(共32张PPT)
“嫦娥一号”月球探测卫星于2007年10月在西昌卫星发射中心 由“长征三号甲”运载火箭发射升空 .
课题：椭圆及其标准方程（一）
画椭圆
归纳、完善定义
椭圆的定义：
平面内与两个定点
、
的距离的和
的点的轨迹是椭圆．
等于常数( 大于 )
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
——仙女座星系
星系中的椭圆
——“传说中的”飞碟
求曲线方程的一般步骤：
建系
列式
设点
证明
化简
F2
F1
O
x
y
第一步 建系、设点
以两定点
、
所在直线为
轴，线段
的垂直平分线为
轴，建立直角坐标系 .
设
，
则
为椭圆上
的任意一点，
又设
的和等于
、
与
的距离
椭圆上点
的集合为
移项平方，得
整理得
上式两边再平方，得
整理得
m,p,n成等差数列 m+n=2p
，
知
，
成等差数列，
三个数成等差数列的表示方法“x-d,x,x+d”
设
，得：
将③代入④式，得
整理，得
，即
③
，得：
④
化标准
设
，得：
，得：
将④代入③式，得
整理，得
，即
④
联想图形
令
，得
两边同时除以
，得
对照：
O
x
y
②我们没有证明“以满足方程的解为坐标的点都在椭圆上”；
③不同的建系方式，求出的椭圆方程是不同的．
小结：
①此方程表示的椭圆的焦点在 轴上；
F1
F2
M
x
y
O
焦点在 轴上的椭圆标准方程：
①椭圆的焦点在y轴,坐标为
F1（0，-c）、F2（0，c）;
②
两种形式的标准方程的比较：
与
椭圆的焦点在x轴上 椭圆标准方程中x2项的分母较大；
椭圆的焦点在y轴上 椭圆标准方程中y2项的分母较大．
例2
小结
思考题
例 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
①两个焦点的坐标分别是
、
椭圆上一点到两焦点距离的和等于10．
小结
例2
解：
由题意可知
∴
，
所以所求椭圆的标准方程为:
小结
①焦点坐标：（-4，0）、（4，0），
椭圆上一点到两焦点距离的和等于10．
②两个焦点的坐标分别是
、
并且经过点
．
例 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
小结
解法2
因为椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知：
∴
，又
， ∴
所以所求椭圆的标准方程为：
解：
小结
解:设所求的标准方程为
依题意得
解得:
所以所求椭圆的标准方程为:
．
小结
“神舟六号”运行轨道的方程.
如图，“神舟六号”载人飞船的运行轨道是以地心（地球的中心）
为一个焦点的椭圆，已知它的近地点
（离
地面最近的点）距地面200
，远地点
（离地面最近
．
．
的点）距地面约350
，椭圆的另一个焦点是 ，且
、
、
、
在同一直线上，
地球半径约为6400
，求
思考题:
（精确到1
，参考数据： ）
小结
．
．
O
求椭圆的方程
近地点距地面200 ，
地球半径约为6400
，
（精确到1
远地点距地面350 ，
解：由题意可知
=6400+200
=6400+350
解得：
=6675，
=75
故 为椭圆方程．
参考数据： ）
归纳、小结：
1．椭圆的定义：
平面内与两个定点
、
的距离的和
的点的轨迹是椭圆．
等于常数( 大于 )
2．椭圆的标准方程
焦点在
轴上椭圆的标准方程为：
焦点在
轴上椭圆的标准方程为：
归纳、小结：
归纳、小结：
坐标法
数形结合 化归与转化
思维能力 运算能力
归纳小结
1．基础题：课本36页练习 第1题、第2题
2．思考题：
课后作业：
动圆与定圆
相内切且过定圆内的一个定点A（0，-2）．
求动圆圆心P的轨迹方程．课 题：8．1椭圆及其标准方程（一）
教 材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学 第二册（上）
授课教师：黎宁
教学目标：
1．通过本节课教学，使学生理解椭圆的定义、椭圆的标准方程及其推导方法；
2．通过对椭圆定义的归纳和椭圆方程的推导，揭示椭圆知识的形成过程，逐步提高学生抽象概括能力、逻辑思维能力和运算能力，同时让学生欣赏数学的简洁美与和谐美；
3．通过教学，培养学生良好的思维习惯、严谨的科学态度以及不怕困难和勇于探索的精神．
教学重点：椭圆的定义和标准方程
教学难点：椭圆标准方程的推导
教学手段：计算机、实物投影仪
教学方法：启发式、探究式
教学过程：
一、创设情境，导入新课
1．由“神六”引入新课
（1）大屏幕展示“神舟”六号飞船成功发射和运行轨道的资料图片（如图1）．
北京时间2005年10月12日9时整，搭乘两名航天员的中国第二艘载人飞船“神舟”六号，在酒泉卫星发射中心发射升空．
