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3.2函数的单调性
1 函数单调性的概念
一般地，设函数的定义域为，区间:
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
Eg：在上单调递减，但它不是减函数，
特别注意它的减区间是，不是.
2 单调性概念的拓展
① 若递增，，则.
比如：递增，则.
② 若递增，，则.
比如：递增则.
递减，有类似结论！
3 判断函数单调性的方法
① 定义法
解题步骤
(1) 任取，且；
(2) 作差；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差的正负)；
(5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)．
② 数形结合
③ 性质法
增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是.
④ 复合函数的单调性
(1)如果则称为的复合函数；
比如： (和的复合函数)；
(和的复合函数)；
(和的复合函数).
(2) 同增异减
设函数的值域是，函数
若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增；
若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减.
4 函数的最值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1) ，都有；(2)，使得；
那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义)
简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.
1基本初等函数的单调性
1. 一次函数的单调性
；。
2. 二次函数的单调性
。
3. 反比例函数
；。
2函数的单调性的证明
例1．判断在的单调性.
【解析】设
则
(因式分解方便判断差的正负)
(1) 假如则
又所以故函数单调递减；
(2) 假如则
又所以故函数单调递增；
所以函数在内单调递减，在内单调递增．
例2．证明函数在上是增函数.
【解析】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1=
=
∵ ∴．
，即
在上是增函数．
3常见函数的单调性
例1．下列四个函数中，在 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】对于A， 在 内单调递减，在 内单调递增，所以A符合题意；
对于B， 在 内单调递减，所以在 内也单调递减，所以B不符合题意；
对于C， 在 内单调递减，在 内单调递增，所以在 内单调递增错误，即C不符合题意；
对于D， 在在 内也单调递减，所以D不符合题意.
综上可知，A为正确选项，
故答案为：A.
例2．函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【解析】【解答】函数的图象如图所示：
由图象知：其单调递增区间是，
故答案为：
4复合函数的单调性
例1．函数的单调减区间为 .
【解析】函数是由函数和组成的复合函数，
函数的定义域是
(优先考虑定义域，否则容易选)
由二次函数图像易得在单调递减，在单调递增，
而在是单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．
例2．函数的单调递增区间为 ．
【答案】和
【解析】【解答】要使有意义，则，解得且
设，且
则在和单调递减，在和单调递增，
所以的单调增区间为和，
故答案为：和
【点拨】
① 研究函数的基本性质，优先考虑定义域；
② 研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.
课后练习:
1．下列四个函数在是增函数的为( )
【答案】
【解析】对于，二次函数，开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故不对．
对于，一次函数，，在是减函数，故不对．
对于，二次函数，开口向下，对称轴为，在)是增函数，故C不对．
对于，反比例类型，，在是增函数，故对．
故选：．
2．设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是( )
．在上为减函数 ．在上为增函数
．在上为增函数 ．在上为减函数
【答案】
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，若，则，在上不是减函数，错误；
对于，若，则，在上不是增函数，错误；
对于，若，则，在上不是增函数，错误；
对于，函数在上为增函数，
则对于任意的，设，必有，
对于，则有，
则在上为减函数，正确；
故选：．
3．函数的递减区间为 ．
【答案】
【解析】当时，，对称轴为，此时为增函数，
当时，，对称轴为，抛物线开口向下，当时，为减函数，
即函数的单调递减区间为，
故选：．
4．函数的单调递减区间为 ．
【答案】
【解析】由题意，，可得或，
函数的定义域为，
令，则在上单调递增，
，在上单调递减，在上单调递增，
函数的单调递减区间为，
5．函数的递减区间是 .
【答案】
【解析】【解答】对于函数，，即，解得.
由于内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
外层函数在上为减函数，
由复合函数法可知，函数的单调递减区间为.
故答案为：.
6．已知函数．
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：任取，且，
因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增
5函数单调性的应用
1解不等式
例1．已知是定义在上的单调递减函数，且 ，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】∵是定义在上的单调递减函数，且，
则，解得
故答案为：D.
例2．已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】对，其定义域为，且，故为上的奇函数；
又当时，，其在单调递减；
当时，，其在单调递减；
又是连续函数，故在上都是单调减函数；
则，即，
则，解得.
故答案为：D.
例3．已知，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】因为的定义域为，关于原点对称，且，
所以是偶函数，
故由可得，
当时，是增函数，
所以，解得，
故答案为：B
【点拨】
我们有增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，由此性质求出函数单调性.
② 处理类似“”这样的不等式，可利用函数的单调性去掉求解，不要硬代入原函数来个“暴力求解”，特别是复杂的函数或者抽象函数的时候.
2 求参数取值范围或值
例1．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】由题意可知，函数在上为增函数，则，
且有，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：D.
例2．若函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】【解答】因函数 在R上单调递增，于是得 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 。
故答案为： 。
例3．若函数 在 上是单调递减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】函数 的单调递减区间是 ，
依题意得 ，于是得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：B
3 求函数最值
例1．函数 在区间 上的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【解析】【解答】∵函数 在 上为减函数，
∴ .
