第四章 单元质量测评
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式an等于( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n＋1
答案 B
解析 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是an＝2n＋1.(或特值法，当n＝1时只有B项符合．)
2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝( )
A．2 B．3
C．6 D．7
答案 B
解析 ∵S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，
∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.
3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( )
A．18 B．24
C．60 D．90
答案 C
解析 由a＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，即2a1＋3d＝0. ① 又S8＝8a1＋d＝32，则2a1＋7d＝8. ② 由①②，得d＝2，a1＝－3.所以S10＝10a1＋d＝60.故选C.
4．某个命题：①当n＝1时，命题成立；②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时成立，可以推出n＝k＋2时也成立，则命题对________成立．( )
A．正整数 B．正奇数
C．正偶数 D．都不是
答案 B
解析 由题意知，k＝1时，k＋2＝3；k＝3时，k＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立．
5．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的( )
A．第5项 B．第12项
C．第13项 D．第6项
答案 C
解析 162是数列{an}的第5项，则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项．
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )
A.钱 B．钱
C．钱 D．钱
答案 B
解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为
a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，
则由题意可知，
a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，
又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，
则a－2d＝a－2×＝a＝.故选B.
7．已知{an}是等差数列，a3＝5，a9＝17，数列{bn}的前n项和Sn＝3n，若am＝b1＋b4，则正整数m等于( )
A．29 B．28
C．27 D．26
答案 A
解析 因为{an}是等差数列，a9＝17，a3＝5，所以6d＝17－5，得d＝2，an＝2n－1.又因为Sn＝3n，所以当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，Sn－1＝3n－1，bn＝3n－3n－1＝2·3n－1，由am＝b1＋b4，得2m－1＝3＋54，得m＝29，故选A.
8．已知函数f(x)＝把方程f(x)＝x的根按从小到大的顺序排列成一个数列{an}，则该数列的通项公式为( )
A．an＝(n∈N*) B．an＝n(n－1)(n∈N*)
C．an＝n－1(n∈N*) D．an＝n－2(n∈N*)
答案 C
解析 令2x－1＝x(x≤0)，易得x＝0.
当0
即2x－1－1＋1＝2x－1＝x，则x＝1.
当1即f(x－1)＋1＝x，即f(x－2)＋1＋1＝x，
故2x－2＋1＝x，则x＝2.因此，a1＝0，a2＝1，a3＝2，
结合各选项可知该数列的通项公式为an＝n－1(n∈N*)．故选C.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．下列命题中正确的有( )
A．常数列不一定是等比数列
B．等比数列前n项和Sn＝(其中a1为首项，q为公比)
C．前n项和Sn为n的二次函数的数列一定是等差数列
D．0不可能是任何等比数列的一项
答案 AD
解析 常数列0,0,0，…不是等比数列，故A正确；当q≠1时，Sn＝成立，故B错误；C中，需让Sn无常数项，故错误；D显然正确．故选AD.
10．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则下列结论一定正确的是( )
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S19＝0
答案 ACD
解析 设等差数列{an}的公差为d，∵2a1＋3a3＝S6，∴5a1＋6d＝6a1＋15d，∴a1＋9d＝0，即a10＝0，A正确；S10＝10a1＋＝－45d，可能大于0，也可能小于等于0，故B不正确；S12－S7＝12a1＋d－7a1－d＝5a1＋45d＝5(a1＋9d)＝0，即S7＝S12，C正确；S19＝＝19a10＝0，D正确．故选ACD.
11．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如下图：
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
a31 a32 a33 … a3n
…
an1 an2 an3 … ann
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)．已知a11＝2，a13＝a61＋1，记这n2个数的和为S.则下列结论正确的有( )
A．m＝3 B．a67＝17×37
C．aij＝(3i－1)×3j－1 D．S＝n(3n＋1)(3n－1)
答案 ACD
解析 由题意，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且a11＝2，a13＝a61＋1，可得a13＝a11m2＝2m2，a61＝a11＋5d＝2＋5m，所以2m2＝2＋5m＋1，解得m＝3或m＝－(舍去)，所以A正确；又由a67＝a61m6＝(2＋5×3)×36＝17×36，所以B不正确；又由aij＝ai1mj－1＝[a11＋(i－1)×m]×mj－1＝[2＋(i－1)×3]×3j－1＝(3i－1)×3j－1，所以C正确；又由这n2个数的和为S，则S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)＋…＋(an1＋an2＋…＋ann)＝＋＋…＋＝(3n－1)·＝n(3n＋1)(3n－1)，所以D正确．故选ACD.
