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3.1函数的概念极其表示
1 概念
设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2 定义域
① 概念 函数自变量的取值范围.
② 求函数的定义域主要应考虑以下几点
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于；
(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.
3 值域
① 概念 函数值的取值范围
② 求值域的方法
(1)配方法 (2)数形结合 (3) 换元法 (4)分离常数法 (5)基本不等式法
4 区间
实数集表示为.
二 函数的表示方法
1表格法
如上表，我们很容易看到与之间的函数关系.
在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.
2 图像法
如上图，很清晰的看到某天空气质量指数与时间两个变量之间的关系，特别是其趋势.
数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.
3 解析式
求函数解析式的方法
(1)配凑法 (2)待定系数法 (3)换元法 (4)构造方程组法
1 函数概念的理解
例1．设集合给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是 ( )
【解析】(本题相当把看成定义域，看成值域)
图象不满足条件，因为当时，中没有值与之对应.
图象不满足条件，因为当时，中没有值与之对应.
图象不满足条件，因为对于集合中的每一个值，在集合中有个值与之对应，不满足函数的定义.
只有中的图象满足对于集合中的每一个值，在中都有唯一确定的一个值与之对应，故选.
例2． 给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是( )
① ②
③ ④ ．
① ② ③ ．④
【解析】①由得，不满足函数的定义，
比如，，所以①不是函数．
②由得，，
所以，所以②不是函数．
③由1得，满足函数的定义，所以③是函数．
④要使函数有意义，则，解得，此时不等式组无解，所以④不是函数．
故选：．
2求函数的定义域
例1．函数的定义域是 .
【解析】要使函数有意义，则，即.
即或，即函数的定义域为．
例2． 下列各组函数中表示的函数不同的是 ( )
．
．
【解析】的定义域和对应法则相同，表示同一函数，
中的定义域是，定义域为，
两个函数的定义域不相同，不是同一函数.故选：．
例3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【解析】【解答】A中，的定义域为，的定义域为R，A不符合题意；
B中，，B符合题意；
C中，的定义域为R，的定义域为，C不符合题意；
D中，的定义域为，由可得的定义域为，D不符合题意.
故答案为：B
【点拨】
① 判断两个函数是否是同一函数，看函数的定义域和解析式是否均相同；
② 函数反应的是两个变量的关系，至于用什么字母表示都一样，故选项的
是同一函数.
例4. 若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围．
【答案】
【解析】解：由题意得 对一切 都成立,
当 时， ，满足要求；
当 时，则有 ，解得 ，
综上得：实数 的取值范围是
例5．的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】因为，所以，所以，
所以的定义域为，
所以由，得，
所以的定义域为，
故答案为：C
例6． 已知定义域为，求的定义域.
【解析】
故函数的定义域是.
3求函数的值域
3.1 基本初等函数值域
1 一次函数
例1. 求的值域。
例2. 求的值域。
【答案】
【解析】【解答】解：∵函数是一次函数
∴代入所对应的函数值确定的范围即为函数的值域
故值域为：
总结：一次函数在给定义域的情况下，带入端点值即可求出值域。
2 二次函数
例1. 已知函数 则函数的值域为________．
【答案】
【解析】 【解答】 ，则 在 为减函数，在 为增函数，所以 时 有最小值 , 时 有最大值 ，所以函数 值域为 .
例2. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】【解答】解：函数，对称轴为：，开口向上，函数的最大值为：，
最小值为：．
函数的值域为：．
故选：A．
例3. 求的值域。
3 反比例函数
例1. 求的值域。
例2. 求的值域。
例3. 求的值域。
总结：在反比例函数中，定义域里包含,，；
定义域里不包含，直接带入端点值即可求出值域。
方法1 配方法
例1．求函数在区间的值域.
【解析】
，，
即的值域.
【点拨】配方法针对二次函数型的函数值域.
方法2 数形结合
例2． 求函数的值域.
【解析】(这是分段函数，两段函数均为二次函数，其图像易得，故可用数形结合求值域)
，开口向下，最大值为
而
开口向上，而，
可得到函数图像如右图，易得函数值域为.
