2023-2024学年九年级数学上册第21章　一元二次方程 复习课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
2023-2024学年九年级数学上册教学课件★★第二十一章　一元二次方程
1. (2022·海淀区期中)已知m是方程x2＋2x－4＝0的一个根，求代数式(m＋2)2＋(m＋3)(m－3)的值．
一 运用根的定义求值
解：原式＝m2＋4m＋4＋m2－9＝2m2＋4m－5.
1 整体思想
∵m是方程x2＋2x－4＝0的一个根，
∴m2＋2m－4＝0，
即m2＋2m＝4，
则原式＝2(m2＋2m)－5＝2×4－5＝3.
2. (2022·西城区月考)若m是方程x2＋x－1＝0的一个根，求代数式m3＋2m2＋2 022的值．
解：根据题意，得m2＋m－1＝0，
2 降次思想
则m2＋m＝1，即m(m＋1)＝1，
则m3＋2m2＋2 022
＝m(m2＋m＋m)＋2 022
＝m(m＋1)＋2 022
＝1＋2 022＝2 023.
3. “a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2)2＋1，∵(x＋2)2≥0，∴(x＋2)2＋1≥1，∴x2＋4x＋5≥1.试用“配方法”证明：代数式x2－6x＋20的最小值是11.
证明：∵x2－6x＋20＝(x－3)2＋11，
二 配方的应用
1 阅读理解
∴当x＝3时，代数式x2－6x＋20有最小值，
这个最小值为11.
4. 已知等腰△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b满足：a2＋b2＝6a＋12b－45，求△ABC的周长．
2 配方后根据非负性求值
解：a2＋b2＝6a＋12b－45，
a2－6a＋9＋b2－12b＋36＝0，
(a－3)2＋(b－6)2＝0，
∵(a－3)2≥0，(b－6)2≥0，
∴a－3＝0，b－6＝0，解得，a＝3，b＝6，
△ABC为等腰三角形，
当a，c为腰时，即c＝a＝3，这时a＋c＝3＋3＝6，a＋c＝b，不构成三角形；当b，c为腰时，c＝b＝6，构成三角形．
∴三边长分别为3，6，6，
∴△ABC的周长为3＋6＋6＝15.
5. 用“配方法”证明代数式3x2－5x－1的值总大于2x2－4x－7的值．
3 配方法＋作差法比较大小
∴不论x为何值时，3x2－5x－1－(2x2－4x－7)>0总成立，
∴代数式3x2－5x－1的值总大于2x2－4x－7的值．
解：∵3x2－5x－1－(2x2－4x－7)＝x2－x＋6＝ ＋5 >0，
6．(2022·昭阳区期末)已知函数y＝kx＋b的图象如图所示，则一元二次方程2x2－x＋k－1＝0的根的存在情况是 ( )
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
C
三 根的判别式的应用
1 利用根的判别式判断根的情况
7．等腰三角形的一边长是4，方程x2－6x＋m＋1＝0的两个根是三角形的两边长，则m为 ( )
A．7　　　
B．8　　　
C．4　　　
D．7或8
D
2 根据根的情况，求方程的字母系数的范围或值
解：∵关于x的方程x2－2x＋a＝0有两个不相等的实数根，
3 利用根的判别式求代数式的值
∴Δ＝(－2)2－4a>0，∴a<1.
∴a－1<0，
8. 已知关于x的方程x2－2x＋a＝0有两个不相等的实数根，请化简 .
∴原式＝ ＝a＋1－a＋1＝2.
四 可化为一元二次方程的方程解法
1 可化为一元二次方程的分式方程
9. 解分式方程： ＝0.6.
解：方程两边同乘以x(x＋3)，得
26(x＋3)－26x＝0.6x(x＋3)
78＝0.6x(x＋3)
130＝x2＋3x
x2＋3x－130＝0，
x1＝－13，x2＝10，
经检验，x1＝－13，x2＝10是原方程的解，
∴原方程的解为x1＝－13，x2＝10.
2 可化为一元二次方程的方程组
10 . 解方程组
解：
由①，得y＝5－x③，
把③代入②，得x2＋(5－x)2＝17，
整理，得x2－5x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，
把x1＝1，x2＝4分别代入③，得y1＝4，y2＝1.
∴原方程组的解为
3 平方法解无理方程
解：(x－5)2＝x－3
x2－10x＋25＝x－3
x2－11x＋28＝0
(x－4)(x－7)＝0，
x1＝4，x2＝7，
经检验x＝4是原方程的增根，舍去．
∴原方程的解为x＝7.
11. 解方程：x－5＝ .
13. 方程：x2－ －1＝0的解为_______________.
12. 设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a2＋b2)(a2＋b2－1)＝6，则这个直角三角形的斜边长为_____.
4 换元法解方程
5 分类讨论解绝对值方程
x＝1或x＝－2
14. 已知2－ 是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则方程另一个根是_______，c＝____.
五 根与系数的关系
1 已知一根，根据韦达定理求另一根
1
15. 已知x1，x2是关于x的方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m＝0两个实数根．
(1)求m的取值范围；
解：(1)依题意，得Δ≥0且m－2≠0，
2 已知两根代数式的值求系数的值
即(2m＋1)2－4×(m－2)·m≥0，
解得m≥－ 且m≠2；
(2)若 ，求m的值及方程的根．
解：(2)依题意，有以下两种情况：
①当x1＝x2，这时Δ＝0，得m＝－ ，
x1＝x2＝ .
②当x1＝－x2时，这时x1＋x2＝0，得m＝－ ，
∵m≥－ 且m≠2，∴此时方程无解．
综上所述，m＝－ ，x1＝x2＝ .
