△ABC 的边 BC，AC 上的中线，＝，＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量＝（1，2），＝（3，1），则＝（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3）
3．若复数 z＝（2﹣i）（4﹣i），则 z 的共轭复数为（ ）
A．﹣7﹣6i B．﹣7+6i C．7﹣6i D．7+6i
4．200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[60，70）的汽车大约有（ ）
A．30 辆 B．40 辆 C．60 辆 D．80 辆
5．从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球则这 2 个球的编号之和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为， ，，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 a，b 为两条不同的直线，α，β 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 a∥b，b α，则 a∥α B．若 a α，b β，a∥b，则 α∥β
C．若 α∥β，a α，b β，则 a∥b D．若 α∥β，a α，则 a∥β
二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9．若 a，b∈R，且（a+i）i＝b+i，则（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C． b＝1 D． b＝﹣1
10．棱台具备的特点有（ ）
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
11．如图，在四面体 PABC 中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F 分别是棱 AB，BC，CA 的中点，则下列结论中成立 的是（ ）
A．BC∥平面 PDF B．DF⊥平面 PAE
C．平面 PDF⊥平面 PAE D．平面 PDF⊥平面 ABC
12．为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况，从中抽取了 20 名运动员的年龄进行统计分析．就这个问 题，下列说法中正确的有（ ）
A．2000 名运动员是总体
B．所抽取的 20 名运动员是一个样本 C．样本容量为 20
D．每个运动员被抽到的机会相等
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. ﹣4+5i+（i﹣2）2＝ ．
14．已知、是两个不共线的向量，＝k2+（1﹣k）和＝2+3 是两个共线向量，则实数 k
＝ ．
15．某钢木家具厂为某游泳比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂生产的 2500 套座椅进行抽检，共抽检了 100
套，发现有 5 套次品，则该厂生产的 2500 套座椅中大约有 套次品．
16．在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB＝3，BC＝2，，求 sin∠ABD 的值 ．
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17（10 分）．如图，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点，E、F 分别是 PA、BD 上的点且 E、F 分别 是 PA、BD 的中点．求证：EF∥平面 PBC．
18（12 分）．设 A，B，C，D 为平面内四点，且 A（1，3），B（2，﹣2），C（4，﹣1）．
（1）若，求 D 点坐标；
（2）设向量，若与平行，求实数 k 的值．
19（12 分）．某数学兴趣小组共有 5 名学生，其中有 3 名男生 A1、A2、A3，2 名女生 B1、B2，现从中随机抽取 2
名学生参加比赛．
（1）问共有多少个基本事件（列举说明）？
（2）抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？
20（12 分）．已知三棱锥 P﹣ABC 中，PC⊥底面 ABC，AB＝BC，D、F 分别为 AC、PC 的中点，DE⊥AP 于 E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面 BDE；
（Ⅱ）求证：平面 BDE⊥平面 BDF．
21（12 分）．在△ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2c2＝（2a﹣b）a+（2b﹣a）b．
（1）求角 C 的大小；
（2）求 2cosA+2cosB 的最大值．
22（12 分）．某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，乙班为实验班，甲班为对比班，甲、乙两 班均有 50 人，一年后对两班进行测试，成绩分别如表 1 和表 2 所示 （总分：150 分）．
表 1
成绩 [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130）
频数 4 20 15 10 1
表 2
成绩 [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130）
频数 1 11 23 13 2
（1）现从甲班成绩位于[90，120）内的试卷中抽取 9 份进行试卷分析，用什么抽样方法更合理？并写出最后 的抽样结果．
（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是 101.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分 相差几分．嘉勋高级中学2023-2024学年高二上学期9月开学考试数学试卷
参考答案
一、选择题（共8小题）
1—8 CB D D A B D B
二、多选题（共4小题）
9．AD 10 ．ABD 11．ABC 12．CD．
三．填空题（共4小题）
13．﹣1+i 14．﹣2或 15．125 16．
四、解答题（共6小题）
17．
证明：∵点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，
E、F分别是PA、BD上的点且E、F分别是PA、BD的中点，
∴AC∩BD＝F，∴EF∥PC，
∵EF 平面PBC，PC 平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
18．
解：（1）设D（x，y）．∵，
∴（2，﹣2）﹣（1，3）＝（x，y）﹣（4，﹣1），
化为（1，﹣5）＝（x﹣4，y+1），
∴，解得，
∴D（5，﹣6）．
（2）∵＝＝（1，﹣5），＝＝（4，﹣1）﹣（2，﹣2）＝（2，1）．
∴k ＝k（1，﹣5）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣5k﹣1），+3＝（1，﹣5）+3（2，1）＝（7，﹣2）．
∵与平行，
∴7（﹣5k﹣1）﹣2（k﹣2）＝0，解得k＝ ．
∴k＝ ．
19．
解：（1）（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，A3）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B1）、（A3，B2）、（B1，B2）共10个；
（2）记事件“抽取的学生恰有一男生一女生”为A，则A包含基本事件（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B1）、）（A3，B2）共6个，因此．
20．
解：（Ⅰ）∵PC⊥底面ABC，BD 底面ABC，
∴PC⊥BD；
又AB＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，PC∩AC＝C，
∴BD⊥平面PAC，PA 平面PAC，
∴PA⊥BD，又DE⊥AP，BD∩DE＝D，
∴AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）由AP⊥平面BDE知，AP⊥DE；又D、F分别为AC、PC的中点，
∴DF是△PAC的中位线，∴DF∥AP，∴DF⊥DE，即∠EDF＝90°，
由BD⊥平面PAC可知，DE⊥BD，DF⊥BD，∠EDF为平面BDE与平面BDF的二面角，又∠EDF＝90°，
∴平面BDE⊥平面BDF．
21．
解：（1）由2c2＝（2a﹣b）a+（2b﹣a）b，
化简得，a2+b2﹣c2＝ab，
则cosC＝＝，
由于0＜C＜π，则C＝；
（2）由C＝，则A+B＝，
可令A＝，B＝（﹣＜α＜），
则2cosA+2cosB＝2[cos（）+cos（）]
＝2（cosα+sinα+cosα﹣sinα）
＝2cosα，
由﹣＜α＜，则＜cosα≤1，
当α＝0，即A＝B＝C＝，2cosA+2cosB取得最大值2．
22．
解：（1）因为[90，120）内共有3段数据，且3段成绩有明显的差异，所以用分层抽样方法更合理；
在[90，100），[100，110），[110，120），共有20+15+10＝45（人），
从中抽取9人，抽样比为＝，
在[90，100）中应抽取20×＝4（人），
在[100，110）中应抽取15×＝3（人），
在[110，120）中应抽取10×＝2（人），
（2）估计乙班的平均分数为＝×（85×1+95×11+105×23+115×13+125×2）＝105.8（分），
所以两班的平均分相差约为105.8﹣101.8＝4（分）．