故答案为：A.
【点拨】
① 遇到绝对值，可利用去掉绝对值符号，本题函数变成了分段函数；
② 函数最值或值域均与函数的单调性密不可分，了解到函数的单调性相当清晰函数的大致图像，最值便易于求解；而二次函数的单调性与函数的对称轴和开口方向有关；
③ 在分类讨论时，注意结合函数图像进行思考找到分类讨论的“临界值”.
课后练习:
1．已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是( )
有最大值，无最小值 有最大值，最小值
有最大值，无最小值 有最大值2，最小值
【答案】
【解析】函数2
即有在递减，则处取得最大值，且为，
由取不到，即最小值取不到．
故选：．
2．若是上的单调减函数，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】若是上的单调减函数，
则，解得，
故答案为：．
3．若函数在上的最小值为．则 ．
【答案】
【解析】函数图象的对称轴为，图象开口向上，
(1)当时，函数在上单调递增．则，
由，得，不符合；
(2)当时．则，
由，得或，，符合；
(3)当时，函数在上单调递减，
，由，得，
，不符合，
综上可得．
4．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知，函数在上单调递增，
，则，
即且，
解可得或．
5．已知函数，则的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】【解答】当时，单调递减；
当时，，在上单调递增，在单调递减；
故答案为：
4 抽象函数的单调性
例1．定义在上的函数满足对所有的正数都成立，
且当，．
求的值
判断并证明函数在上的单调性
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】，
取，得：；；
设，则，(定义法证明)
；；
又时，；；
，；在上单调递减；
，；
由
又在上单调递减，
．
【点拨】
① 求具体值时，要大胆尝试，可取特殊值，如、等，可取特殊关系，如.
② 抽象函数的单调性用函数的定义法证明，具体的思路有
作差法 令再根据题意“凑出”，证明其大于或者小于;
作商法 令再根据题意“凑出”，证明其大于或者小于，此时还要注意是否成立；
③ 涉及抽象函数，解类似这样的不等式，都要利用函数的单调性去掉;
④ 恒成立问题可用分离参数法，最终转化为最值问题，如恒成立等价于，即求在上的最小值.
课后练习:
1．定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
求和的值；
试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
求满足的的取值集合．
【答案】(1) (2)略，提示：定义法 (3)
【解析】 (1)令得，则，
而，
且，则；
(2)取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，
在上为减函数．
(3)由条件①及(Ⅰ)的结果得，
，，
，
，解得，
故的取值集合为.
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3.2函数的单调性
1 函数单调性的概念
一般地，设函数的定义域为，区间:
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
Eg：在上单调递减，但它不是减函数，
特别注意它的减区间是，不是.
2 单调性概念的拓展
① 若递增，，则.
比如：递增，则.
② 若递增，，则.
比如：递增则.
递减，有类似结论！
3 判断函数单调性的方法
① 定义法
解题步骤
(1) 任取，且；
(2) 作差；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差的正负)；
(5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)．
② 数形结合
③ 性质法
增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是.
④ 复合函数的单调性
(1)如果则称为的复合函数；
比如： (和的复合函数)；
(和的复合函数)；
(和的复合函数).
(2) 同增异减
设函数的值域是，函数
若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增；
若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减.
4 函数的最值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1) ，都有；(2)，使得；
那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义)
简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.
1基本初等函数的单调性
1. 一次函数的单调性
2. 二次函数的单调性
3. 反比例函数
2函数的单调性的证明
例1．判断在的单调性.
例2．证明函数在上是增函数.
3常见函数的单调性
例1．下列四个函数中，在 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
例2．函数的单调递增区间是 ．
4复合函数的单调性
例1．函数的单调减区间为 .
例2．函数的单调递增区间为 ．
课后练习:
1．下列四个函数在是增函数的为( )
2．设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是( )
．在上为减函数 ．在上为增函数
．在上为增函数 ．在上为减函数
3．函数的递减区间为 ．
4．函数的单调递减区间为 ．
5．函数的递减区间是 .
6．已知函数．
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围．
5函数单调性的应用
1解不等式
例1．已知是定义在上的单调递减函数，且 ，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例3．已知，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2 求参数取值范围或值
例1．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．若函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
例3．若函数 在 上是单调递减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3 求函数最值
例1．函数 在区间 上的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．-1
课后练习:
1．已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是( )
有最大值，无最小值 有最大值，最小值
有最大值，无最小值 有最大值2，最小值
2．若是上的单调减函数，则实数的取值范围为 ．
3．若函数在上的最小值为．则 ．
4．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
5．已知函数，则的单调递增区间为 .
4 抽象函数的单调性
例1．定义在上的函数满足对所有的正数都成立，
且当，．
求的值
判断并证明函数在上的单调性
课后练习:
1．定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
求和的值；
试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
求满足的的取值集合．
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