2023 年 08 月 07 日 xx 学校高中数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若复数满足 z 1 i 1 2i，则复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】
1、答案：D
1 2i i 1 2i解析：由题意得， z 1 2 2 i ， z 3 i，则复数在复平面内对应的i i
点为 3, 1 ，在第四象限.故选：D.
2、已知集合 A 2, 5,3a 1,a2 ， B {a 5,9,1 a, 4}，若 A B {4}，则实数 a的取
值集合为( )
A.{1,2, 2} B.{1, 2} C.{1, 2} D.{1}
【答案】
2、答案：D
解析： 集合 A 2, 5,3a 1,a2 ， B {a 5,9,1 a, 4}，又 A B {4}， 3a 1 4
或 a2 4，解得a 1或a 2或a 2 .当 a 1时， A {2, 5,4,1}， B {6,9,0, 4}，
A B {4}，符合题意；当a 2时， A {2, 5,7,4}，B {7,9, 1,4}，
A B {7,4}，不符合题意；当a 2时， A {2, 5, 5,4}，B {3,9,3, 4}，不满足
集合中元素的互异性.综上可知，a 1 .则实数 a的取值集合为{1} .故选 D.
3、“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间
[0,10]内的一个数来表示，该数越接近 10表示满意度越高.现随机抽取 10位某市居民进行街头调
查，得到他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，则这组数据的 80%分位数是( )
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9
【答案】
3、答案：C
解析：数据 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，共 10个，且10 80% 8，所以 80%分位数是 8.5.
故选 C.
4、已知向量 a 1,1,0 ，b 1,0,2 ，且 ka b与2a b互相垂直，则 k的值是( )
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
A.1 B. 1 C. 3 D. 7
5 5 5
【答案】
4、答案：D
解析： ka b k(1,1,0) ( 1,0, 2) (k 1,k , 2)， 2a b 2(1,1,0) ( 1,0, 2) (3, 2, 2)，
(ka b)(2a b) 0， k 7 .
5
5、如图，过正方形 ABCD的顶点 A，作 PA 平面 ABCD.若 PA BA，则平面 ABP和
平面 CDP所成的二面角的大小是( ).
A.30 B.45 C.60 D.90
【答案】
5、答案：B
解析：解法 1：如图 1，以 AB，AD，AP所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建系，则平
面 ABP的法向量n1 (0,1,0)，平面 CDP的法向量n2 (0,1,1)，所以n1，n2的夹角为
45 .
解法 2：如图 2，将四棱锥P ABCD补成正方体，则平面 ABP与平面 CDP所成的二
面角就是平面 ABQP与平面 CDPQ所成的二面角，其大小为 45 .
6、已知 a，b 均为空间单位向量，它们的夹角为60 ，那么 | a 3b |等于( )
A. 7 B. 10 C. 13 D.4
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
【答案】
6、答案：C
解析： | a 3b | (a 3b)2 a2 9b2 6a b 13 .故选 C.
7、2019年 10月 1日，在庆祝中华人民共和国成立 70周年大阅兵的徒步方队中，被誉
为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三
1
所院校联合抽组，已知军事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为 ，
3
1 1
， ，则这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为( )
4 6
A. 1 B. 5 C. 7 D. 2
3 12 12 3
【答案】
7、答案：C
解析：记“这三名同学中至少有一名同学被选上”为事件 A，
1 1 1 5
则事件 A为“这三名同学都没被选上”，则 P(A) (1 ) (1 ) (1 ) ，所以
3 4 6 12
P(A) 1 P(A) 1 5 7 .故选 C.