12．已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝，bn＋1＝·，n∈N*，且{an}是等比数列，则下列四个结论正确的为( )
A．数列{an}的所有项都不大于
B．数列{bn}的所有项都大于
C．数列{an}的公比等于1
D．数列{bn}一定是等比数列
答案 ACD
解析 对于A，C，因为≤a＋b<(an＋bn)2，所以11，则a1logq时，a1qn>，此时an＋1>，与1a2>1，则当n>logq时，a1qn<1，此时an＋1<1，与11，则b1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知数列{an}中，a1＝10，an＋1＝an－，则它的前n项和Sn的最大值为________．
答案 105
解析 ∵an＋1－an＝－，∴d＝－，
又a1＝10，∴an＝－＋(n∈N*)．
∵a1＝10>0，d＝－<0，
设从第n项起为负数，则－＋<0(n∈N*)．
∴n>21，于是前21项和最大，最大值为S21＝105.
14．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案 π
解析 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f(k＋1)＝f(k)＋π.
15．已知等比数列{an}为递增数列，若a1＞0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________.
答案 2
解析 ∵{an}是递增的等比数列，且a1＞0，∴q＞1.
又2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq.
∵an≠0，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝(舍去)，∴公比q为2.
16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n＝________，盈利总额的最大值为________万元．
答案 7 61
解析 设该设备第n年的运营费用为an万元，则数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，则an＝3n－1.
设该设备使用n年的运营费用总和为Tn，
则Tn＝＝n2＋n.
设n年的盈利总额为Sn，
则Sn＝21n－－9＝－n2＋n－9.
由二次函数的性质可知，
当n＝时，Sn取得最大值，又n∈N*，
故当n＝7时，Sn取得最大值，最大值为61.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设a，b，c是实数，3a,4b,5c成等比数列，且，，成等差数列，求＋的值．
解 ∵3a,4b,5c成等比数列，∴16b2＝15ac. ①
∵，，成等差数列，∴＝＋. ②
由①，得·15ac＝64. ③
将②代入③，得2·15ac＝64，
∴ac＝.
∴＋＝.
18．(本小题满分12分)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，若an＋Sn＝n，cn＝an－1.
(1)求证：数列{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解 (1)证明：∵a1＝S1，an＋Sn＝n， ①
∴a1＋S1＝1，得a1＝.
又an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②
由①②两式相减得2(an＋1－1)＝an－1，
即＝，也即＝，故数列{cn}是等比数列．
(2)∵c1＝a1－1＝－，
∴cn＝－，an＝cn＋1＝1－，
an－1＝1－.
故当n≥2时，bn＝an－an－1＝－＝.
又b1＝a1＝也适合上式，∴bn＝.
19．(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)证明：∵an＋2＝3an＋1－2an，
∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴＝2.
∵a1＝1，a2＝3，∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)得an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1.
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
20．(本小题满分12分)某地区火山喷发，弥漫在该地区上空多日的火山灰严重影响该地区的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n－1)米至50n米的扇环面记为第n区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问：
(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克)
(2)第几区的火山灰总质量最大？
提示：当n较大时，可用(1－x)n≈1－nx进行近似计算．
解 (1)设第n区的火山灰为每平方米an千克，
依题意，数列{an}为等比数列，且a1＝1000(千克)，
公比q＝1－2%＝0.98，
∴an＝a1×qn－1＝1000×0.98n－1.
∵离火山口1225米处的位置在第25区，
∴a25＝1000×(1－0.02)24≈1000×(1－24×0.02)＝520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克．
(2)设第n区的火山灰总质量为bn千克，且该区的火山灰总质量最大．
依题意，第n区的面积为
π{(50n)2－[50(n－1)]2}＝625π(2n－1)，
∴bn＝625π(2n－1)×an.
依题意得解得49.5≤n≤50.5.∵n∈N*，
∴n＝50，即第50区的火山灰总质量最大．
21．(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，
∵当n＝1时，a1＝4－2＝2也适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝4n－2，
即{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列．
设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，
∴q＝.故bn＝b1qn－1＝2×.
即{bn}的通项公式为bn＝.
(2)∵cn＝＝＝(2n－1)4n－1，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1，
4Tn＝1×41＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n.
两式相减，得3Tn＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n＝[(6n－5)4n＋5]，
∴Tn＝[(6n－5)4n＋5]．
22．(本小题满分12分)已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….
(1)证明：数列{lg (1＋an)}是等比数列；
(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn；
(3)记bn＝＋，求数列{bn}的前n项和Sn，并证明Sn<1.
解 (1)证明：由已知an＋1＝a＋2an，
∴an＋1＋1＝(an＋1)2，
∴lg (1＋an＋1)＝2lg (1＋an)，
∴{lg (1＋an)}是公比为2的等比数列．
(2)由(1)知lg (1＋an)＝2n－1·lg (1＋a1)＝2n－1·lg 3＝lg 32n－1，∴1＋an＝32n－1，
∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)
＝320·321·322·…·32n－1
＝31＋2＋22＋…＋2 n－1＝32n－1.