方法3 换元法
例3．求函数的值域.
【解析】令，(要注意新变量的取值范围)
得，
原函数化为 (把函数转化为二次函数值域问题)
函数的值域为.
【点拨】本题利用换元法把不熟悉函数值域问题转化为熟悉的二次函数值域问题，
即求函数的值域的值域，其中特别注意不能忽略！这正是体现了数学中的“等价转化”思想.
例4．函数在上的值域为 ．
【解析】，
(本题主要是注意到了和均可或的形式，故想到换元法)
令，因为，所以，
原函数的值域等价于函数的值域，
由二次函数的性质可知，，即所求函数的值域为．
【点拨】
① 换元法的本质就是“整体思想”，它能把“不太友善的”表示形式转化为“友善的”，前题均用换元法把复杂形式函数转化为二次函数，故解题过程中特别要注意式子的结构特征.
② 换元法要注意换元后变量的取值范围，比如典题的， 典题中的.
方法4 分离常数法
1. 观察函数类型，型如；
2. 对函数变形成形式；
3. 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.
例5. 函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】【解答】∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴函数 = 的值域为：．
故答案为：A．
例6． 求函数的值域.
【解析】函数，
(在分子中“凑出”分母，最终达到“分式中的分子是个常数”的目的)
，
故函数的值域是
方法5 基本不等式法(对勾函数法)
例7．求函数的值域.
【解析】 ，(也有点分离常数法的感觉)
①当时，；(这个不能漏)
②当时，，当且仅当时成立；
此时，(利用对勾函数的图像求解也可以)
函数的值域为．
课后练习:
1．函数与函数 ( )
是同一个函数 定义域相同 图象重合 值域相同
【答案】
【解析】由于函数中的范围与函数中的范围相同，且两个函数具有相同的对应关系，
故函数与函数具有相同的值域，
故选：．
2．函数的定义域为 .
【答案】
【解析】解得，，且；
的定义域为：．
3．已知函数定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【解析】的定义域为；；；
的定义域为；
满足：；；
的定义域为．
4．函数的值域是为 .
【答案】
【解析】，，
，
故函数的值域是．
5．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设，则 ，则原函数可转化为 ，
∴根据反比例函数的性质，可得 .
故答案为：C.
6．函数的值域为 .
【答案】
【解析】，
则当时，为增函数，
则，即，
即函数的值域为．
7．函数的值域为 .
【答案】
【解析】令，
函数化为
，即函数的值域为．
8．求函数的值域.
【答案】
【解析】
，
当且仅当时，即 时等号成立，，
所以原函数的值域为.
4分段函数
例1．设函数，若，则 ．
【解析】由题意，得
①当时，有，解之得，
而不符合，所以；
②当时，有，解之得．
综上所述，得或．
例2．已知函数，若互不相等的实数满足
，则的取值范围为 .
【解析】(乍眼一看，不太理解题意，设，本题就函数与交点横坐标的问题，自然想到数形结合)
函数的图象，如图，
不妨设，
则关于直线对称，故，
且满足；
则的取值范围是；
即．
【点拨】分段函数本质上是“分类讨论”，特别要注意“每段函数”的定义域.
处理分段函数的性质问题(值域、交点等)常常用数形结合的方法.
5求函数解析式
方法1 配凑法
例1．已知求的解析式.
【解析】
(注意函数的定义域)
【点拨】本题主要是观察到与之间存在“完成平方”的关系.
例2. 已知，则________．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
=
=
= ，
∴．
故答案为：．
方法2 待定系数法
例3．已知函数是二次函数，若，求的解析式．
【解析】依题意可设，
若，且，
且
即，
，解得．
；
【点拨】当函数的类型已知，利用待定系数法可求函数解析式.
例4. 若 是一次函数， 且，则 ________.
【答案】 或-2x+1
【解析】【解答】由题意可设 ，
，
又 ，
，解得 或 ，
或 ，故答案为 或 .