12 12
8、《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几
何 ”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的
一般解法：如图(1)，用对角线将长和宽分别为 b和 a的矩形分成两个直角三角形，每
个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)，将三种颜色的
图形进行重组，得到如图(2)所示的矩形，该矩形长为a b，宽为内接正方形的边 d，
由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图(3)，设 D为斜边 BC的中点，作直
角三角形 ABC的内接正方形的对角线 AE，过点 A作 AF BC于点 F，则下列推理正
确的是( )
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
①由图(1)和图(2) ab面积相等可得 d ；
a b
a2 b2AE AF a b②由 可得 ；
2 2
2 2
③由 AD AE a b 2可得
2 1 1
；
a b
④由 AD AF 可得 a2 b2 2ab .
A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①③
【答案】
8、答案：A
ab
解析：由面积相等得 ab (a b)d ，所以 d ，故①正确.在题图(3)中，由三角形
a b
ab 2ab
面积得 AF ，由题意可知 AE 2d .又因为 AE AF ，所以
a2 b2 a b
2ab ab a2 b2 a b 1
，所以 ，故②正确.由题意得 AD a2 b2 .因为
a b a2 b2 2 2 2
AD AE 1 a2 b2 2ab a
2 b2 2ab 2
，所以 ，所以 1 1 ，故③正确.由2 a b 2 a b
a b
AD 1 AF 得 a2 ab b2 ，即 a2 b2 2ab，故④正确.选 A.
2 a2 b2
二、多项选择题
9、已知 x, y R ,i为虚数单位,且 x 1 i y 1 2i ,复数 z 1 i x y ,则以下结论正确
的是( )
A.z的虚部为 2i B. z的模为 2
C. z的共轭复数为2i D. z对应的点在第四象限
【答案】
9、答案：BC
x 1 2 x 1解析： x 1 i y 1 2i , , 解得： , z 1 i 2 2i .
y 1 y 1
对于 A,z的虚部为 2 ,A错误；
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
对于 B, z 2 ,B正确；
对于 C,z的共轭复数为2i ,C正确；
对于 D,z对应 0, 2 ,不在第四象限,D错误.
故选：BC.
10、如图，在三棱锥 P ABC中， PA 平面 ABC， AB BC， PA AB，D为 PB的中点，则下
列结论正确的有( )
A. BC⊥平面 PAB B. AD PC C. AD 平面 PBC D. PB 平面 ADC
【答案】
10、答案：ABC
解析：因为 PA 平面 ABC，所以 PA BC ，又 BC AB， PA AB A，PA， AB 平面 PAB，
所以 BC 平面 PAB，故 A正确；
由 BC 平面 PAB，得 BC AD，又 PA AB，D是 PB的中点，所以 AD PB，又
PB BC B，PB， BC 平面 PBC，所以 AD 平面 PBC，所以 AD PC，故 B，C正确；
由 BC 平面 PAB，得 BC PB，因此 PB与 CD不垂直，从而 PB不与平面 ADC垂直，D错误.故
选 A，B，C.
11、已知向量a (sin , cos )，b (1, 2)，则下列命题正确的是( )
A.若a//b，则 tan 1
2
B.若a b 1，则 tan
2
C. 1设 f ( ) a b，则当 f ( )取得最大值时， tan
2
D. | a b |的最大值为 5 1
【答案】
11、答案：ACD
A a//b 2sin cos tan sin 1解析： 项，若 ，则 ，即 ，故 A项正确；
cos 2
B sin 项，若a b，则a b sin 2cos 0，所以 tan 2，故 B项错误；
cos
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
C项， f ( ) a b sin 2cos 5 sin( 2 5 5 )，其中 sin ， cos ，故
5 5
当 2k (k Z)时， f ( )取得最大值 5，此时
2
sin 2k
tan sin 2 cos 1 ，故 C项正确；
cos cos 2k sin 2
2
D项，a b (cos 1,sin 2)，所以 | a b | (cos 1)2 (sin 2)2
cos2 2cos 1 sin2 4sin 4
6 2cos 4sin 6 2 5 sin( )，
即 | a b |的最大值为 6 2 5 ( 5 1)2 5 1，故 D项正确.