(3)∵点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，
∴an＋1＝a＋2an，∴an＋1＝an(an＋2)．
∴＝，∴＝－，
∴bn＝＋＝＋－＝2.
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝2－＋－＋…＋
＝2.
∵an＝32n－1－1，a1＝2，an＋1＝32n－1，
∴Sn＝1－.
∵32n－1>32－1＝8>2，∴0<<1.∴Sn<1.(共40张PPT)
第四章 单元质量测评
答案
解析
答案
解析
答案
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答案
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答案
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答案
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答案
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答案
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答案
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答案
解析
答案
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答案
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答案
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答案
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答案
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解析
7
61
解析
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
⊙(共30张PPT)
4．4 数学归纳法
第四章 数列
1
知识对点练
PART ONE
证明
证明
证明
证明
证明
证明
证明
证明
解
解
解
解
解
2
课时综合练
PART TWO
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
解析
5
证明
证明
解
解
解
⊙第四章 数列
4．4* 数学归纳法
知识点一 利用数学归纳法证明恒等式
1.证明：当n≥2，n∈N*时，
…＝.
证明 ①当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝.
∴当n＝2时，等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即
…＝.
则当n＝k＋1时，
…
＝＝·
＝＝.
∴当n＝k＋1时，等式也成立，由①②知，对任意n≥2，n∈N*，等式成立.
知识点二 利用数学归纳法证明整除问题
2.求证：二项式x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．
证明 ①当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，
∴能被x＋y整除．
②假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时，
x2k－y2k能被x＋y整除，
则当n＝k＋1时，
x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
由①②可知，对任意的正整数n命题均成立.
知识点三 利用数学归纳法证明几何命题
3.有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N*)．
证明 ①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时命题成立．
即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综合①②可知，对一切n∈N*，命题成立．
知识点四 利用数学归纳法证明不等式
4.证明：2n＋2>n2，n∈N*.
证明 ①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边>右边；
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，左边>右边．
因此当n＝1,2,3时，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式2k＋2>k2成立．
则当n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2
＝2(2k＋2)－2>2k2－2
＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3
＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．
根据①②，原不等式对于任何n∈N*都成立.
知识点五 归纳—猜想—数学归纳法的综合
5.已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝.
(1)求a2，a3，a4；
(2)推测通项an的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解 (1)由an＋1＝，可得a2＝，a3＝＝，a4＝＝.
(2)推测an＝(n∈N*)．
证明如下：
①当n＝1时，左边＝a1＝a，右边＝＝a，结论成立．
②假设当n＝k时，有ak＝，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝
＝＝，
故当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，对n∈N*，都有an＝.
6．数列{an}满足Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前4项后猜想an，并用数学归纳法证明．
解 当n＝1时，S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1，
n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝，
n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝，
n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝.
∴猜想an＝(n∈N*)．
用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时猜想成立，即ak＝成立．
那么，当n＝k＋1时，
Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，
∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋＝，
∴ak＋1＝，即当n＝k＋1时猜想成立．
由①②可知，对任何n∈N*，猜想均成立.
一、选择题
1．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，a，b的值可以等于( )
A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3
答案 D
解析 令n＝1,2得到关于a，b的方程组，解得即可．
2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则f(n)中的项数为( )
A．n B．n＋1
C．n2－n D．n2－n＋1
答案 D
解析 观察f(n)解析式的组成特点，是由，，，…，组成，其中每一项的分母n，n＋1，n＋2，…，n2组成等差数列，且首项为n，公差为1，最后一项为n2，所以它的项数为n2－n＋1，即为f(n)的项数．
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
答案 D
解析 ∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3
C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案 A
解析 假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
5．(多选)下列四个选项中，正确的是( )
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当n＝1时恒为1＋k
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)，当n＝1时恒为1
C．式子＋＋＋…＋(n∈N*)，当n＝1时为1＋＋
D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
答案 ABC
解析 对于A，当n＝1时，应为1＋k，正确；对于B，当n＝1时，应为1，正确；对于C，当n＝1时，应为1＋＋，正确；对于D，f(k)＝＋＋…＋，而f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋＋，所以f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－，错误．故选ABC.
二、填空题
6．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋＞1(n∈N*)”时，S1＝_________________.
答案 ＋＋
解析 ∵n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，∴S1＝＋＋.
7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________________________．
答案 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
解析 ∵n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”，
∴n＝k＋1时为使用归纳假设，应写成
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1.
