2023-2024学年九年级数学上册 第22章 二次函数 复习课件(共62张PPT)

(共62张PPT)
2023-2024学年九年级数学上册教学课件★★第二十二章　二次函数
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象与一次函数y＝2ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
A
一 二次函数的图象
2．(2022·拜泉县期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx－2k和二次函数y＝－kx2＋2x－4(k是常数且k≠0)的图象可能是 ( )
C
3. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，如图，直线x＝－1是其对称轴，与x轴的一个交点为(－3，0)．
(1)判断符号：a___0，b___0，c___0，b2－4ac___0，a－b＋c___0；a＋b＋c___0.
(2)当x满足_______________时，y<0.
<
二 抛物线中a，b和c的几何意义
<
>
>
>
＝
x>1或x<－3
4．(2022·定南县期中)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，且过点 ，有下列结论：①abc>0；②a－2b＋4c＝0；③3b＋2c>0；④a－b≥m(am－b)，其中正确的结论为 ( )
A．①②　　
B．②③　　
C．③④　　
D．①④
D
三 二次函数的应用
1 复杂靠墙问题
5. 一段长为30 m的墙MN前有一块矩形ABCD空地，用100 m长的篱笆围成如图所示的图形(靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计)，其中四边形AEFH和四边形CDHG是矩形，四边形EBGF是边长为10 m的正方形，设CD＝x m.
(1)若矩形CDHG面积为125 m2，求CD长；
解：(1)由题意得：3x＋20＋GC＝100，
解得GC＝(80－3x)m，
∵BC＝BG＋GC＝10＋80－3x＝90－3x，
而0解得20≤x<30，
矩形CDHG面积＝GC·CD＝(80－3x)x＝125，
∴CD长为25 m；
解得x＝25或 (舍去)，
(2)当CD长为多少米时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是多少？
解：(2)设矩形ABCD的面积为s，
则s＝BC·CD＝x(90－3x)＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋675，
∵－3<0，故抛物线开口向下，
而20≤x<30，当x>15时，s随x的增大而减小，
故当x＝20(m)时，s取得最大值为
－3×(20－15)2＋675＝600(m2)．
答：当CD长为20 m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是600 m2.
2 销售问题
6. (2022·浠水县期中)小丽老师家有一片80棵桃树的桃园，现准备多种一些桃树提高桃园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该桃园每棵桃树产桃y(单位：千克)与增种桃树x(单位：棵)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
解：(1)设函数的表达式为y＝kx＋b，
该一次函数过点(12，74)，(28，66)，
得
解得
∴该函数的表达式为y＝－ x＋80；
(2)在投入成本最低的情况下，增种桃树多少棵时，桃园的总产量可以达到6 750千克？
解：(2)根据题意，得(－0.5x＋80)(80＋x)＝6 750.
解得x1＝10，x2＝70.
∵投入成本最低，
∴x2＝70不符合题意，舍去．
∴增种桃树10棵时，桃园的总产量可以达到6 750千克；
(3)如果增种的桃树x满足：20≤x≤40，请你帮小丽老师家计算一下，桃园的总产量最少是多少千克？
解：(3)根据题意，得
w＝(－0.5x＋80)(80＋x)
＝－0.5x2＋40x＋6 400
＝－0.5(x－40)2＋7 200.
∵a＝－0.5<0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值．
∵20≤x≤40，
∴当x＝20时，w最小值＝7 000千克，
∴桃园的总产量最少是7 000千克．
7．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整数)．
(1)直接写出y与x的函数关系式；
解：(1)设线段AB的表达式为y＝kx＋b(40≤x≤60)，
将点(40，300)，(60，100)代入
∴函数的表达式为y＝－10x＋700(40≤x≤60)，
设线段BC的表达式为y＝mx＋n(60将点(60，100)，(70，150)代入
∴函数的表达式为y＝5x－200(60得 解得
得 解得
∴y与x的函数关系式为y＝
(2)当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
解：(2)设获得的利润为w元，
①当40≤x≤60时，
w＝(x－30)(－10x＋700)＝－10(x－50)2＋4 000，
∵－10<0，
∴当x＝50时，w有最大值，最大值为4 000元；
②当60w＝(x－30)(5x－200)－150(x－60)＝5(x－50)2＋2 500，
∵5>0，∴当60∴当x＝70时，w有最大，
最大值为5(70－50)2＋2 500＝4 500(元)，
综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4 500元.