12、某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1 ~ 1000的 1000名
学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题 1：您的编号是否为奇数？问题 2：您是否吸烟？
被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球 100个，红球100个）中摸出一
个小球：若摸出白球则回答问题 1，若摸出红球则回答问题 2，共有 270人回答“是”，则下述正确
的是（ ）
A．估计被调查者中约有 520人吸烟 B．估计约有 20人对问题 2的回答为“是”
C．估计该地区约有 4%的中学生吸烟 D．估计该地区约有 2%的中学生吸烟
【答案】
12、答案：BC
解析：
三、填空题
13、中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军
3 1
的概率为 ，乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
7 4
________.
【答案】
13 19、答案：
28
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙
夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的
3 1 19
加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .
7 4 28
14、已知棱长为 2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为
___________________.
【答案】
14 8 3、答案：
9
解析：设棱长为 2的正方体的内切球的半径为 r，
则 2r 2，解得 r 1.设所求的小正方体的棱长为 a，则 3a2 (2r)2，
3
2r 2
所以 a ，所以小正方体体积的最大值为 a3 2 8 3 .3 3 3 9
15、将一个总体分为 A，B，C三层，其个体数之比为 5∶3∶2，A，B，C三层的样本
的平均数分别为 15，30，20，则样本的平均数为_____.
【答案】
15、答案：20.5
解析：解析：由题意可知样本的平均数为
5 3 2
x＝ ×15＋ ×30＋ ×20＝20.5，5 3 2 5 3 2 5 3 2
故答案为：20.5
16、如图，在直三棱柱 A1B1C1 ABC中，底面为直角三角形， ACB 90 ， AC 6，
BC CC1 2，P是BC1上的一个动点，则CP PA1的最小值是________.
【答案】
16、答案：5 2
解析：连接 A1B，沿BC1将△CBC1旋转到与△A1BC1在同一个平面内，如图，连接
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
A1C，则 A1C的长度就是所求的最小值.通过计算可得 A1C1B 90 ，又 BC1C 45 ，
所以 A1C1C 135 ，由余弦定理可求得 A1C 5 2 .
四、解答题
17、已知复数 z m2 5m 6 m 2 i (m R ).
(1)若复数 z为纯虚数，求实数 m的值；
(2)若复数 z在复平面内对应的点在第二象限，求实数 m的取值范围.
【答案】
17、答案：(1)m 3
(2)实数 m的取值范围为 2,3
m2 5m 6 0
解析：(1)因为复数 z为纯虚数，所以 ，
m 2 0
解之得，m 3 .
m2 5m 6 0
(2)因为复数 z在复平面内对应的点在第二象限，所以 ，
m 2 0
2 m 3
解之得 ，得2 m 3 .
m 2
所以实数 m的取值范围为 2,3 .
18、设两个向量 e1， e2满足 e1 2， e2 1， e1， e2的夹角为60 .若向量 2te1 7e2 与
e1 te2的夹角为钝角，求实数 t的取值范围.
【答案】
18 14 14 1、答案：实数 t的取值范围为 7, 2
,
2 2
解析：设向量 2te1 7e2 与 e1 te2的夹角为 .
向量 2te1 7e2 与 e1 te2的夹角为钝角，
2te1 7e2 e1 te2 0，
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
2te21 2t
2e1 e2 7e1 e2 7te
2
2
2t e 2 2t21 7 e1 e2 cos60 7t e 22
8t 2t 2 7 7t 2t 2 15t 7 0，
1
解得 7 t .
2
当 时，也有 2te1 7e2 e1 te2 0 .
设2te1 7e2 e1 te2 ， 0，
2t , 14,
由 e 1， e2不共线，得 7 t,解得 14
0,
t .
2
14 14 1
综上所述，实数 t的取值范围为 7, 2
, 2 2
.
19、在四棱锥P ABCD中，平面PAD 底面 ABCD，底面 ABCD是菱形，E是 PD的
中点， PA PD， AB 2， ABC 60 .