8．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．
答案 5 (n＋1)(n－2)
解析 f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，
f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)
＝(n＋1)(n－2)．
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)(n∈N*)．
证明 ①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，
所以当n＝1时等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，
即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝k(3k－1)．
则当n＝k＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]
＝k(3k－1)＋(3k＋1)＝(3k2＋5k＋2)
＝(k＋1)(3k＋2)＝(k＋1)[3(k＋1)－1]，
即当n＝k＋1时等式成立．
综合①②知，对于任意n∈N*，等式1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)成立．
10．已知数列，，，，…，，…，计算数列和S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解 S1＝＝，S2＝＋＝，
S3＝＋＝，S4＝＋＝.
上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1，于是可以猜想Sn＝(n∈N*)．
其证明如下：
①当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝，猜想成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，
即＋＋…＋＝成立，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋
＋
＝＋＝
＝＝，
所以当n＝k＋1时，猜想成立，根据①②知对任意n∈N*，猜想Sn＝都成立．(共35张PPT)
4．3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第3课时 数列求和
第四章 数列
1
知识对点练
PART ONE
答案
解析
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
解
答案
解析
答案
解
2
课时综合练
PART TWO
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
解析
1
9
解
解
解
解
⊙4．3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和
知识点一 等比数列前n项和的直接应用
1．已知公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列的前n项和为( )
A. B．
C. D．
答案 D
解析 数列仍为等比数列，且公比为，所以数列的前n项和Sn′＝＝＝＝.
2．等比数列{an}的公比q＜0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2020项和等于( )
A．2020 B．－1
C．1 D．0
答案 D
解析 由an＋2＝an＋1＋2an，得qn＋1＝qn＋2qn－1，即q2－q－2＝0.又q＜0，解得q＝－1.又a2＝1，∴a1＝－1.
∴S2020＝＝0.
3．已知单调递增的等比数列{an}中，a2·a6＝16，a3＋a5＝10，则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A．2n－2－ B．2n－1－
C．2n－1 D．2n＋1－2
答案 B
解析 ∵a2·a6＝16，∴由等比数列的性质可得a3·a5＝16，又a3＋a5＝10，∴a3，a5为方程x2－10x＋16＝0的实根，解方程可得a3＝2，a5＝8，或a3＝8，a5＝2，∵等比数列{an}单调递增，∴a3＝2，a5＝8，∴q＝2，a1＝，∴Sn＝＝2n－1－.故选B.
4．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
答案 2
解析 设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝，S奇＝.由题意得＝，∴1＋q＝3，∴q＝2.
知识点二 “知三求二”问题
5.在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 C
解析 由an＝a1qn－1，得96＝3qn－1.故q≠1，且qn－1＝32.故Sn＝＝＝＝189，解得q＝2，∴2n－1＝32，∴n＝6.故选C.
6．数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，数列{cn}满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)．若{cn}为等比数列，则a＋q＝( )
A. B．3
C． D．6
答案 B
解析 ∵数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，
∴bn＝1＋a1＋a2＋…＋an＝1＋＝1＋－，
则cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn
＝2＋n－×
＝2－＋n＋，
要使{cn}为等比数列，则
解得或(舍去)，∴a＋q＝3.故选B.
7．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________.
答案 5
解析 由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得
2n＝32 n＝5.
知识点三 等比数列前n项和公式的综合应用
8.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )
A．7 B．8
C．15 D．16
答案 C
解析 设{an}的公比为q.∵4a1,2a2，a3成等差数列，∴4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2.又a1＝1，∴S4＝＝15.故选C.
9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
解 (1)由题设，知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1或d＝0(舍去)．
故{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知2an＝2n，所以数列{2an}是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式，得Sn＝＝2n＋1－2.
10．设数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．求证：＜lg Sn＋1.
证明 设{an}的公比为q.当q＝1时，Sn＝na1，Sn＋1＝(n＋1)a1，Sn＋2＝(n＋2)a1，
故SnSn＋2－S＝－a＜0，即SnSn＋2＜S.
两边同时取对数并整理，得＜lg Sn＋1.
当q≠1时，由题意知q>0，故Sn＝，
从而SnSn＋2－S
＝－
＝－aqn<0.
即SnSn＋2两边同时取对数并整理，得一、选择题
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( )
A．33 B．72
C．84 D．189
答案 C
解析 ∵S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，∴q2＋q－6＝0，又q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84.故选C.
2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为( )
A.或5 B．或5
C． D．
答案 C
解析 若公比q＝1，则9S3＝9·3a1＝27≠S6＝6，
得q≠1.由题意可知＝，解得q＝2.
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．
由求和公式可得数列的前5项和S5＝.故选C.
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D．(1－2－n)
答案 C
解析 ∵{an}是等比数列，a2＝2，∴a5＝a2q3＝2·q3＝，则q＝，a1＝4，a1a2＝8，∵＝q2＝，∴数列{anan＋1}是以8为首项，为公比的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．故选C.