16．(2022·郾城区期末)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(1)证明：Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1>0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
(2)解：∵Δ＝1>0，∴AB≠AC，
∴AB，AC中有一个数为4.
当x＝4时，原方程为16－4(2k＋1)＋k2＋k＝0，
即k2－7k＋12＝0，解得k1＝3，k2＝4.
当k＝3时，原方程为x2－7x＋12＝0，
解得x1＝3，x2＝4.
∵3，4，4能围成等腰三角形，∴k＝3符合题意；
当k＝4时，原方程为x2－9x＋20＝0，
解得x1＝4，x2＝5.
∵4，4，5能围成等腰三角形，∴k＝4符合题意．
综上所述，k的值为3或4.
17．如图，有一道长为10 m的墙，计划用总长为54 m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD.若花圃ABCD面积为72 m2，则AB＝____m.
12
六 一元二次方程的应用
1 靠墙问题
2 靠墙开门问题
18. 剧院演出，工作人员准备利用一边靠墙(墙26米)的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300平方米的长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1米的出入口，共用去隔栏绳48米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？
解：如图，设封闭型长方形等候区的边AB为x米，
依题意，得x(48－2x＋2)＝300，
整理，得x2－25x＋150＝0，
解得x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，BC＝30>26，
当x＝15时，BC＝20<26，
∴x＝10不合题意，应舍去．
答：长方形等候区的边AB为15米，BC为20米.
3 小路问题
19. (2022·西乡塘区期末)某公园准备在一块长为42 m，宽为30 m的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房(如图)，在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的6倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为x m．
(1)用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积；
解：(1)∵温室花房边长是小路宽度的6倍，小路宽度为x m，
∴温室花房边长为6x m，
∴温室花房的面积为6x·6x＝36x2(m2)，
小路的面积为(42－6x＋30－6x)·x＝(72x－12x2)(m2)．
答：温室花房的面积为36x2 m2，小路的面积为(72x－12x2) m2；
(2)若草坪面积为1 164 m2时，求这时小路宽度．
解：(2)依题意，得42×30－36x2－(72x－12x2)＝1 164.
整理，得x2＋3x－4＝0.
解得x1＝1，x2＝－4(不合题意，舍去)．
答：当草坪面积为1 164 m2时，小路的宽度为1 m.
20．如图，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1∶3.如果要使彩条所占面积是图案总面积的19%，求竖彩条的宽度．
解：设横彩条的宽度是x cm，竖彩条的宽度是3x cm，
则(30－3x)(20－2x)＝20×30×(1－19%)，
解得x1＝1，x2＝19(舍去)，
所以3x＝3.
答：竖彩条的宽度是3 cm.
21. (2022·镇平县期中)李明在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售，经过一段时间后发现：当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，设该商品的售价为x元/件(20≤x≤50)．
(1)用含售价x的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为__________件；
4 利润问题
(160－2x)
解：(1)∵该商品的售价为x元/件(20≤x≤50)，且当售价是50元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出2件，
∴每天能售出该工艺品的件数为60＋2(50－x)＝(160－2x)件．
故答案为(160－2x)；
(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1 000元，求该商品的售价．
解：(2)由题意，得(x－20)(160－2x)＝1 000.
整理，得x2－100x＋2 100＝0.
解得x1＝30，x2＝70(不合题意，舍去)．
答：该商品的售价为30元．
22．(2022·盐都区期中)近年来，区委组织部借助网红直播基地，积极探索党建引领乡村振兴的新模式．某电商在抖音上对种植成本为20元/千克的“阳光玫瑰”葡萄进行直播销售，如果按每千克40元销售，每天可卖出200千克．通过市场调查发现，如果“阳光玫瑰”售价每千克降低1元，日销售量将增加20千克．
(1)若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低多少元？
解：(1)设每千克“阳光玫瑰”售价降低x元，
则每千克的销售利润为(40－x－20)元，
日销售量为(200＋20x)千克．
根据题意，得(40－x－20)(200＋20x)＝(40－20)×200.
整理，得x2－10x＝0.
解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝10.
答：若日利润保持不变，每千克“阳光玫瑰”售价可降低10元；
(2)小明的线下水果店也销售同款葡萄，标价为每千克50元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？
解：(2)设该商品需要打y折销售，
解得y≤6，
答：该商品至少需打六折销售.
根据题意，得50× ≤40－10.
∴y的最大值为6.
5 动点问题
23. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．问：
(1)几秒时，△PBQ的面积等于8 cm2
解：(1)设x秒后△PBQ的面积等于8 cm2.
则AP＝x cm，QB＝2x cm，
∴PB＝6－x.
解得x1＝2，x2＝4，
答：2 s或4 s后△PBQ的面积等于8 cm2；
由 ×(6－x)2x＝8，
(2)几秒时，△PDQ的面积等于28 cm2
解：(2)设出发x s时△DPQ的面积等于28 cm2.
∵S矩形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ＝S△DPQ，
化简整理得x2－6x＋8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
答：2 s或4 s后△PDQ的面积等于28 cm2；
∴12×6－ ×12x－ ×2x(6－x)－ ×6×(12－2x)＝28，
(3)几秒时，PQ⊥DQ
解：(3)设x s后PQ⊥DQ，∠DQP为直角，
设AP＝x，QB＝2x，
∴△BPQ∽△CQD，∴ ，
∴ ，
∴2x2－15x＋18＝0，解得x＝ 或6，
经检验x＝ 是原分式方程的根，x＝6不是原分式方程的根，当x＝6时，点P到达点B、点Q到达点C，此时PQ⊥DQ.
答： s或6 s后PQ⊥DQ.