（1）证明：PB//平面 EAC．
4 6
（2）若四棱锥P ABCD的体积为 ，求cos PCD．
3
【答案】
19、答案：（1）证明见解析
（2 3 11）
22
解析：（1）连接 BD交 AC于点 F，连接 FE，
因为底面 ABCD是菱形，所以 F是 BD的中点，
又 E是 PD的中点，所以EF //PB，
因为EF 平面 EAC，PB 平面 EAC，
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
所以PB//平面 EAC；
（2） 取 AD的中点 O，连接 PO，则PO AD，
因为平面PAD 平面 ABCD，且平面PAD 平面 ABCD AD，所以PO 平面
ABCD，
PD a V 1 3 22 2 a2 1 4 6设 ，则 P ABCD ，得a 3，3 4 3
连接 CO，因为底面 ABCD是菱形， ABC 60 ，所以OC AD，且OC 3，
因为PO 2 2，PO OC，所以PC 11，
2 2 2
又CD AB 2 PC CD PD 3 11，所以由余弦定理可得 cos PCD ．
2PC CD 22
20、为检查学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级 1200名新生进
行了传染病防控知识测试，并从中随机抽取了 300份答卷，按得分区间 40,50 、
50,60 、 60,70 、 70,80 、 80,90 、 90,100 分别统计，绘制成频率分布直方图如
下.
（1）求图中 a的值；
（2）若从高一年级 1200名学生中随机抽取 1人，估计其得分不低于 75分的概率；
（3）估计高一年级传染病防控知识测试得分的平均数.（同一组中的数据用该组区间
的中点值作代表）
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
【答案】
20、答案：（1）a 0.030；
（2）0.5；
（3）74.
解析：（1）由图可得 0.005 0.010 0.020 a 0.025 0.010 10 1，解得
a 0.030；
0.005 0.010 0.020 0.030 （2）估计得分不低于 75分的概率为 10 0.5；
2
（3）估计得分的平均数
x 45 0.05 55 0.10 65 0.20 75 0.30 85 0.25 95 0.10 74 .
21、在四棱锥P ABCD中，PD 底面 ABCD，CD//AB， AD DC CB 1，
AB 2，DP 3 .
（1）证明：BD PA .
（2）求 PD与平面 PAB所成的角的正弦值.
【答案】
（1）答案：证明见解析
解析：证明： CD//AB， AD CB 1，DC AB，
四边形 ABCD是等腰梯形.
如图，过点 C作CE AB于点 E，过点 D作DF AB于点 F，
则 AF 1 BE (AB CD) 1 ，CD EF .
2 2
又 AD 1， DF AD2 AF 2 3 .
2
又 BF EF 3 BE ， BD BF 2 DF 2 3 .
2
又 AD 1， AB 2， AD2 BD2 AB2 ， AD BD .
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
PD 平面 ABCD， BD 平面 ABCD， PD BD .
又 AD PD D，
BD 平面 PAD.
PA 平面PAD， BD PA .
2 5（ ）答案：
5
解析：以 D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标
系，
则D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(0, 3,0)，P(0,0, 3)，
PD (0,0, 3)， PA (1,0, 3)， PB (0, 3, 3) .
设平面 PAB的法向量为n (x, y, z)，
PA n 0, x 3z 0,
则 即
PB n 0, 3y 3z 0.
取 z 1，得 x 3， y 1，则n ( 3,1,1) .
设直线 PD与平面 PAB所成的角为 ，
则 sin | cos n,PD | | n PD | 3 5 .
| n || PD | 5 3 5
PD PAB 5 与平面 所成的角的正弦值为 .