4．某人从2013年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2020年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱数(元)为( )
A．a(1＋p)7
B．a(1＋p)8
C.[(1＋p)7－(1＋p)]
D.[(1＋p)8－(1＋p)]
答案 D
解析 设所有存款和利息的总和为S元，由题意知第一年存入的a元到2020年本息和为a(1＋p)7元，以此类推，2019年存入的a元到2020年本息和为a(1＋p)元，所以S＝a(1＋p)7＋a(1＋p)6＋a(1＋p)5＋…＋a(1＋p)＝a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋(1＋p)5＋…＋(1＋p)]＝a·＝[(1＋p)8－(1＋p)]．故选D.
5．(多选)设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，则下列四个命题中正确的是( )
A．若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1
B．若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列
C．若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列
D．若Sn＝n2＋3n，则{an}是等差数列
答案 ACD
解析 易知A是真命题；由等比数列前n项和Sn＝＝－·qn知B不正确；对于C，易知{an}为2，－2,2，－2，…，正确；对于D，由Sn＝n2＋3n，得a1＝4，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋3(n－1)＝n2＋n－2，故an＝Sn－Sn－1＝2n＋2，a1＝4符合上式，故{an}为等差数列，正确．故选ACD.
二、填空题
6.如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于________．
答案
解析 此五个正三角形的边长an成等比数列：2,1，，，.
∴这五个正三角形的面积之和＝×＝×＝.
7．给定an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，定义乘积a1a2…ak为整数的k(k∈N*)叫做“理想数”，则区间[1,2020]内的所有理想数的和为________．
答案 2026
解析 ∵an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，
∴由a1a2…ak为整数，得
log23·log34·…·logk(k＋1)·log(k＋1)(k＋2)＝log2(k＋2)为整数，设log2(k＋2)＝m，则k＋2＝2m，
∴k＝2m－2.∵211＝2048＞2020，
∴区间[1,2020]内所有“理想数”为22－2,23－2,24－2，…，210－2，
其和M＝22－2＋23－2＋24－2＋…＋210－2
＝－18＝2026.
8．已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，总有＝，则＝________.
答案 9
解析 设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，
∵＝，∴n＝1时，a1＝b1.
n＝2时，＝＝.
n＝3时，＝＝7.
∴2q－5q′＝3,7(q′)2＋7q′－q2－q＋6＝0，
解得或(舍去)，∴＝＝9.
三、解答题
9．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
解 (1)证明：因为an＝×n－1＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
所以{bn}的通项公式为bn＝－.
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解 (1)∵S1，S3，S2成等差数列，∴2S3＝S1＋S2.
显然{an}的公比q≠1，于是有＝a1＋，
即2(1＋q＋q2)＝2＋q，整理得2q2＋q＝0，
∴q＝－(q＝0舍去)．
(2)∵q＝－，又a1－a3＝3，
∴a1－a1·2＝3，
解得a1＝4.
于是Sn＝＝.4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
知识点一 等比数列的定义
1.数列m，m，m，…一定( )
A．是等差数列，但不是等比数列
B．是等比数列，但不是等差数列
C．是等差数列，但不一定是等比数列
D．既是等差数列，又是等比数列
答案 C
解析 当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列；当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C.
2．等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 B
解析 等比数列中的第二项为×＝，第三项为×＝，第四项为×＝，故此等比数列的项数为4.
知识点二 等比数列的通项公式
3.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( )
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n]
答案 C
解析 依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C.
4．(多选)下列通项公式可以作为等比数列通项公式的是( )
A．an＝(－1)n32n－1 B．an＝
C．an＝2－n D．an＝log2n
答案 AC
解析 对于A，an＝(－1)n32n－1，＝＝－9，是常数，成立；对于B，an＝，＝，不是常数，不成立；对于C，an＝2－n，＝＝，是常数，成立；对于D，an＝log2n，＝，不是常数，不成立．故选AC.
5．已知一个等比数列的前4项之积为，第2项与第3项的和为，则这个等比数列的公比为________．
答案 3±2或－5±2
解析 设这4个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)，由题意，得所以
所以＝±，整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，
解得q＝3±2或q＝－5±2.
知识点三 等比数列的证明
6.已知数列{an}的首项a1＝t>0，an＋1＝，n∈N*，若t＝，求证是等比数列并求出{an}的通项公式．
解 由题意知an>0，＝＝＋，
－1＝，－1＝，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
－1＝n－1＝，an＝.
知识点四 等比中项及应用
7.若1，x，y，z,16这五个数成等比数列，则y的值为( )
A．4 B．－4
C．±4 D．2
答案 A
解析 由于 y＝4，故选A.
