2023-2024学年九年级数学上册.第24章 圆 复习课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
2023-2024学年九年级数学上册教学课件★★第二十四章　圆
1. (原创题)如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD和正方形CEFG彼此相邻(点B，C，E在直径MN上，点A，D，F在半圆上，点G在CD上)，若正方形CEFG的面积为1，求圆O的半径．
一 圆的有关性质
1 利用半径相等计算或证明
如图，连接OD，OF.
解：根据对称性有BO＝CO，设OC＝x，则CD＝2x，
∴OD2＝OC2＋CD2＝5x2，
∵正方形CEFG的面积为1，
∴CE＝EF＝1，
∴OF2＝1＋(x＋1)2，
∵OD＝OF，
∴1＋(x＋1)2＝5x2，
解得x1＝1，x2＝－ (舍去)，∴OF＝ .
2．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是 ( )
A．猫先到达B地
B．老鼠先到达B地
C．猫和老鼠同时到达B地
D．无法确定
C
2 圆的周长与面积
3. (2022·郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB为0.6米，污水的最大深度为0.1米．
(1)求此下水管横截面的半径；
3 垂径定理的应用
在Rt△OBC中，OB2＝OC2＋BC2，
∴OB2＝(OB－0.1)2＋0.09，∴BO＝0.5，
即下水管横截面的半径为0.5米；
由垂径定理，得BC＝ AB＝0.3米．
解：(1)如图1，作半径OD⊥AB于点C，连接OB，则CD＝0.1米．
解：(2)如图2，过点O作OH⊥MN于点H，
(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？
∴NH＝MH，
∵水位又被抬升0.7米，
∴OH＝0.1＋0.7－0.5＝0.3米，
∴MN＝0.8米，∴增加了0.2米，
∴水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．
∴NH＝ ＝0.4(米)，
4．(2022·鹿城区期中)如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点M，点E是弧AD的中点，连接AD，CE，延长AE，CD，交于点F.
(1)证明：∠AEC＝2∠C；
(1)证明：∵直径AB⊥弦CD于点M，
∵点E是弧AD的中点，
∴∠AEC＝2∠C；
∴ .
∴2 ，∴2 ，
(2)当AM＝4，CD＝6时，求AF的长．
(2)解：∵∠AEC＝2∠C，∠AEC＝∠C＋∠F，
∴∠C＝∠F.
∵∠DAE＝∠C，
∴∠DAE＝∠F，∴AD＝DF.
∵CD＝6，直径AB⊥弦CD，
∴DF＝5，∴MF＝DM＋DF＝8，
∴DM＝ CD＝3.
∵AM＝4，∴AD＝ ＝5，
∴AF＝ .
5.【圆心角、弧、弦之间的关系相关证明】如图，∠AOB＝90°，C，D是 的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝CD.
4 弧、弦、圆心角的关系
证明：如图，连接AC，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°，AC＝CD，
又∵OA＝OC，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°，
∴∠ACE＝∠AEC.∴AE＝AC.∴AE＝CD.
∵∠AOB＝90°，C，D是 的三等分点，
∴ ，
∴∠ACE＝ ×(180°－30°)＝75°.
6．【用圆心角与弧之间的关系解最值问题】如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是 的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC＋PD的最小值是_____.
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.
(1)求证：四边形ABFC是菱形；
(1)证明：∵AB是直径，
5 巧构直径与直角
∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AC＝AB，
∴四边形ABFC是菱形；
(2)解：如图，连接BD，设CD＝x，
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆形和菱形ABFC的面积．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴AB2－AD2＝CB2－CD2，
∴(7＋x)2－72＝42－x2，
解得x＝1或x＝－8(舍去)，
∴AC＝8，BD＝ ，
∴S菱形ABFC＝8 ，∴S半圆＝ ×π×42＝8π.
8．(2022·朝阳区期中)如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A，B，D作⊙O.
(1)求证：AB是⊙O的直径；
∵AB＝CB，AD＝CD，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径；
(1)证明：如图，连接BD，
(2)延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE；
(2)证明：∵∠E＝∠A，∠C＝∠A，
∴∠E＝∠C，
∴DC＝DE；
(3)若BC＝5，CD＝4，求BE长．
(3)解：∵∠E＝∠A，∠C＝∠C，
∴△EDC∽△ABC.
∵BC＝5，CD＝4，
∴ ，CA＝2CD＝8，
∴CE＝ ×8＝ ，
∴BE＝CE－BC＝ －5＝ .