8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)b＝_____，c＝_____；
－2
四 二次函数的综合
1 面积问题，求PA＋PB最小值
－3
解：(1)∵点A和点B在二次函数y＝x2＋bx＋c图象上，
故答案为－2，－3；
则 解得
(2)若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
解：(2)如图，连接BC，
依题意，得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，
y＝x2－2x－3，
∵S△ABD＝2S△ABC，设点D(m，m2－2m－3)，
可得，y值都为6，
∴S△ABC＝ ＝ ×4×3＝6，
∴ ×AB× ＝2×6，即 ×4× ＝2×6，
解得：m＝1＋ 或1－ ，代入y＝x2－2x－3，
∴D点坐标为(1＋ ，6)或(1－ ，6)；
(3)若点P在抛物线的对称轴上，求PA＋PC的最小值．
解：(3)设BC交对称轴于点P，
此时，PA＋PC最小，最小值为BC的长BC＝ ，
故PA＋PC的最小值为3 .
9．(2022·浠水县期中)如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
解：(1)将点A，B代入抛物线，得
将①－②，得8＋4b＝0，
∴b＝－2，
代入①，得c＝1－b＝3，
∴y＝－x2－2x＋3；
(2)设抛物线与y轴交于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
如图1，由抛物线性质可知点A关于x＝－1的对称点为B，
解：(2)令x＝0，∴y＝3，∴C(0，3)，∴对称轴x＝－1.
∴AQ＋QC＝BQ＋QC≥BC(三角形两边之和大于第三边，Q在BC上时取等号)
∴△QAC周长最小时，Q为BC与x＝－1的交点．
②代入①，得k＝1，∴y＝x＋3.
令x＝－1，得y＝2，∴Q(－1，2)；
设lBC：y＝kx＋b，代入B，C，得
(3)如图2，P是线段BC上的一个动点．过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值．
解：(3)设P(m，m＋3)(－3≤m≤0)，点P在线段BC上，
∴E(m，－m2－2m＋3)．
∵PE∥y轴，E在抛物线上，
∴PE＝－m2－2m＋3－(m＋3)＝－m2－3m
＝ ，
故PE最大值为 .
10. (2022·雁塔区四模)抛物线W：y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
解：(1)∵y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(4，0)，
2 与等腰三角形，特殊四边形综合
∴ 解得
∴抛物线的解析式为y＝ x2－ x＋3；
(2)已知点P为x轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BCP是以CP为腰的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
∴点C(0，3)．
设点P(x，0)，由点C，B，P的坐标，得
CP2＝x2＋32，PB2＝(x－4)2，CB2＝42＋32＝25，
当PC＝CB时，x2＋32＝25，解得x＝4(舍去)或－4；
解：(2)∵抛物线的解析式为y＝ x2－ x＋3，
∴点P的坐标为 或(－4，0)．
当PC＝PB时，即x2＋32＝(x－4)2.解得x＝ ；
11．(2022·番禺区期中)如图，抛物线y＝－ x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.直线y＝2x＋2经过点A，C.