8．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－3 D．－4
答案 D
解析 由题意，得解得a＝－4，b＝2，c＝8.
9．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数列的第________项．
答案 4
解析 由x，2x＋2,3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4.∴该数列是首项为－4，公比为的等比数列，其通项an＝－4×n－1，由－4×n－1＝－13，得n＝4.
10．在等比数列{an}中，若a4a5a6＝27，则a3与a7的等比中项是________．
答案 ±3
解析 由等比中项的定义知a＝a4a6，∴a＝27.
∴a5＝3，∴a1q4＝3，
∴a3a7＝aq8＝32，因此a3与a7的等比中项是±3.
一、选择题
1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
答案 B
解析 由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.∵a1a2＝aq＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4.
2．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．16
答案 B
解析 ∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an.∵a1＝1≠0，∴an≠0.∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8.
3．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )
A. B．
C． D．
答案 A
解析 设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)(100＋x)，解得x＝25.∴这三个数分别为45,75,125，公比q为＝.
4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( )
1 2
0.5 1
a
b
c
A．1 B．2
C．3 D．
答案 D
解析 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，
1 2 3 4
0.5 1 1.5 2
0.25 0.5 0.75 1
0.125 0.25 0.375 0.5
0.0625 0.125 0.1875 0.25
故a＝，b＝，c＝，则a＋b＋c＝.故选D.
5．(多选)设数列{an}为等比数列，q为公比，则下面四个数列中，一定是等比数列的是( )
A．{a} B．{pan}(p为非零常数)
C．{an·an＋1} D．{an＋an＋1}
答案 ABC
解析 对于A，因为＝3＝q3(常数)，所以{a}是等比数列；对于B，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；对于C，因为＝＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列；对于D，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，故此时{an＋an＋1}不是等比数列；当q≠－1时，因为＝＝＝q(常数)，所以{an＋an＋1}是等比数列．故选ABC.
二、填空题
6．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
答案
解析 设该直角三角形的三边分别为a，aq，aq2 (q＞1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.较小锐角记为θ，则sinθ＝＝.
7．已知数列1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．
答案 2.5
解析 解法一：∵a1＋a2＝1＋4＝5，b＝1×4＝4且b2与1，4同号，∴b2＝2，∴＝＝2.5.
解法二：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.∴1＋3d＝4，d＝1，∴a2＝2，a3＝3，q4＝4，∴q2＝2，b2＝q2＝2.∴＝＝2.5.
8．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，等比数列的公式q＝________，此时数列{an}的通项公式an＝________.
答案 2 2n－1
解析 由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝.
a3＝a1q2＝＝(q＞0)，
而－＋＝－2＋， ①
当q＝2时①式有最大值，所以当q＝2时a3有最小值4.
此时a1＝＝＝1.所以数列{an}的通项公式an＝2n－1.
三、解答题
9．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解 (1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.
10．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
证明：由an＝3an－1－2n＋3可得
an－n＝3[an－1－(n－1)]，因为a1－1＝－2≠0，
所以an－n≠0，
所以＝
＝＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，所以{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，所以an＝n－2·3n－1.4．2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和
知识点一 等差数列前n项和公式的简单应用
1.已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则S10等于( )
A．100 B．210
C．380 D．400
答案 B
解析 ∵d＝＝＝4，又a2＝a1＋d＝7，∴a1＝3.∴S10＝10a1＋d＝10×3＋45×4＝210.故选B.
2．在等差数列{an}中，S10＝120，则a2＋a9＝( )
A．12 B．24
C．36 D．48
答案 B
解析 ∵S10＝＝5(a2＋a9)＝120，∴a2＋a9＝24.
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
答案 D
解析 ∵S7＝×7＝35，∴a1＋a7＝10，∴a4＝＝5.
4．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于( )
A．－n2＋ B．－n2－
C.n2＋ D．n2－
答案 A
解析 易知{an}是等差数列且a1＝－1，所以Sn＝＝＝－n2＋.故选A.
5．把正整数以下列方法分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有数的和，那么S21等于( )
A．1113 B．4641
C．5082 D．5336
答案 B
解析 因为第n组有n个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21＝21×211＋×1＝4641.故选B.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．
解 a1＝S1＝6；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2，
∴an＝显然a2－a1＝6－6＝0，a3－a2＝2，
∴{an}不是等差数列.
知识点二 “知三求二”问题
7.等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝( )
A．9 B．10
C．11 D．12
答案 B
解析 a1＝1，a3＋a5＝2a1＋6d＝14，∴d＝2，∴Sn＝n＋×2＝100.∴n＝10.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.
答案 2n
解析 由已知 故an＝2n.
9．已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝________.