方法3 换元法
例5．已知求.
【解析】令，则，
，
.
【点拨】
用换元法时注意新变量的取值范围.
② 用配凑法，但要求观察力足够好.
方法4 构造方程组法
例6．设满足求的解析式.
【解析】 ①
显然，将换成，得：②
解①②联立的方程组，得：.
例7. 已知 ，则 的解析式是________．
【答案】
【解析】【解答】将等式 中的 换为 得到：
故有 解得：
故答案为：
课后练习:
1．已知函数，若，则的值是 ．
【答案】 或
【解析】由题意，当时，，得，
又，所以；
当时，，得，舍去．
2．已知 ，则 ________.
【答案】
【解析】【解答】解： ，
故 ，
故答案为： ．
3．已知一次函数满足条件，则函数的解析式为 ．
【答案】
【解析】设，，
，
，即，
，解可得，，
.
4．已知，则函数的解析式为 ．
【答案】
，
．
5. 已知 满足 ，求 ．
解：∵ ①
∴ ②
① ②-②得 ,
故
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3.1函数的概念极其表示
1 概念
设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数．记作：．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
2 定义域
① 概念 函数自变量的取值范围.
② 求函数的定义域主要应考虑以下几点
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于；
(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.
3 值域
① 概念 函数值的取值范围
② 求值域的方法
(1)配方法 (2)数形结合 (3) 换元法 (4)分离常数法 (5)基本不等式法
4 区间
实数集表示为.
二 函数的表示方法
1表格法
如上表，我们很容易看到与之间的函数关系.
在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.
2 图像法
如上图，很清晰的看到某天空气质量指数与时间两个变量之间的关系，特别是其趋势.
数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.
3 解析式
求函数解析式的方法
(1)配凑法 (2)待定系数法 (3)换元法 (4)构造方程组法
1 函数概念的理解
例1．设集合给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是 ( )
例2． 给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是( )
① ②
③ ④ ．
① ② ③ ．④
2求函数的定义域
例1．函数的定义域是 .
例2． 下列各组函数中表示的函数不同的是 ( )
．
．
例3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【点拨】
① 判断两个函数是否是同一函数，看函数的定义域和解析式是否均相同；
② 函数反应的是两个变量的关系，至于用什么字母表示都一样，故选项的
例4. 若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围．
例5．的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例6． 已知定义域为，求的定义域.
3求函数的值域
3.1 基本初等函数值域
1 一次函数
例1. 求的值域。
例2. 求的值域。
2 二次函数
例1. 已知函数 则函数的值域为________．
例2. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
例3. 求的值域。
3 反比例函数
例1. 求的值域。
例2. 求的值域。
例3. 求的值域。
方法1 配方法
例1．求函数在区间的值域.
方法2 数形结合
例2． 求函数的值域.
方法3 换元法
例3．求函数的值域.
例4．函数在上的值域为 ．
方法4 分离常数法
观察函数类型，型如；
例5. 函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
例6． 求函数的值域.
方法5 基本不等式法(对勾函数法)
例7．求函数的值域.
课后练习:
1．函数与函数 ( )
是同一个函数 定义域相同 图象重合 值域相同
2．函数的定义域为 .
3．已知函数定义域为，则函数的定义域为 .
4．函数的值域是为 .
5．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的值域为 .
7．函数的值域为 .
8．求函数的值域.
4分段函数
例1．设函数，若，则 ．
例2．已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围为 .
5求函数解析式
方法1 配凑法
例1．已知求的解析式.
例2. 已知，则________．
方法2 待定系数法
例3．已知函数是二次函数，若，求的解析式．
例4. 若 是一次函数， 且，则 ________.
方法3 换元法
例5．已知求.
方法4 构造方程组法
例6．设满足求的解析式.
例7. 已知 ，则 的解析式是________．
课后练习:
1．已知函数，若，则的值是 ．
2．已知 ，则 ________.
3．已知一次函数满足条件，则函数的解析式为 ．
4．已知，则函数的解析式为 ．
5. 已知 满足 ，求 ．
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