(1)抛物线的解析式为____________________，点B的坐标为______；
(4，0)
解：(1)对于y＝2x＋2，令y＝2x＋2＝0，解得x＝－1；
令x＝0，则y＝2，故点A，C的坐标分别为(－1，0)，(0，2)．
将点A，C的坐标代入抛物线表达式，得
解得x＝4或－1，故点B(4，0)．
解得
故抛物线的表达式为y＝－ x2＋ x＋2. ①
令y＝－ x2＋ x＋2＝0，
故答案为y＝－ x2＋ x＋2，(4，0)；
(2)若点P是第一象限内抛物线上一点，连接BP并延长交直线AC于点E，当CE＝AC时，求点P的横坐标；
解：(2)由点A，B，C的坐标知，
AB＝5，AC2＝5，BC2＝20，即AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AE.
而CE＝AC，故AB＝EB＝5.
设点E(m，2m＋2)，则(m－4)2＋(2m＋2)2＝25，
解得m＝－1(舍去)或1，故点E(1，4)．
由B，E的坐标，得直线BE的表达式为y＝－ x＋ . ②
联立①②并解得x＝4(舍去)或 ，
即点P的横坐标为 ；
(3)若点G是抛物线上一点，点H是x轴上一点，是否存在这样的点G，H，使以点A，C，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
当AC是平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，得0＋2＝n＋0，解得n＝2，
当AH是平行四边形的对角线时，
当AG是平行四边形的对角线时，同理可得，点G(3，2)．
解：(3)存在．理由如下：设点G(m，n)，n＝－ m2＋ m＋2.
即n＝－ m2＋ m＋2＝2，解得m＝0(舍去)或3，即点G(3，2)；
同理可得0＋0＝n＋2，解得n＝－2，则点G ；
综上所述，点G的坐标为 或G(3，2)．
12. 如图1，抛物线y＝ax2＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝2OA＝4.
(1)求抛物线解析式；
3 二次函数与角度
解：(1)∵OC＝4，∴c＝－4，
∴抛物线的解析式为y＝ax2－4，
∵OC＝2OA＝4，∴A(－2，0)，
∴0＝4a－4，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2－4；
(2)如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标．
解：(2)如图2，过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q.
∴△BAQ≌△COA(ASA)，∴AQ＝OA＝2，∴Q(－2，－2)．
∵B(2，0)，Q(－2，－2)，
在△BAQ和△COA中，
∴直线BQ的解析式为y＝ x－1，
联立 解得 (舍去)或
∴点P坐标为 .
13．(2022·云安区模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴交于点C，点D(3，4)在抛物线上，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的解析式；
解：(1)∵点B(4，0)，
点D(3，4)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，
∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4；
∴
解得
(2)如图1，连接OD，若OP平分∠COD，求点P的坐标；
①当点P在第一象限时，作PE∥y轴，交OD于点Q，交x轴于点E.
解：(2)如图1，分两种情况讨论：
∵PE∥y轴，∴∠OPQ＝∠POC.
∵OP平分∠COD，∴∠POC＝∠POQ，
∴∠POQ＝∠OPQ，∴PQ＝OQ.
设点P的横坐标为t，则P(t，－t2＋3t＋4)，
设OD的解析式为y＝kx，将D(3，4)代入，得k＝ ，
∴OD的解析式为y＝ x.
②延长PO交抛物线于点P′，由图1可知，点P′也符合题意．
解得t1＝2，t2＝－2(舍去)，∴t＝2，
∴－t2＋3t＋4＝－4＋6＋4＝6，
∴点P的坐标为(2，6)；
由点P(2，6)可得直线OP的解析式为y＝3x.
Q ，E(t，0)，其中0∴PQ＝－t2＋3t＋4－ t＝－t2＋ t＋4，OE＝t，EQ＝ t，
∴OQ＝ ＝ t.∴ t＝－t2＋ t＋4，
∴点P′(－2，－6)．
综上所述，点P的坐标是(2，6)或(－2，－6)；
联立 解得
(3)如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP＋∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(3)如图2，过点B作∠ABP＝∠ACO，
交y轴正半轴于点F，交抛物线于点P，
则∠CBP＋∠ACO＝∠CBP＋∠ABP＝∠ABC＝45°.