（2）由“神六”飞船的运行轨道引出课题．
板书：8．1椭圆及其标准方程（一）．
2．让学生直观认识椭圆
（1）“压扁”圆成椭圆
用计算机课件模拟演示将圆“压扁”成椭圆的过程（如图2）．类比圆的画法，导出椭圆的画法：将细绳的两端固定在硬纸板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使铅笔在纸板上慢慢移动，画出一个椭圆．
3．师生共同画图体验
请学生拿出课前准备的硬纸板、细绳、铅笔，自己动手画椭圆．然后教师用多媒体演示画椭圆的过程．
二、引导探究，掌握新知
1．椭圆的定义
（1）教师提出问题
在上面的作图过程中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？（两个定点及绳长是不变的，点的位置是运动变化的）
在此基础上，请学生阐述“绳长不变”的意义．
（2）学生概括椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
教学预案：若学生将定义叙述为“与两个定点、的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆”，这时教师要说明椭圆是平面图形，故应在前面加上“平面内”三个字．然后与学生共同探讨“满足平面内与两个定点、的距离的和等于常数的点的轨迹是否一定是椭圆？”由此引发学生大胆想象、质疑、推理，自我探究．教师再通过计算机课件演示支持质疑，说明若这个常数等于，则点的轨迹是线段；若这个常数小于，则点的轨迹不存在；若这个常数大于，则点的轨迹是椭圆．所以要使轨迹是椭圆，必须添加条件：“此常数大于”．
（3）强调定义的条件
强调“平面内”三个字不可少，条件“常数大于”不可缺．
2．椭圆应用的实例
利用计算机课件演示，展现生活中椭圆的实例（如图3）．
3.椭圆的标准方程
（1）复习求动点的轨迹方程的基本步骤
（由学生回答，不正确的教师给予纠正）
（2）椭圆标准方程的探求
（ⅰ）建系
以两定点、所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（如图4）．设，则，．
（ⅱ）设点
设为椭圆上的任意一点，与、的距离的和等于()．
由定义得到椭圆上点的集合为．
（ⅲ）列式
将条件式代数化，得
（*）
（ⅳ）化简
先让学生各自在练习本上自行化简，教师巡视．
①教学预案：若学生采用两次平方的方法化简，最后应得到
（* *）
在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程利用实物投影仪展示出来，并请学生本人作简要陈述．
然后教师提出：有无较为简单的方法化简（*）式呢？
请学生观察式子，
引导学生联想等差中项的定义：“成等差数列”，
知，，成等差数列，
可设
再设法消去，即可将（*）式化简为（* *）式．
若学生先想到利用等差中项的概念式化简得（* *）式，则师提出采用两次平方的方法请学生一试，也可得（* *）式．
②的引入
由椭圆的定义可知，,，
让点运动到轴正半轴上（如图5），由学生观察图形自行获得，的几何意义，进而自然引进，此时，于是得，
两边同时除以，得椭圆的标准方程为
．
（3）标准方程的说明
（ⅰ）椭圆的标准方程既简洁整齐，又对称和谐；
（ⅱ）上述方程表示焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆，其中；
（ⅲ）以上的推导过程，没有证明“以满足方程的实数对为坐标的点都在椭圆上”，有兴趣的同学可在课后自行证明；
（ⅳ）如果椭圆的焦点在轴上，并且焦点为,则椭圆方程为，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程中的对换而得到的；
（ⅴ）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与与项分母的大小即可．若项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上．
三、应用举例，巩固新知
例 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是、，并且经过点．
分析：解决问题的关键是求出，对于（1），易知椭圆中心在原点，焦点在根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆的标准方程，由已知条件及椭圆的定义求出值，再根据已知条件及、、之间的关系求出的值，从而写出椭圆的标准方程为；
