人教版数学八年级上册 11.2.1.1 三角形的内角和课件（共18张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 11.2.1.1 三角形的内角和课件（共18张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-18 10:49:10 | ||
图片预览
文档简介
(共18张PPT)
11.2.1.1 三角形的内角和
1.掌握三角形的内角和定理，理解三角形内角和定理的证明方法．
2．掌握直角三角形的性质和判定，会运用三角形的内角和定理进行简单的计算或证明.
新知一 三角形的内角和
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.
【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
你还知道有哪些证明的方法？
180°
41°
75°
64°
折叠
测量
41°+75°+64°=180°
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
三角形的内角和定理的证明
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
还有其他的拼接方法吗？
D
C
B
2
1
E
A
延长BC到D，
于是CE∥BA
(内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
在△ABC的外部，以CA为一边，
CE为另一边作∠1=∠A，
已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
证法一
证明：
证法二
过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°
证法三
已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°
C
B
A
E
D
F
证明：过D作DE∥AC，作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，
∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
1
2
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°–∠B –∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
例2 已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
解：设∠A＝x°，则∠ABC＝∠C＝2x°
A
B
C
D
∴x＋2x＋2x＝180
（三角形内角和定理）
解得：x＝36
∴∠C＝2×36°＝72°
在△BDC中，∵∠BDC＝90° (三角形高的定义）
∴∠DBC＝180°－90°－72°（三角形内角和定理）
∴∠DBC＝18°
例3 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛
的北偏西40°方向.求下面各题.
（1）∠DAC＝_____ ,∠DAB＝____,
∠EBC＝_____, ∠CAB＝ ______ .
50°
80°
40°
30 °
（2）从C岛看A ，B两岛的视角∠C是多少度
解：∵ AD∥BE，
D
B
C
E
北
A
∴ ∠DAB+∠ABE＝180°
∴ ∠ABE＝ 180°－∠DAB
＝ 180° － 80° ＝100°
∴ ∠ABC＝∠ABE － ∠CBE
＝100°－ 40°＝60°
在△ABC中,∠C ＝ 180° － ∠CAB － ∠ABC
＝ 180°－30 °－60 °＝90°
2
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50°,
∵ CF∥AD, AD ∥BE
∴ CF∥ BE
∴∠2＝∠CBE ＝40°
∴ ∠ACB＝∠1+∠2＝50°+40°＝90°
40°
D
C
E
北
A
F
1
50°
B
1.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去
C
2. 一个三角形至少有（ ）
A、一个锐角 B、两个锐角
C、一个钝角 D、一个直角
B
3.如图，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°。从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少？
解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 °，∠D ＝90 °.
∴ ∠ACD =180 °－30 ° －90 °=6 0 °.
在△BCD中 ∠CBD = 45 °， ∠D ＝90 °.
∴ ∠BCD = 180 °－90°－45 °=45 °.
∴ ∠ACB = ∠ACD －∠BCD = 6 0 °－45 °
＝15°
A
B
C
D
3.已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．试求∠P的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°．
又∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，
∴∠PEF= ∠BEF，∠PFE= ∠DFE，
∴∠PEF+∠PFE= （∠BEF+∠DFE）=90°．
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，
∴∠P=90°．
求角度
证法
应用
转化为一个平角
或同旁内角互补
辅助线
三角形的内角和等于180 °
作平行线
转化思想
谢谢大家！
11.2.1.1 三角形的内角和
1.掌握三角形的内角和定理，理解三角形内角和定理的证明方法．
2．掌握直角三角形的性质和判定，会运用三角形的内角和定理进行简单的计算或证明.
新知一 三角形的内角和
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.
【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
你还知道有哪些证明的方法？
180°
41°
75°
64°
折叠
测量
41°+75°+64°=180°
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
三角形的内角和定理的证明
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
还有其他的拼接方法吗？
D
C
B
2
1
E
A
延长BC到D，
于是CE∥BA
(内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
在△ABC的外部，以CA为一边，
CE为另一边作∠1=∠A，
已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
证法一
证明：
证法二
过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°
证法三
已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°
C
B
A
E
D
F
证明：过D作DE∥AC，作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，
∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
1
2
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°–∠B –∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
例2 已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
解：设∠A＝x°，则∠ABC＝∠C＝2x°
A
B
C
D
∴x＋2x＋2x＝180
（三角形内角和定理）
解得：x＝36
∴∠C＝2×36°＝72°
在△BDC中，∵∠BDC＝90° (三角形高的定义）
∴∠DBC＝180°－90°－72°（三角形内角和定理）
∴∠DBC＝18°
例3 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛
的北偏西40°方向.求下面各题.
（1）∠DAC＝_____ ,∠DAB＝____,
∠EBC＝_____, ∠CAB＝ ______ .
50°
80°
40°
30 °
（2）从C岛看A ，B两岛的视角∠C是多少度
解：∵ AD∥BE，
D
B
C
E
北
A
∴ ∠DAB+∠ABE＝180°
∴ ∠ABE＝ 180°－∠DAB
＝ 180° － 80° ＝100°
∴ ∠ABC＝∠ABE － ∠CBE
＝100°－ 40°＝60°
在△ABC中,∠C ＝ 180° － ∠CAB － ∠ABC
＝ 180°－30 °－60 °＝90°
2
你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？
解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50°,
∵ CF∥AD, AD ∥BE
∴ CF∥ BE
∴∠2＝∠CBE ＝40°
∴ ∠ACB＝∠1+∠2＝50°+40°＝90°
40°
D
C
E
北
A
F
1
50°
B
1.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去
C
2. 一个三角形至少有（ ）
A、一个锐角 B、两个锐角
C、一个钝角 D、一个直角
B
3.如图，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°。从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少？
解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 °，∠D ＝90 °.
∴ ∠ACD =180 °－30 ° －90 °=6 0 °.
在△BCD中 ∠CBD = 45 °， ∠D ＝90 °.
∴ ∠BCD = 180 °－90°－45 °=45 °.
∴ ∠ACB = ∠ACD －∠BCD = 6 0 °－45 °
＝15°
A
B
C
D
3.已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．试求∠P的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°．
又∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，
∴∠PEF= ∠BEF，∠PFE= ∠DFE，
∴∠PEF+∠PFE= （∠BEF+∠DFE）=90°．
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，
∴∠P=90°．
求角度
证法
应用
转化为一个平角
或同旁内角互补
辅助线
三角形的内角和等于180 °
作平行线
转化思想
谢谢大家！