∵∠OBF＝∠OCA，OB＝OC，∠BOF＝∠COA＝90°，
∴△OBF≌△OCA，∴OF＝OA＝1，∴F(0，1)．
设直线BF的解析式为y＝mx＋n，
将B(4，0)，F(0，1)代入，得 解得
∴直线BF的解析式为y＝－ x＋1，
由对称的性质，得∠F′CB＝∠FCB＝45°，
CF′＝CF＝OC－OF＝3，∠CBF′＝∠CBF.
∴点P′也符合题意．
∵∠F′CB＝∠OBC＝45°，
∴CF′∥OB，∴F′(3，4)．
联立 解得 或 ∴P ；
如图2，作点F关于直线BC的对称点F′，作射线BF′交抛物线于点P′，
由点B(4，0)和点F′(3，4)可得直线BF′的解析式为
y＝－4x＋16，
∴点P′的坐标是(3，4)．
联立 解得 或
综上所述，点P的坐标是 或(3，4)．
4 求三角形面积最大值
14. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，与y轴交于点C(0，－3)．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
解：(1)把点A(－1，0)，点C(0，－3)代入抛物线的解析式得
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，
∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴顶点的坐标为(1，－4)；
解得
(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t，△BCH的面积为S，求S关于t的函数关系式．若S有最大值，请求出S的最大值；若没有，请说明理由．
解：(2)如图，设直线BC的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，
在抛物线上，当y＝0时，即x2－2x－3＝0，
解得：x1＝3，x2＝－1，∴B(3，0)，
将B(3，0)，C(0，－3)代入y＝kx＋d(k≠0)中，
∴直线BC的解析式为y＝x－3，
∵OP＝t，B(3，0)，∴OB＝3，
设点P的坐标为(t，0)，
得 解得
则点N的坐标为(t，t－3)，点H的坐标为(t，t2－2t－3)，
∴NH＝t－3－(t2－2t－3)＝－t2＋3t，
∴S＝S△BCH＝S△BNH＋S△CNH＝ NH·OB＝ ×3(－t2＋3t)
＝－ t2＋ t＝－
∵0≤t≤3，－ <0，∴S有最大值，
∴当t＝ 时，S取最大值，最大值为 .
15. (2022·东营区模拟)如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求A，B，C三点的坐标；
解：(1)对于y＝－x2＋2x＋3，
5 二次函数与直角三角形综合
令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)，
令y＝0，则y＝－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝－1，
∴A(－1，0)，B(3，0)；
(2)若点P为线段BC上的一点(不与B，C重合)，PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标；
解：(2)设BC的表达式为y＝kx＋b，
∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.
设点P的坐标为(t，－t＋3)，
则点M的坐标为(t，－t2＋2t＋3)，
则 解得
∴PM＝－t2＋2t＋3＋t－3＝－t2＋3t＝－ ＋ ，
当t＝ 时，PM最大，此时点M的坐标为 ；
(3)在(2)的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标．
解：(3)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵△CNQ为直角三角形，
∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况：
∴设Q(1，m)，且C(0，3)，N ，
∴CN＝ ，CQ＝ ，
NQ＝ .
①当点C为直角顶点时，则有CN2＋CQ2＝NQ2，
②当点Q为直角顶点时，则有CQ2＋NQ2＝CN2，
即 ＋(m2－6m＋10)＝m2＋ ，解得m＝ ，
此时点Q的坐标为 ；
即(m2－6m＋10)＋m2＋ ＝ ，
解得m1＝ ，m2＝ ，
③当点N为直角顶点时，则有CN2＋NQ2＝CQ2，
此时点Q的坐标为 或 ；
即 ＋m2＋ ＝(m2－6m＋10)，
解得m＝－ ，此时点Q的坐标为 .
综上所述，点Q坐标为 或 或 或
.