答案 211
解析 ∵数列{an}中，当整数n＞1时，
Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，
Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2 an＋1－an＝2(n＞1)．
∴当n≥2时，{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴S15＝14a2＋×2＋a1＝14×2＋×2＋1＝211.
10．已知等差数列{an}的第10项为－9，前11项和为－11，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则解得
所以an＝9－2(n－1)＝11－2n.由an＞0，得n＜，
则从第6项开始数列各项均为负数，那么
①当n≤5时，数列{an}的各项均为正数，
Tn＝＝＝n(10－n)；
②当n≥6时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)
＋2(a1＋a2＋…＋a5)＝－Sn＋2S5
＝n2－10n＋2×(10×5－52)＝n2－10n＋50.
所以Tn＝
一、选择题
1．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
答案 A
解析 ∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．又an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，∴2an－a＝0.∵an≠0，∴an＝2，∴S2n－1－4n＝(2n－1)×2－4n＝－2.故选A.
2．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是( )
A．14斤 B．15斤
C．16斤 D．18斤
答案 B
解析 由题意可知，等差数列中a1＝4，a5＝2，则S5＝＝＝15，∴金杖重15斤．故选B.
3．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )
A．3 B．－3
C．－2 D．－1
答案 B
解析 由得nd＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.
4．一同学在电脑中打出如下图案：
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…
若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是( )
A．12 B．13
C．14 D．15
答案 C
解析 S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝＋n≤120，∴n(n＋3)≤240，∴n＝14.故选C.
5．(多选)设{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是( )
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．a6＋a10<0
答案 ABD
解析 S6＝S5＋a6>S5，则a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8S9.由a8<0，a6＋a10＝2a8，知a6＋a10<0.从而A，B，D均正确．故选ABD.
二、填空题
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a1＋a5＝________.
答案 11
解析 由Sn＝n2＋1，得a1＝12＋1＝2，
a5＝S5－S4＝(52＋1)－(42＋1)＝9.
∴a1＋a5＝2＋9＝11.
7．Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.
答案
解析 ∵Sn是等差数列{an}的前n项和，＝，
∴＝＝＝，∴3a1＝2a1＋d，
∴a1＝d，∴＝＝＝.
8．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an＜0，则S10＝________.
答案 －15
解析 由a＋a＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，
∵an＜0，∴a3＋a8＝－3.
∴S10＝＝＝＝－15.
三、解答题
9．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
∵S7＝7，S15＝75，∴
即解得
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
10．已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1＝3，前n项和为Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20项和T20＝330.数列{bn}满足bn＝2(a－2)dn－2＋2n－1，a∈R.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＋1≤bn，n∈N*，求a的取值范围．
解 (1)设等差数列的公差为d，
因为cn＝(－1)nSn，
所以T20＝－S1＋S2－S3＋S4－…＋S20＝330，
则a2＋a4＋a6＋…＋a20＝330，
则10(3＋d)＋×2d＝330，解得d＝3，
所以an＝3＋3(n－1)＝3n.
(2)由(1)知bn＝2(a－2)3n－2＋2n－1，
bn＋1－bn＝2(a－2)3n－1＋2n－[2(a－2)3n－2＋2n－1]
＝4(a－2)3n－2＋2n－1
＝4·3n－2，
由bn＋1≤bn (a－2)＋n－2≤0 a≤2－n－2，
因为2－n－2随着n的增大而增大，
所以n＝1时，2－n－2的最小值为，所以a≤.4．2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
知识点一 等差数列的定义
1.下列数列不是等差数列的是( )
A．6,6,6，…，6，…
B．－2，－1,0，…，n－3，…
C．5,8,11，…，3n＋2，…
D．0,1,3，…，，…
答案 D
解析 利用等差数列的定义去判断．故选D.
2．下列数列是等差数列的是( )
A.，，， B．1，，，
C．1，－1,1，－1 D．0,0,0,0
答案 D
解析 ∵－≠－，故排除A；∵－1≠－，故排除B；∵－1－1≠1－(－1)，故排除C.故选D.
3．(多选)若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是( )
A．公差为－1的等差数列
B．公差为5的等差数列
C．首项为4的等差数列
D．公差为n的等差数列
答案 AC
解析 ∵an＝－n＋5，∴a1＝－1＋5＝4，an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，∴{an}是首项为4，公差为d＝－1的等差数列．
4．若数列{an}是公差为1的等差数列，则数列{a2n－1＋2a2n}是( )
A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列
答案 C
解析 数列{an}是公差为1的等差数列，所以a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2＋2×2＝6，所以{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．故选C.
知识点二 等差数列的通项公式
5.在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于( )
A．－9 B．－8
C．－7 D．－4
答案 B
解析 ∵a6＝a4＋6，∴2d＝a6－a4＝6，∴d＝3.
∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8.故选B.
6．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( )
A．－2 B．－
C． D．2
答案 B
解析 根据题意，得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1.又a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－.
7．设等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n＝( )
A．48 B．49
C．50 D．51
答案 C
解析 a1＝，a2＋a5＝2a1＋5d＝＋5d＝4，∴d＝，又an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33，∴n＝50.
8．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．
答案 3
解析 设等差数列的首项为a1，公差为d，由a3＝7，a11＝－1，得a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.
9．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为________．
答案 an＝2n－1
解析 由an－1＋an＋1＝2an，
得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
∴数列{an}是等差数列．
又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
10．已知{an}是等差数列且an>0，求证：＋＋…＋＝ .
证明 设等差数列{an}的公差为d.
①当d＝0时，a1＝a2＝…＝an＝an＋1，左边＝＝右边；
②当d≠0时，
左边＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝＝
＝＝＝右边．
综合①②知结论成立.
知识点三 等差中项及应用
11.已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A. B．
C． D．
答案 A
解析 设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝＋＝(－)＋(＋)＝2，∴x＝，故选A.
12．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是( )
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
答案 C
解析 由等差中项的定义知，x＝，x2＝，
∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.
知识点四 等差数列与函数的关系
13.已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点．
(1)求这个数列的通项公式；
(2)画出这个数列的图象；
(3)判断这个数列的单调性．
解 (1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5.由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，解得d＝2，于是an＝2n－1.
(2)图象是直线y＝2x－1上一些离散的点，如图所示．
(3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列．
一、选择题
1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
答案 C
解析 因为数列{an}为等差数列，所以公差为an－an－1＝3－2n－(3－2n＋2)＝－2.故选C.
2．若{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q B．0
C．－(p＋q) D．
答案 B
解析 依题意，得ap＝a1＋(p－1)d＝q，
aq＝a1＋(q－1)d＝p，
∴p－q＝(q－p)d，∴d＝－1，∴a1＝p＋q－1.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)(－1)＝0.
3．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2(n∈N*)
B．an＝2n＋4(n∈N*)
C．an＝－2n＋12(n∈N*)
D．an＝－2n＋10(n∈N*)
答案 D
解析 由
所以an＝8＋(n－1)×(－2)，即an＝－2n＋10.
4．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝.若对任意n∈N*，bn≤b6，则实数a的取值范围是( )
A．(－8，－6) B．(－7，－6)
C．(－6，－5) D．(6,7)
答案 B
解析 ∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，
∴an＝n＋a－1.
∴bn＝＝1－.又对任意的n∈N*，都有bn≤b6成立，
可知≤，则必有6＋a＜0且7＋a＞0，
∴－7＜a＜－6.故选B.
5．(多选)已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N*)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d可能是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 ACD
解析 由题设可知an＝1＋(n－1)d,81是该数列中的一项，即81＝1＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d，n∈N*，所以d是80的因数，结合选项，选ACD.
二、填空题
6．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差为d1和d2，则的值为________．
答案
解析 ∵n－m＝3d1，d1＝(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．∴＝＝.
7．一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长为________．
答案 12
解析 由条件知b一定不是斜边，设c为斜边，
则解得b＝4，a＝3，c＝5，
∴a＋b＋c＝12.
8．已知等差数列{an}图象上的点都在直线y＝3x＋5上，且a5＝20，则{an}的通项公式为________．
答案 an＝3n＋5
解析 由已知，得等差数列{an}的公差为3，又a5＝a1＋4×3＝20，得a1＝8，所以an＝8＋3(n－1)，即an＝3n＋5.
三、解答题
9．已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列是等差数列，并求x95的值．
解 因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，
所以xn＝(n≥2)，
即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，
得＝1(n≥2)，即－＝(n≥2)．
又＝3，
所以数列是以3为首项，为公差的等差数列，
所以＝3＋(n－1)×＝，
所以xn＝，所以x95＝＝.
10．是否存在数列{an}(an≠0)同时满足下列条件：
①{an}是等差数列且公差不为0；
②数列也是等差数列．
解 设符合条件的数列{an}存在，其首项为a1，公差d≠0，则有an＝a1＋(n－1)d.
又因为也是等差数列，
所以－＝－，
即＝，
所以＝，所以a1＋2d＝a1.
所以d＝0，与题设矛盾，所以不存在符合条件的数列{an}．(共31张PPT)
4．1 数列的概念
第1课时 数列的概念与通项公式
第四章 数列
1
知识对点练
PART ONE
答案
解析
解析
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
解析
①
②③④⑤
①②
③
⑤
解析
答案
解析
2
课时综合练
PART TWO
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
解析
45
44
解
解
⊙