9．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝ x2－1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为
____________________.
6 直线与圆的位置关系
( ，2)或(－ ，2)
10. 如图，⊙O的直径BE为4，∠BAE的平分线AD交⊙O于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且FC＝AC.
(1)求BD的长；
7 用“连半径，证垂直”证切线
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∵AD平分∠BAE，∠BAD＝∠EAD＝45°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，
在Rt△BOD中，BD＝ ；
(1)解：如图，连接OD，
(2)求证：AC是⊙O的切线．
(2)证明：如图，连接OA.
∵AC＝FC，
∴∠FAC＝∠CFA，
∵∠DFO＝∠CFA，
∴∠DFO＝∠FAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAF＝∠ODF.由(1)知∠BOD＝90°，
∴∠DFO＋∠ODF＝∠CAF＋∠OAF＝90°，
∴OA⊥AC于点A，∴AC是⊙O的切线．
11. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.求证：AC是⊙O的切线．
8 用“连垂直，证半径”证切线
∵△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，而OF⊥AC，∴OF＝OD，
∴AC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OD，作OF⊥AC于点F，
12. 如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E，⊙O过AB上一点D，且DE∥AO，CE是⊙O的直径．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
9 切线长定理
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，
∴△AOD≌△AOC(SAS)，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是⊙O的切线；
在△AOD和△AOC中，
(1)证明：如图，连接OD，
(2)若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
(2)解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠BDO＝90°，
∴BD2＋OD2＝OB2，∴42＋32＝(3＋BE)2，
∴BE＝2，∴BC＝BE＋EC＝8，
∵AD，AC是⊙O的切线，
∴AD＝AC，设AD＝AC＝x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴(4＋x)2＝x2＋82，解得x＝6，∴AC＝6.
13．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移(⊙O可以与该正方形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为_______.
14．【整体思想求周长】如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是 ( )
A．10　　　
B．18　　　
C．20　　　
D．22
C
15．【三角形外接圆和内切圆综合】如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.
(1)求证：ED＝BD；
(1)证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∴∠BED＝∠ABE＋∠BAD，
∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，
∴∠BED＝∠EBD，
∴ED＝BD；
(2)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆⊙O的直径是6，求BD的长．
∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，
∵⊙O的直径是6，
∴BC＝6，
∵E为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝DC，
∴BD＝DC＝ BC＝3 .
(2)解：如图，连接CD，
10 正多边形与圆的相关计算和证明
16. 如图，正△ABC外切于⊙O，正方形DEFG内接于⊙O，若正△ABC的边长为6，则正方形DEFG的边长为_____.
17．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是 ( )
A．18－3π
B．18－ π
C．32 －16π
D．18 －9π
C
18.【利用圆锥公式进行相关计算】如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则AB的长为 ( )
A．3.5 cm
B．4 cm
C．4.5 cm
D．5 cm
B
11 圆锥的侧面积与全面积
19．【分类讨论思想——旋转几何体】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，则所得几何体的表面积为_______.
20．(2022·江阴月考)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC于点E.
(1)求证：DE与⊙O相切；
(1)证明：如图，连接OD.
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE.
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE.
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
(2)解：如图，过点D作DH⊥AB于点H.
(2)若AB＝10，AD＝6，求DE的长；
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，DH⊥AB，
∴DH＝DE.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵AB＝10，AD＝6，
∴BD＝ ＝8.
∵ AB·DH＝ AD·DB，
∴DH＝ ，∴DE＝DH＝ ；
(3)在(2)的条件下，直接写出CD的长为____.
6
(3)解：∵BD平分∠ABC，
∴CD＝AD＝6.
故答案为6.
∴ ，
21. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径， ，DE⊥BC，垂足为E.
(1)求证：CD平分∠ACE；
12 圆综合
∴∠BAD＝∠ACD.
∵∠DCE＝∠BAD，
∴∠ACD＝∠DCE，
即CD平分∠ACE；
(1)证明：∵ ，
(2)解：直线ED与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，
(2)判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
而∠OCD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
(3)若CE＝1，AC＝4，求阴影部分的面积．
(3)解：如图，作OH⊥BC于点H，则四边形ODEH为矩形，
∴OD＝EH，
∵CE＝1，AC＝4，
∴OC＝OD＝2，
∴CH＝HE－CE＝2－1＝1，
在Rt△OHC中，∠HOC＝30°，∠COD＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形OCD－S△OCD
＝ .