5
22、某市政府随机抽取 100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 50～350度
之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
（1）求直方图中 x 的值，并估计居民月用电量的众数；
（2）为了既满足居民的基本用电需求，又能提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使
75%的居民缴费在第一档，请确定第一档用电标准的度数；
（3）用分层抽样的方法在 50,100 和 100,150 两组中抽取 5户居民作为节能代表，从节能代表中
随机选取 2户进行采访，求这 2户来自不同组的概率．
【答案】
22、答案：（1）0.0044，
（1725）234
3
（3）
5
解析： （1） 0.0012 0.0024 0.0036 x 0.0060 0.0024 50 1，
150 200
解得 x 0.0044，居民月用电量的众数为 175；
2
（2）在 50,200 内的居民数为 0.0024 0.0036 0.0060 50 100 60，
第一档用电标准的度数在 50,200 内，
设第一档用电标准的度数为m ，则 m 200 0.0044 100 15，
解得m 234；
（3）在 50,100 内的居民数为： 0.0024 50 100 12，
在 100,150 内的居民数为 0.0036 50 100 18，
12
从两组中抽取 5户居民作为节能代表，则从 50,100 抽取 5 2户，记为 A，B，
30
100,150 18从 抽取 5 3户，记为 a，b，c，
30
从中随机选取 2户的基本事件有： AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc共 10种，
其中这 2户来自不同组的有： Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc共 6种，
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}
所以这 2 6 3户来自不同组的概率为 p .
10 5
{#{QQABCQAUogggABJAAAhCQQWwCEIQkBAAACoOxFAAIAIBQRNABAA=}#}晋中市博雅培文实验学校高二年级8月检测试题
数 学
（时间：120 分钟 满分：150 分）
注意事项：
A.30 B. 45 C.60 D.90
1）学生必须用黑色中性笔在答题卡上答题。
2）答卷前请将密封线内的项目填写清楚。 6、已知 a，b 均为空间单位向量，它们的夹角为60 ，那么 | a 3b |等于( )
3）答题时字迹要清楚、工整，不宜过大，以防答题卡区域不够使用。
A. 7 B. 10 C. 13 D.4
一、选择题。 单选题 (共 8小题，每题 5分共 40 分) 7、2019年 10 月 1 日，在庆祝中华人民共和国成立 70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最
强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，
1、若复数满足 z 1 i 1 2i，则复数在复平面内对应的点在( ) 1 1 1已知军事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为 ， ， ，则这三名同学中至少
3 4 6
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 有一名同学被选上的概率为( )
2、已知集合 A 2, 5,3a 1,a2 ， B {a 5,9,1 a, 4}，若 A B {4}，则实数 a的取值集 1 5 7 2A. B. C. D.
3 12 12 3
合为( ) 8、《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何 ”魏晋时
A.{1,2, 2} B.{1, 2} C.{1, 2} D.{1} 期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图(1)，
3、“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间 [0,10] 用对角线将长和宽分别为 b和 a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接
内的一个数来表示，该数越接近 10表示满意度越高.现随机抽取 10位某市居民进行街头调查，得 正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)，将三种颜色的图形进行重组，得到如图(2)所示的矩形，
到他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，则这组数据的 80%分位数是( ) 该矩形长为a b，宽为内接正方形的边 d，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9 (3)，设 D为斜边 BC的中点，作直角三角形 ABC的内接正方形的对角线 AE，过点 A作 AF BC
4、已知向量 a 1,1,0 ，b 1,0,2 ，且 ka b与 2a b互相垂直，则 k的值是( ) 于点 F，则下列推理正确的是( )
1 3 7
A.1 B. C. D.
5 5 5
5、如图，过正方形 ABCD的顶点 A，作 PA 平面 ABCD.若 PA BA，则平面 ABP和平面 CDP
所成的二面角的大小是( ).