对于（2），有两种解题思路，思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点到两个焦点、的距离之和为常数2）求出值，再结合已知条件和、、间的关系求出的值，进而写出标准方程；思路2：先根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆方程的标准方程，再将椭圆上点的坐标代入此方程，并结合、、间的关系求出、的值，从而得到椭圆的标准方程为．
四、回顾小结，归纳提炼
1．知识与技能层面的小结
椭圆的定义；椭圆的标准方程；、、之间的关系；
2. 过程与方法层面的小结
包括本节课所涉及到的数形结合的思想、化归与转化思想以及思维能力和运算能力；
3．情感、态度、价值观层面的小结．
五、课后作业，巩固提高
1．基础题：课本96页习题8.1 第2题、第3题
2．思考题：
（1）比较焦点分别在轴上、轴上的两种椭圆的标准方程、，归纳它们各自的特点及相同点、不同点．
（2）如图，“神舟六号”载人飞船的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面200，远地点（离地面最近的点）距地面约350，并且、、在同一直线上，地球半径约为6400，求“神六”运行轨道的方程（精确到1）．
图5
图
图3
图2
图1
神州六号飞船运行轨道全程图（资料图）
（图4）
O
．
．
第 5页（共5页）(共22张PPT)
课题：椭圆及其标准方程（一）
授课教师：北京市陈经纶中学 黎宁
教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修） 《数学》
第二册（上）P.91——P.95
一、教学背景分析：
（一）关于本课时教学内容的地位与作用
椭圆及其标准方程是学习圆锥曲线的基础，具有承前启后的作用．
（二）学生现状分析
二、教学目标设计
（一）关于教学目标的制定
1．学好基础知识，形成基本技能；
2．提高学生的数学思维能力；
3．帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度。
二、教学目标设计
（二）教学重点与难点的确定
椭圆的定义及其标准方程是教学重点;
椭圆标准方程的推导是教学难点．
我采用了“启发式、探究式”的教学方式．
三、教法、学法分析
（一）关于教学方法的选择
学生的数学学习活动不仅限于对知识和技能的记忆和模仿，动手实践、独立思考、自主探索、合作交流等都是学习数学的重要方式．
三、教法、学法分析
（二）关于学习方法的指导
本节课我选择计算机辅助教学。增大课堂容量，提高课堂效率；激发学生的学习兴趣，展现运动变化过程，使信息技术真正为教学服务．
三、教法、学法分析
（三）关于教学媒体的选择
四、教学程序的设计
（一）课堂结构设计
椭圆定义
椭圆标准方程
生活实例引入
学生动手实践
创设情境，导入新课
引导探究，掌握新知
应用举例
应用举例，巩固新知
课堂小结
回顾小结，归纳提炼
课后作业
课后作业，巩固提高
（二）教学过程设计
第一阶段：创设情境，导入新课：
．
．
M
F2
F1
．
F
M
为了体现基本概念产生的来龙去脉，同时也是为了给学生创造动手实践的机会，由学生来完成用细绳和铅笔 的过程．
（二）教学过程设计
第一阶段：创设情境，导入新课：
作椭圆
第二阶段：引导探究，掌握新知：
若学生概括定义时缺少“常数大于|F1F2| ”的条件时，这时教师可通过设问启发学生大胆想象、推理，自我探究，再通过 演示加深理解，完善概念．
计算机课件
这一阶段是学生与教师相互交流、共同参与的过程．充分体现教师、学生双主体的地位．
a,b,c成等差数列 a+c=2b
，
知
，
成等差数列，
设
等差数列的“a-d,a,a+d”的表示方法
采用与课本不同方法的原因，是考虑学生高一已经学过数列，此法学生容易接受，同时也使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性．
第三阶段：应用举例，巩固新知
选择例题的目的有三个：一是使学生掌握待定系数法求椭圆方程的方法；二是进一步掌握椭圆的定义；三是进一步熟悉焦点位置和椭圆标准方程的关系．
第四阶段：回顾小结，归纳提炼
适时地组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用，发挥知识系统的整体优势，并为后续学习打好基础．
第五阶段：课后作业，巩固提高：
课后作业的设计意图有两个，其一是巩固学生本节课所学的知识并落实教学目标，其二是为后续课的学习作好铺垫．
五、教学评价设计
对学生的评价：坚持过程性评价和阶段性评价相结合的原则．
教师自我反思评价： 我努力提高学生的抽象概括能力和逻辑思维能力，培养学生顽强的意志品质．
2006.11.3.