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{#{QQABAQCQogiAABJAAQhCQQXQCEMQkBCAACoGQFAAIAIBAQNABAA=}#}
晋中市博雅培文实验学校 姓名： 班级： 考号：
ab
①由图(1)和图(2)面积相等可得 d ； 12、某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1 ~ 1000的 1000
a b
名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题 1：您的编号是否为奇数？问题 2：您是否吸
a2 b2AE AF a b②由 可得 ；
2 2 烟？被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球 100个，红球100个）中
摸出一个小球：若摸出白球则回答问题 1，若摸出红球则回答问题 2，共有 270人回答“是”，则
AD AE a
2 b2 2
③由 可得
2 1 1
； 下述正确的是（ ）
a b A．估计被调查者中约有 520人吸烟 B．估计约有 20人对问题 2的回答为“是”
④由 AD AF 可得 a2 b2 2ab . C．估计该地区约有 4%的中学生吸烟 D．估计该地区约有 2%的中学生吸烟
三、 填空题 (共 4 题；每题 5分共 20 分)
A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①③
3
13、中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，
二、多选题( 每题 5 分共 20 分，少选得 2分有错选得 0 分 ) 7
9、已知 x, y R ,i 1为虚数单位,且 x 1 i y 1 2i ,复数 z 1 i x y ,则以下结论正确的是 乙夺得冠军的概率为 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
4
( ) 14、已知棱长为 2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大
A.z的虚部为 2i B. z的模为 2 值为___________________.
15、将一个总体分为 A，B，C三层，其个体数之比为 5∶3∶2，A，B，C三层的样本的平均数
C. z的共轭复数为2i D. z对应的点在第四象限
分别为 15，30，20，则样本的平均数为_____.
10、如图，在三棱锥 P ABC中，PA 平面 ABC， AB BC，PA AB，D为 PB的中点，则下列结论
16、如图，在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中，底面为直角三角形， ACB 90 ， AC 6，
正确的有( )
BC CC1 2 ，P是BC1 上的一个动点，则CP PA1的最小值是________.
A. BC⊥平面 PAB B. AD PC C. AD 平面 PBC D. PB 平面 ADC
11、已知向量a (sin , cos )，b (1, 2)，则下列命题正确的是( )
a//b 1A.若 ，则 tan 四．解答题(解答过程要完整)
2
1 17、已知复数 z m2 5m 6 m 2 i (m R ).
B.若a b，则 tan
2 (1)若复数 z为纯虚数，求实数 m的值；
C.设 f ( ) a b ，则当 f ( )取得最大值时， tan 1
2 (2)若复数 z在复平面内对应的点在第二象限，求实数 m的取值范围.
D. | a b |的最大值为 5 1 18、设两个向量 e1，e2 满足 e1 2， e2 1，e1，e2 的夹角为60 .若向量 2te1 7e2 与 e1 te2
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的夹角为钝角，求实数 t的取值范围.
19、在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD 底面 ABCD，底面 ABCD是菱形，E是 PD的中点，PA PD，
AB 2， ABC 60 .
（1）证明： BD PA .
（2）求 PD与平面 PAB所成的角的正弦值.
22、某市政府随机抽取 100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 50～350度
（1）证明： PB//平面 EAC． 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．
2 4 6（ ）若四棱锥 P ABCD的体积为 ，求 cos PCD．
3
20、为检查学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级 1200名新生进行了传染病防控知
识测试，并从中随机抽取了 300份答卷，按得分区间 40,50 、 50,60 、 60,70 、 70,80 、 80,90 、
90,100 分别统计，绘制成频率分布直方图如下.
（1）求直方图中 x 的值，并估计居民月用电量的众数；
（2）为了既满足居民的基本用电需求，又能提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，
使 75%的居民缴费在第一档，请确定第一档用电标准的度数；
（3）用分层抽样的方法在 50,100 和 100,150 两组中抽取 5户居民作为节能代表，从节能代表
中随机选取 2户进行采访，求这 2户来自不同组的概率．
（1）求图中 a的值；
（2）若从高一年级 1200名学生中随机抽取 1人，估计其得分不低于 75分的概率；
（3）估计高一年级传染病防控知识测试得分的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
21、在四棱锥 P ABCD中，PD 底面 ABCD，CD//AB，AD DC CB 1，AB 2，DP 3 .
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清
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